选择性必修第一册第5章 导数及其应用本章综合与测试课后练习题

这是一份选择性必修第一册第5章 导数及其应用本章综合与测试课后练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末综合测评(五)　导数及其应用
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果物体的运动方程为s＝＋2t(t＞1)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是(　　)
A．米/秒 B．米/秒
C．米/秒 D．米/秒
A　[∵s＝s(t)＝＋2t，∴s′(t)＝－＋2．
故物体在2秒末的瞬时速度s′(2)＝－＋2＝．]
2．曲线y＝(x3＋x2)ex在x＝1处的切线方程为(　　)
A．y＝7ex－5e B．y＝7ex＋9e
C．y＝3ex＋5e D．y＝3ex－5e
A　[y′＝(3x2＋2x)ex＋(x3＋x2)ex，所以y′|x＝1＝7e，又x＝1时，y＝2e，所以所求切线方程为y－2e＝7e(x－1)，即y＝7ex－5e，故选A．]
3．函数f(x)＝－2ln x－x－的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－3，1)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
C　[依题意，函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－－1＋＝＝－，故当0＜x＜1时，f′(x)＞0，所以函数的单调递增区间为(0，1)，故选C．]
4．已知函数f(x)＝ax3＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，则a，b的关系是(　　)

A．3a－b＝0
B．3a＋b＝0
C．a－3b＝0
D．a＋3b＝0
B　[由函数图象知，函数在x＝1取得极大值，在x＝－1取得极小值，即1，－1是f′(x)＝0的两个根，又f′(x)＝3ax2＋b，所以3a＋b＝0．故选B．]
5．若函数f(x)＝x2－2x＋aln x有两个不同的极值，则实数a的取值范围是(　　)
A．a＞1 B．－1＜a＜0
C．a＜1 D．0＜a＜1
D　[f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝x－2＋＝，
若函数f(x)有两个不同的极值，
则g(x)＝x2－2x＋a在(0，＋∞)有2个不同的实数根，
故解得0＜a＜1，故选D．]
6．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则其高为(　　)
A．　　B．10　　C．20　　D．
A　[设圆锥的高为x(0＜x＜20)，则圆锥底面半径：r＝，
∴圆锥体积：V＝πr2·x＝π(400－x2)x＝－x3＋x，
∴V′＝－πx2＋，令V′＝0，解得x＝，
当x∈时，V′＞0；
当x∈时，V′＜0．
∴当x＝，V取最大值，即体积最大时，圆锥的高为．]
7．已知函数f(x)＝x2－9ln x＋3x在其定义域内的子区间(m－1，m＋1)上不单调，则实数m的取值范围为(　　)
A． B． C． D．
D　[因为f(x)＝x2－9ln x＋3x，所以f′(x)＝2x－＋3，
令f′(x)＝0，即2x－＋3＝0，
解得x＝或x＝－3(舍)，
所以x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
而f(x)在区间(m－1，m＋1)上不单调，所以m－1＜＜m＋1，
解得＜m＜，因为(m－1，m＋1)是函数f(x)定义域内的子区间，
所以m－1≥0，即m≥1，所以m的范围为．故选D．]
8．下列结论正确的是(　　)
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x＝a和x＝b时取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
D　[函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．]
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列函数中，存在极值的是(　　)
A．y＝x－ B．y＝2|x|
C．y＝－2x3－x D．y＝xln x
BD　[由题意函数y＝x－，则y′＝1＋＞0，
所以函数y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)内单调递增，没有极值，故A错误；
函数y＝2|x|＝根据指数函数的图象与性质可得，当x＜0时，函数y＝2|x|单调递减，当x＞0时，函数y＝2|x|单调递增，所以函数y＝2|x|在x＝0处取得极小值，故B正确；
函数y＝－2x3－x，则y′＝－6x2－1＜0，所以函数y＝－2x3－x在R上单调递减，没有极值，故C错误；
函数y＝xln x，则y′＝1＋ln x，当x∈时，y′＜0，函数单调递减，当x∈时，y′＞0，函数单调递增，当x＝时，函数取得极小值，故D正确．故选BD．]
10．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则(　　)

A．在x＝－2时，函数y＝f(x)取得极值
B．在x＝1时，函数y＝f(x)取得极值
C．y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零
D．函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增
AD　[由题图可知，x＝－2是导函数f′(x)的一个变号零点，
故当x＝－2时，函数f(x)取得极值，选项A正确；
x＝1不是导函数f′(x)的一个变号零点，
故当x＝1时，函数f(x)不能取得极值，选项B错误；
y＝f(x)的图象在x＝0处的切线斜率为f′(x)＞0，选项C错误；
当x∈(－2，2)时，f′(x)＞0，此时函数y＝f(x)单调递增，选项D正确．故选AD．]
11．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是(　　)
A．y＝cos x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x2
AD　[由题意y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1．对于选项A，因为f′(x)＝－sin x，存在x1＝，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；
对于选项B，因为f′(x)＝＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；
对于选项C，因为f′(x)＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；
对于选项D，因为f′(x)＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝4x1x2＝－1．故选AD．]
12．已知函数f(x)＝则(　　)
A．若f(x)有两个极值，则a＝0或＜a＜1
B．若f(x)有极小值，则a＞
C．若f(x)有极大值，则a＞－
D．使f(x)连续的a有3个取值
CD　[作出函数y＝x和y＝4x3－3x的图象，如图所示．对于选项A，若f(x)有两个极值，则a＝0或a＞，所以选项A错误；对于选项B，当a＝0时，x＝0是函数f(x)的极小值，所以选项B错误；对于选项C，由图易知正确；对于选项D，使f(x)连续的a有3个取值，即－1，0，1，所以选项D正确．故选CD．]
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．过原点作函数y＝ex的图象的切线，则切线方程是________．
y＝ex　[y′＝ex，设切点为(x0，e)，则切线斜率为k＝e，
又由直线斜率公式得切线斜率k＝＝，
∴e＝，即1＝，即x0＝1，∴切点为(1，e)，k＝e，
∴切线方程为y＝ex．]
14．已知f(x)＝sin x＋ln x，则f′(1)＝________．
1＋cos 1　[∵函数f(x)＝sin x＋ln x，∴f′(x)＝cos x＋，∴f′(1)＝cos 1＋1．]
15．已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)，若a＝2时，则f′(0)＝________；又若f(x)的最小值为0，其中a＞0，则a的值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
　1　[f(x)的定义域为(－a，＋∞)，
f′(x)＝1－＝．当a＝2时，f′(x)＝1－，∴f′(0)＝1－＝．
又由f′(x)＝0，解得x＝1－a＞－a．
当－a＜x＜1－a时，f′(x)＜0，f(x)在(－a，1－a)上单调递减；当x＞1－a时，f′(x)＞0，f(x)在(1－a，＋∞)上单调递增．
因此，f(x)在x＝1－a处取得最小值，
由题意知f(1－a)＝1－a＝0，故a＝1．]
16．设定义域为R的函数f(x)满足f′(x)＞f(x)，则不等式ex－1f(x)＜f(2x－1)的解集为________．
(1，＋∞)　[设F(x)＝，则F′(x)＝，
∵f′(x)＞f(x)，∴F′(x)＞0，即函数F(x)在定义域上单调递增．
∵ex－1f(x)＜f(2x－1)，∴＜，即F(x)＜F(2x－1)，
∴x＜2x－1，即x＞1，∴不等式ex－1f(x)＜f(2x－1)的解为(1，＋∞)．]
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝2xln x．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)经过点(0，－2)作函数f(x)图象的切线，求该切线的方程．
[解]　(1)函数f(x)＝2xln x，所以f′(x)＝2ln x＋2(x＞0)，令f′(x)＞0，得到增区间，
令f′(x)＜0，得到减区间．
(2)设切点的坐标为(x0，2x0ln x0)，切线斜率为k＝f′(x0)＝2ln x0＋2，
另一方面k＝，从而有＝2ln x0＋2，
化简得x0＝1，从而切点坐标为(1，0)，切线方程为y＝2x－2．
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，其中a∈R，讨论f(x)的单调性．
[解]　f′(x)＝2ax－＝(x＞0)，
当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减；
当a＞0时，由f′(x)＝0，有x＝，
此时，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
综上，a≤0时，减区间为(0，＋∞)，a＞0时，减区间为，增区间为．
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的x∈[0，3]，都有f(x) [解]　(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b．
因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，
则有f′(1)＝0，f′(2)＝0，即
解得
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
则f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈[0，1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，3]时，f′(x)>0．
所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，当x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c．
所以当x∈[0，3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c．
因为对于任意的x∈[0，3]，有f(x) 所以9＋8c9．
故c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
20．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
[解]　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，
底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，从而
V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得r<5，
故函数V(r)的定义域为(0，5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；
当r∈(5，5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8．
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－ax，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线经过点(2，－1)．
(1)求实数a的值；
(2)设b＞1，求f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解]　(1)f(x)的导函数为f′(x)＝
⇒f′(1)＝＝1－a，依题意，有＝1－a，即＝1－a，解得a＝1．
(2)由(1)得f′(x)＝，
当0＜x＜1时，1－x2＞0，－ln x＞0，
∴f′(x)＞0，故f(x)在(0，1)上单调递增；
当x＞1时，1－x2＜0，－ln x＜0，
∴f′(x)＜0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．
∵0＜＜1＜b，∴f(x)最大值为f(1)＝－1．
设h(b)＝f(b)－f＝ln b－b＋，其中b＞1．
则h′(b)＝ln b＞0，故h(b)在区间(1，＋∞)单调递增，
当b→1时，h(b)→0⇒h(b)＞0⇒f(b)＞f，
故f(x)最小值f＝－bln b－．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．
[解]　(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝．
若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0．故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减；
若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增；
若a＜0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0．故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．
(2)满足题设条件的a，b存在．
(ⅰ)当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0，1]单调递增，所以f(x)在区间[0，1]的最小值为f(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b．此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1．
(ⅱ)当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0，1]单调递减，所以f(x)在区间[0，1]的最大值为f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b．此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1．
(ⅲ)当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在[0，1]的最小值为f＝－＋b，最大值为b或2－a＋b．
若－＋b＝－1，b＝1，则a＝3，与0＜a＜3矛盾．
若－＋b＝－1，2－a＋b＝1，则a＝3或a＝－3或a＝0，与0＜a＜3矛盾．
综上，当且仅当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0，1]的最小值为－1，最大值为1．