数学苏教版 (2019)3.3 抛物线一课一练

课后素养落实(十八)　抛物线的标准方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．在平面内，“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B　[当定点在定直线上时，其动点轨迹不是抛物线，反过来抛物线上的点满足到焦点的距离等于到准线的距离，故应选B．]

2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　　)

A．－2  B．2  C．－4  D．4

D　[y2＝2px的焦点为，

而椭圆的右焦点为(2，0)，

由＝2得p＝4．故选D．]

3．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)

A．－  B．－1  C．－  D．－

C　[抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2，0)．从而kAF＝＝－．]

4．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为(　　)

A．2  B．4  C．6  D．4

D　[如图，由抛物线的定义知PM⊥l．

在Rt△MQF中，|QF|＝2，

∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，

∵△FPM是等边三角形，

∴S△PMF＝×42＝4．故选D．]

5．如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B的修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)(　　)

A．(2＋)a   B．2(＋1)a

C．5a   D．6a

C　[依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知，欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2 km处，

∴B到点A的水平距离为3(km)，

∴B到直线l距离为3＋2＝5(km)，

那么修建这两条公路的总费用最低为5a(万元)，故选C．]

二、填空题

6．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．

4　[抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则|MF|的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，－3)到直线y＝1的距离．即最小值为4．]

7．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．

(－6，6)或(－6，－6)　[设所求点为P(x，y)，抛物线y2＝－12x的准线方程为x＝3，由题意知3－x＝9，即x＝－6．

代入y2＝－12x，得y2＝72，即y＝±6．

因此P(－6，6)或P(－6，－6)．]

8．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________．

6　[因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6．]

三、解答题

9．探照灯反射镜(如图)的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，求抛物线的标准方程和焦点坐标．

[解]　如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使探照灯的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．

设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，且在抛物线上，代入方程，得302＝2p·40，解得p＝．

故所求抛物线的标准方程为y2＝x，焦点坐标是．

10．如图所示，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M．

(1)求抛物线的方程；

(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．

[解]　(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，

于是4＋＝5，p＝2，

所以抛物线的方程为y2＝4x．

(2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2)．

又F(1，0)，所以kAF＝，则FA的方程为y＝(x－1)．

因为MN⊥FA，所以kMN＝－，

则MN的方程为y＝－x＋2．

解方程组得

所以N．

11．(多选题)对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程为y2＝10x的有(　　)

A．焦点在x轴上

B．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6

C．焦点到准线的距离为5

D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)

ACD　[抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，A满足；设M(1，y0)是抛物线y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以B不满足；因为y2＝10x中p＝5，所以焦准距为5，所以C满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，设过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)，则k＝－2，此时直线存在，所以D满足．所以满足抛物线y2＝10x的有ACD．]

12．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为(　　)

A．6  B．9  C．12  D．无法确定

C　[过点A，M，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，M′，D，如图所示，由抛物线的定义，得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，∵M为AB的中点，且|MM′|＝6，

∴|AC|＋|BD|＝12，即|AB|＝|AF|＋|BF|＝12．]

13．已知抛物线C的焦点F与椭圆＋＝1的右焦点重合，则抛物线C的标准方程为________．若P1，P2，P3是该抛物线上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，且x＝x1·x3，又log2x1＋log2x2＋log2x3＝3，则|P2F|＝________．

y2＝4x　3　[椭圆＋＝1的右焦点为(1，0)，＝1，∴p＝2．所以抛物线C的标准方程为y2＝4x．由抛物线的方程为y2＝4x，可得焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，∵x＝x1·x3，且log2x1＋log2x2＋log2x3＝3，∴log2x＝3，解得x2＝2，∴|P2F|＝x2－(－1)＝3．]

14．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．

x2＝－12y　[设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，

则由题意可得M到圆心C(0，－3)的距离与直线y＝3的距离相等．

由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y．]

15．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18m，拱顶距离水面8m，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF．

若|CD|＝9m，那么|DE|不超过多少m才能使货船通过拱桥？

[解]　如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

则B(9，－8)．

设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．

∵B点在抛物线上，

∴81＝－2p·(－8)，

∴p＝，

∴抛物线的方程为x2＝－y．

当x＝时，y＝－2，

即|DE|＝8－2＝6．

∴|DE|不超过6m才能使货船通过拱桥．