数学选择性必修第一册1.5 平面上的距离同步达标检测题

课后素养落实(七)　平面上两点间的距离

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知线段AB的中点坐标是(－2，3)，点A的坐标是(2，－1)，则点B的坐标是(　　)

A．(－6，7)　　B．(6，7)　　C．(6，－7)　　D．(－6，－7)

A　[设点B的坐标是(x，y)，则解得]

2．已知点M，N，且＝2，则实数m等于(　　)

A．1　　B．3　　C．1或3　　D．－1或3

C　[因为|MN|＝＝，

所以＝2，即m2－4m＋3＝0，解得m＝1或m＝3，故选C．]

3．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是(　　)

A．2 B．3＋2

C．6＋3 D．6＋

C　[由题意知|AB|＝＝3，|AC|＝＝3，

|BC|＝＝3，

故△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝6＋3．]

4．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　)

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．以A点为直角顶点的直角三角形

D．以B点为直角顶点的直角三角形

C　[＝＝，＝＝，

＝＝，

故2＝2＋2，所以△ABC为直角三角形且以A为直角顶点．]

5．(多选题)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是(　　)

A．(－4，5)　　B．(－3，4)　　C． (－1，2)　　D． (0，1)

BC　[设所求点的坐标为(x0，y0)，有

x0＋y0－1＝0，

且 ＝，

两式联立解得或]

二、填空题

6．已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为________．

　[设点A(a，2a－1)，点B(b，2b－1)，

∵|a－b|＝，

∴AB＝＝|a－b|＝．]

7．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且PA＝PB，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为________．

x＋y－5＝0　[由已知，得A(－1，0)，P(2，3)，

由PA＝PB，得B(5，0)，

由两点式得直线PB的方程为x＋y－5＝0．]

8．已知A(1，2)，B(－1，1)，C(0，－1)，D(2，0)，则四边形ABCD的形状为________．

正方形　[由kAB＝，kCD＝，kBC＝－2，kAD＝－2得

AB∥CD，BC∥AD，AB⊥BC，ABCD为矩形，

又AB＝＝．

BC＝＝，

所以AB＝BC，

故ABCD为正方形．]

三、解答题

9．求证：梯形中位线平行于上底和下底且等于上底与下底和的一半．

[证明]　如图为梯形ABCD，以线段BC的中点为原点，直线BC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，分别取AB，CD，AC的中点E，F，G，连接EG，GF．设A(a，b)，C(c，0)，则B(－c，0)．AB的中点E的坐标是，AC的中点G的坐标是．EG＝＝|c|；

BC＝2|c|，所以EG＝BC．又E，G的纵坐标相同，所以EG∥BC．

同理可证，FG＝AD，FG∥AD．

于是可得EF∥AD∥BC，EF＝EG＋FG＝(BC＋AD)．

而EF即为梯形的中位线．

故梯形中位线平行于上底和下底且等于上底和下底和的一半．

10．已知三角形的顶点为A，B，C．

(1)求直线AC的方程；

(2)从①②这两个问题中选择一个作答．

①求点B关于直线AC的对称点D的坐标．

②若直线l过点B且与直线AC交于点E，＝3，求直线l的方程．

[解]　(1)因为直线AC的斜率为kAC＝，

所以直线AC的方程为：y－3＝(x－2)，

即直线AC的方程为：x－2y＋4＝0．

(2)选问题①：

设D的坐标为(m，n)，则

解得：

点D的坐标是．

选问题②：

设E的坐标为，∵＝3，

∴＝3，

解得：t＝0或t＝－，

∴E的坐标为(0，2)或，

∴直线l的方程为x＝0或3x＋4y＋4＝0．

11．已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当AB取最小值时，实数a的值是(　　)

A．－　　B．－　　C．　　D．

C　[AB＝＝，

∴当a＝时，AB取得最小值．]

12．已知两点P(m，1)和Q(1，2m)之间的距离大于，则实数m的取值范围是________．

∪(2，＋∞)　[由PQ＝>，

解得m<－或m>2．]

13．已知函数y＝2x的图象与y轴交于点A，函数y＝lg x的图象与x轴交于点B，点P在直线AB上移动，点Q(0，－2)，则PQ的最小值为________．

　[易知A(0，1)，B(1，0)，所以直线AB：y＝1－x．

设P(x0，y0)，

又y0＝1－x0，所以PQ＝＝＝，当x0＝时，PQ取得最小值．所以PQ的最小值为．]

14．直线l过点P(1，4)，且分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点．

(1)当＋最小时，l的方程为________；

(2)若·最小，求l的方程为________．

(1)2x＋y－6＝0　(2)x＋y－5＝0　[(1)依题意，l的斜率存在，且斜率为负，

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－4＝k．

令y＝0，可得A；令x＝0，可得B．

＋＝＋(4－k)＝5－＝5＋≥5＋4＝9．

∴当且仅当－k＝且k<0，即k＝－2时，

＋取最小值，这时l的方程为2x＋y－6＝0．

(2)·＝·＝4≥8，

当且仅当＝－k且k<0，即k＝－1时，

·取最小值，这时l的方程为x＋y－5＝0．]

15．有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB＝AC＝13 km，BC＝10 km，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处．(建立坐标系如图)

(1)若希望点P到三镇距离的平方和最小，点P应位于何处？

(2)若希望点P到三镇的最远距离最小，点P应位于何处？

[解]　(1)设P的坐标为(0，y)，则P至三镇距离的平方和为f(y)＝2(25＋y2)＋(12－y)2＝3(y－4)2＋146，

所以，当y＝4时，函数f(y)取得最小值，点P的坐标是(0，4)．

(2)设P至三镇的最远距离为

g(y)＝

由≥|12－y|计算得出y≥，记y*＝，

于是g(y)＝

因为g(y)＝在[y*，＋∞)上是增函数，

而g(y)＝|12－y|在(－∞，y*]上是减函数，

所以y＝y*时，函数g(y)取得最小值．

点P的坐标是．