高中人教B版 (2019)第四章 概率与统计本章综合与测试一课一练

这是一份高中人教B版 (2019)第四章 概率与统计本章综合与测试一课一练，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末综合测评(二)　概率与统计
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．对于变量x与y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫做(　　)
A．函数关系　 B．线性关系
C．相关关系 D．回归关系
C　[对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫相关关系，故选C．]
2．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(B|A)＝(　　)
A． B． C． D．
A　[事件AB为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(AB)＝，P(A)＝，
∴P(B|A)＝＝·＝，故选A．]
3．设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P




又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　)
A．　　　 B． C．　　　 D．
D　[E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝．]
4．如果随机变量X～N(4,1)，则P(X≤2)等于(　　)
(注：P(μ－2σ A．0.210 B．0.022 8
C．0.045 6 D．0.021 5
B　[P(X≤2)＝(1－P(2 5．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2,3，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2,3，…，10)，得散点图2，由这两个散点图可以断定(　　)

图1　　　　　　　图2
A．x与y正相关，u与v正相关
B．x与y正相关，u与v负相关
C．x与y负相关，u与v正相关
D．x与y负相关，u与v负相关
C　[由图1可知，点散布在从左上角到右下角的区域，各点整体呈递减趋势，故x与y负相关；
由图2可知，点散布在从左下角到右上角的区域，各点整体呈递增趋势，故u与v正相关．]
6．在一次对性别与是否说谎有关的调查中，得到如下数据，说法正确的是(　　)

说谎
不说谎
总计
男
6
7
13
女
8
9
17
总计
14
16
30
A．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关
B．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别无关
C．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关
D．在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关
D　[由表中数据得χ2＝≈0.002 42<3.841．
因此没有充分证据认为说谎与性别有关，故选D．]
7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是(　　)
A． B． C． D．
D　[记“第一次摸到正品”为事件A，“第二次摸到正品”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝．
故P(B|A)＝＝．]
8．设X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是(　　)

(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ A．7 539 B．6 038 C．7 028 D．6 587
D　[因为X～N(1,1)，所以μ＝1，σ＝1，μ＋σ＝2，μ－σ＝0，又因为P(μ－σ 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
则下列计算结果正确的有(　　)
A．a＝0.1　　 B．P(X≥2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4　 D．P(X≤1)＝0.3
ABD　[易得a＝0.1，P(X≥3)＝0.3，故C错误．]
10．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n对数据，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，如图所示，则以下结论正确的是(　　)

A．直线l过点(，)
B．回归直线必通过散点图中的多个点
C．x和y的相关系数在－1和0之间
D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
AC　[A是正确的；回归直线可以不经过散点图中的任何点，故B错误；由题设中提供的直线的图像可知x和y是负相关，相关系数在－1到0之间，故C正确；分布在l两侧的样本点的个数不一定相同，故D错误．]
11．设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
4
5
P
q
0.3
0.2
0.2
0.1
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　)
A．E(X)＝2 B．D(X)＝2.4
C．D(X)＝2.8 D．D(Y)＝14
AC　[由离散型随机变量X的分布列的性质得：q＝1－0.3－0.2－0.2－0.1＝0.2，
则E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.2＋4×0.2＋5×0.1＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.2＋(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＋(5－2)2×0.1，
即D(X)＝0.8＋0.3＋0＋0.8＋0.9＝2.8，因为离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，∴D(Y)＝22D(X)＝4D(X)＝4×2.8＝11.2．故结果正确的有AC．]
12．下列判断正确的是(　　)
A．若随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，P(ξ<4)＝0.79，则P(ξ≤－2)＝0.21
B．同时抛掷3枚质地均匀的硬币，若A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有1枚反面向上}，则A与B是互斥事件
C．若随机变量ξ～B，则E(ξ)＝1
D．设0 ξ
0
1
2
P



则当P在(0,1)内增大时，D(ξ)先减小后增大
AC　[选项A，已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，则正态曲线关于直线x＝1对称，又P(ξ＜4)＝0.79，∴P(ξ≥4)＝1－0.79＝0.21，
∴P(ξ≤－2)＝P(ξ≥4)＝0.21，A正确；
选项B，同时抛掷3枚质地均匀的硬币，当有1枚硬币反面向上，其余2枚硬币正面向上，此时事件A与事件B同时发生，故事件A与事件B不是互斥事件，B错误；
选项C，由于随机变量ξ～B，则E(ξ)＝4×＝1，C正确；
选项D，E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝p＋，
D(ξ)＝×＋×＋×＝－p2＋p＋＝－＋，
∴p∈时，D(ξ)单调递增；p∈时，D(ξ)单调递减，∴D(ξ)先增大后减小，D错误．故选：AC．]
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．
13．已知某一随机变量X的分布列如下表：
X
3
b
8
P
0.2
0.5
a
且E(X)＝6，则a＝________，b＝________．(本题第一空2分，第二空3分)
0.3　6　[由0.2＋0.5＋a＝1，得a＝0.3．又由E(X)＝3×0.2＋b×0.5＋8×a＝6，得b＝6．]
14．已知X～N(μ，σ2)，且P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，则μ＝________．
－2　[因为P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，
又P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1．
所以P(X>0)＝P(X<－4)．
因此正态曲线的对称轴为x＝－2．所以μ＝－2．]
15．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围，令＝ln y，求得回归直线方程为＝0.25x－2.58，则该模型的回归方程为________．
y＝e0.25x－2.58　[因为＝0.25x－2.58，＝ln y，所以y＝e0.25x－2.58．]
16．某组有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛．用X表示女生人数，则概率P(X≤2)＝________．
　[P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝0)＝＋＋＝．]
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)为研究学生的数学成绩与学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：

成绩优秀
成绩较差
总计
兴趣浓厚
64
30
94
兴趣不浓厚
22
73
95
总计
86
103
189
能否有99%把握，认为学生的数学成绩好坏与学习数学的兴趣有关？
[解]　由公式得：χ2＝≈38.459．
∵38.459>6.635，∴有99%的把握认为，学生的数学成绩好坏与学习数学的兴趣是有关的．
18．(本小题满分12分)某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，在移栽的4棵大树中，求：
(1)至少有1棵成活的概率；
(2)两种大树各成活1棵的概率．
[解]　设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1,2，
Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1,2，
则A1，A2，B1，B2相互独立，
且P(A1)＝P(A2)＝，
P(B1)＝P(B2)＝．
(1)至少有1棵成活的概率为1－P(· · · )
＝1－P()·P()·P()·P()
＝1－＝．
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知所求概率为
P＝C·C＝×＝＝．
19．(本小题满分12分)某校模仿《中国诗词大会》节目举办学校诗词大会，进入正赛的条件：电脑随机抽取10首古诗，参赛者需背完且能够正确背诵8首及以上的进入正赛．若学生甲参赛，他背诵每一首古诗的正确的概率均为．
(1)求甲进入正赛的概率；(取≈0.013，结果取两位有效数字)
(2)若进入正赛，则采用积分淘汰制，规则：电脑随机抽取4首古诗，每首古诗背诵正确加2分，错误减1分由于难度增加：甲背诵每首古诗正确的概率为，求甲在正赛中积分X的概率分布列及数学期望．
[解]　(1)设甲进入正赛的概率为P，
∴P＝C·＋C·＋C
＝45×＋10×＋1×＝(45＋20＋4)＝×23≈0.30，
∴甲进入正赛的概率为0.30；
(2)甲的积分X的可能取值为8分，5分，2分，－1分，－4分，
则P(X＝8)＝C＝，P(X＝5)＝C＝，P(X＝2)＝C＝，
P(X＝－1)＝C＝，
P(X＝－4)＝C＝，
所以X的概率分布列为
X
8
5
2
－1
－4
P





所以E(X)＝8×＋5×＋2×－1×－4×＝2，
∴甲在正赛中积分X的数学期望为2．
20．(本小题满分12分)假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求：
(1)先取出的零件是一等品的概率；
(2)两次取出的零件均为一等品的概率．
[解]　(1)设Ai ＝“任取的一箱为第i箱零件”，i ＝ 1,2,3，
Bj ＝“第j次取到的是一等品”，j ＝ 1,2．
由题意知 A1，A2和A3构成完备事件组，
且P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝，
P(B1|A1)＝＝0.4，
P(B1|A2)＝＝0.4，
P(B1|A3)＝＝0.6，
由全概率公式得
P(B1)＝P(Ai)P(B1|Ai)
＝(0.4＋0.4＋0.6)＝．
(2)因为P(B1B2|A1)＝＝，
P(B1B2|A2)＝＝，
P(B1B2|A3)＝＝，
由全概率公式得
P(B1B2)＝P(Ai)P(B1B2|Ai)
＝≈0.22．
21．(本小题满分12分)《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线。某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测．若每件产品的生产成本为1 200元，每件一级品可卖1 700元，每件二级品可卖1 000元，三级品禁止出厂且销毁．某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示

(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．若从出厂的所有产品中随机取出3件，求至少有一件产品是一级品的概率；
(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到二级品的件数为ξ，求随机变量ξ的分布列；
(3)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2 000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到8∶2，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理．
[解]　(1)抽取的100件产品中，可以出厂的是一级品和二级品，其中一级品的频率是，故从出厂的所有产品中任取一件，是一级品的概率为．设从出厂的所有产品中随机抽取3件，至少有一件产品是一级品的事件为A，则
P(A)＝1－C×＝．
(2)由题意可知10件产品中一级品7件，二级品2件，三级品1件，故ξ的取值范围是{0,1,2}，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
ξ
0
1
2
P



(3)今年利润为：
80×＝15 200(万元)，
明年预计利润为：
70×－2 000＝23 200(万元)，
因为23 200＞15 200，
所以该升级方案合理．
22．(本小题满分12分)某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．
现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据，i＝1,2，…，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．

令ui＝x，vi＝lnyi(i＝1,2，…，12)，经计算得如下数据：


(xi－)2
(yi－)2


20
66
770
200
460
4.20

(ui－)2
(ui－)(yi－)
(vi－)2
(xi－)(vi－)
3 125 000
21 500
0.308
14
(1)设{ui}和{yi}的相关系数为r1，{xi}和{vi}的相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
(2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)；
(ⅱ)若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？
附：①相关系数r＝，
回归直线＝＋x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－；
②参考数据：308＝4×77，≈9.4 868，e4.4 998≈90．
[解]　(1)由题意，r1＝＝＝＝＝0.86，
r2＝＝＝＝≈0.91，
则|r1|<|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx＋t的拟合程度更好．
(2)(ⅰ)先建立v关于x的线性回归方程，
由y＝eλx＋t，得lny＝t＋λx，
即v＝t＋λx；
由于λ＝＝≈0.018，
t＝－λ＝4.20－0.018×20＝3.84，
所以v关于x的线性回归方程为＝0.02x＋3.84，
所以ln＝0.02x＋3.84，则＝e0.02x＋3.84．
(ⅱ)下一年销售额y需达到90亿元，即y＝90，
代入＝e0.02x＋3.84，
得90＝e0.02x＋3.84，
又e4.4 998≈90，
所以4.4 998≈0.02x＋3.84，
所以x≈＝32.99，
所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元．