数学1.5 平面上的距离复习练习题

课后素养落实(八)　点到直线的距离

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．动点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值为(　　)

A．　　B．2　　C．　　D．2

B　[设原点O到直线x＋y－4＝0的距离为d，由点到直线距离的性质知d＝|OP|min，因此，|OP|min＝＝2，故选B．]

2．已知两条直线l1：2x＋y－1＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，则l1，l2的距离为(　　)

A．　　B．　　C．　　D．2

A　[因为两直线l1：2x＋y－1＝0，l2：4x＋2y＋2＝0平行，

则它们之间的距离即为l1：2x＋y－1＝0与l2：4x＋2y＋2＝0之间的距离为：d＝＝＝．]

3．已知点P(1＋t，1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为(　　)

A．(0，－2) B．(2，4)

C．(0，－2)或(2，4) D．(1，1)

C　[直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1．当t＝1时，点P的坐标为(2，4)；当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)，故选C．]

4．(多选题)已知直线l经过点(3，4)，且点A(－2，2)，B(4，－2)到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为(　　)

A．2x＋3y－18＝0 B．2x－y－2＝0

C．x＋2y＋2＝0 D．2x－3y＋6＝0

AB　[当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0．

由已知得＝，所以k＝2或k＝－，

所以直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0．]

5．在平面直角坐标系中，点A(1，2)，点B(3，1)到直线l的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数为(　　)

A．3　　B．2　　C．4　　D．1

B　[由点A(1，2)，点B(3，1)可得|AB|＝＝＜1＋2，

所以不存在与线段AB相交的符合题意的直线，故存在两条符合题意的直线，这两条直线在线段AB的两侧，如图，故选B．]

二、填空题

6．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，1)，B(3，4)，C(－2，－1)，则△ABC的面积为________．

5　[由两点式得AB的直线方程为＝，

即3x－y－5＝0．再由点到直线距离公式得点C到直线AB的距离为d＝＝．又|AB|＝＝．∴S△ABC＝××＝5．]

7．已知直线3x＋4y－3＝0与6x＋my＋14＝0相互平行，则它们之间的距离是________．

2　[因为直线3x＋4y－3＝0与6x＋my＋14＝0平行，所以3m－4×6＝0，

解得m＝8，所以6x＋my＋14＝0，即是3x＋4y＋7＝0，

由两条平行线间的距离公式可得d＝＝2．]

8．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．

3　[直线6x＋8y＋6＝0可变形为3x＋4y＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d＝＝3，

∴|PQ|min＝3．]

三、解答题

9．已知直线l的斜率为－，且直线l经过直线kx－y＋2k＋5＝0所过的定点P．

(1)求直线l的方程；

(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．

[解]　(1)kx－y＋2k＋5＝0，即k(x＋2)＋(5－y)＝0，所以过定点P(－2，5)，又直线l的斜率为－．

因此其方程为y－5＝－(x＋2)，即l：3x＋4y－14＝0．

(2)设直线m：y＝－x＋b，

则3＝⇒b＝－或．

∴直线m为y＝－x－，或y＝－x＋．

10．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．

 [解]　设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，

则A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)，

∴|AD|＝，|BC|＝b．

梯形的高h就是A点到直线l2的距离，

故h＝＝＝(b>1)，

由梯形面积公式得×＝4，

∴b2＝9，b＝±3．但b>1，

∴b＝3．

从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0．

11．(多选题)两条平行线分别经过点A(6，2)，B(－3，－1)，下列可能是这两条平行线间的距离的是(　　)

A．4　　B．7　　C．9　　D．11

ABC　[当两直线的斜率不存在时，两直线方程分别为x＝6，x＝－3，则d＝9．

当两直线的斜率存在时，设两直线方程分别为y－2＝k(x－6)与y＋1＝k(x＋3)，

即kx－y＋2－6k＝0，kx－y＋3k－1＝0，

∴d＝＝．

由此可得(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0．

当81－d2＝0，即d＝9时，k＝－，∴d＝9成立．

当d≠9时，由k∈R，可得Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0，

即d4－90d2≤0，∴0＜d≤3且d≠9．

综上所述，d∈(0，3]．故应选ABC．]

12．(多选题)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n的可能值为(　　)

A．3　　B．－17　　C．－3　　D．17

AB　[由题意，n≠0，－＝，所以n＝－4，所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0，

由两平行直线间的距离公式得＝2，解得m＝7或m＝－13，

所以m＋n＝3或m＋n＝－17．]

13．已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为________．

－1　[由点到直线的距离公式得

＝1，

解得a＝±－1，

∵a＞0，∴a＝－1．]

14．若两平行直线3x－2y－1＝0和6x＋ay＋c＝0之间的距离是，则的值为________．

±1　[由两平行直线得3a＋12＝0，解得a＝－4．方程3x－2y－1＝0可化为6x－4y－2＝0，利用平行线间的距离公式得＝，解得|c＋2|＝4，所以＝＝±1．]

15．已知点A(3，1)，在直线y＝x和y＝0上各找一点M和N，使△AMN的周长最短，并求出最短周长．

[解]　由点A(3，1)及直线y＝x，可求得点A关于直线y＝x的对称点为B(1，3)，同样可求得点A关于直线y＝0的对称点为C(3，－1)，如图所示．

则|AM|＋|AN|＋|MN|＝|BM|＋|CN|＋|MN|≥|BC|＝2，当且仅当B，M，N，C四点共线时，△AMN的周长最短，为2．

由B(1，3)，C(3，－1) 可得直线BC的方程为2x＋y－5＝0．由

得故M点的坐标为．

对于2x＋y－5＝0，令y＝0，得x＝，故N点的坐标为．

故在直线y＝x上找一点M，在直线y＝0上找一点N，可使△AMN的周长最短，为2．