高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.4 向量应用第2课时课时训练

课后素养落实(三)　向量的减法

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．化简下列向量式，结果为0的个数是(　　)

①－＋；②＋＋－；③－－；④＋－．

A．1  B．2  C．3  D．4

D　[①－＋＝0；

②＋＋－＝＋＝0；

③－－＝－(＋)＝0；

④＋－＝0．]

2．如图所示，在正方形ABCD中，已知＝a，＝b，＝c，则图中能表示a－b＋c的向量是(　　)

A．  B．  C．  D．

B　[由已知得，

a－b＝－＝，c＝，

∴a－b＋c＝＋＝．]

3．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于(　　)

A．b－c   B．b＋c

C．－b－c   D．－b＋c

A　[＝＝＝－＝b－c．]

4．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||＝4，|＋|＝|－|，则||＝(　　)

A．2　  B．4　  C．16　  D．8

A　[因为|＋|＝|－|，又点A在直线BC外，故四边形ABDC是以AB，AC为邻边的平行四边形且对角线相等，故ABDC为矩形，||＝||＝2．]

5．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列各式正确的是(　　)

A．＋＋＝0

B．－＋＝0

C．＋－＝0

D．－－＝0

A　[A项，＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝0；

B项，－＋＝(＋)－＝－≠0；

C项，＋－＝＋(－)＝＋≠0；

D项，－－＝(－)－＝－＝＋≠0．]

二、填空题

6．已知两向量a和b，如果a的方向与b的方向垂直，那么|a＋b|________|a－b|．(填写“＝”“≤”或“≥”)

＝　[以a，b为邻边的平行四边形是矩形，

矩形的对角线相等．由加减法的几何意义知|a＋b|＝|a－b|．]

7．已知|a|＝7，|b|＝2，若a∥b，则|a－b|＝________．

5或9　[∵a∥b，当a与b同向时，|a－b|＝|7－2|＝5，

当a与b反向时，|a－b|＝|7＋2|＝9．]

8．如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，则＝________．

a＋c－b　[因为＝a，＝b，＝c，所以＝－＝c－b，又＝，所以＝＋＝a＋c－b．]

三、解答题

9．化简：

(1)－＋－；

(2)＋＋－．

[解]　(1)－＋－＝(＋)－(＋)

＝－＝0．

(2)＋＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0．

10．如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度．

(1)a＋b＋c；

(2)a－b＋c．

[解]　(1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延长AC到E，

使||＝||．则a＋b＋c＝，且||＝2．

所以|a＋b＋c|＝2．

(2)作＝，连接BD，CF，

则＋＝，

而＝－＝a－b，

所以a－b＋c＝＋＝，

且||＝2，所以|a－b＋c|＝2．

11．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　)

A．2  B．  C．  D．1

B　[如图所示，|－|＝|＋|＝||，

又||＝1，||＝1，∠ABC′＝120°，

∴在△ABC′中，||＝．]

12． (多选题)设a，b是非零向量，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A．|a＋b|≤|a|＋|b|　   B．|a|－|b|≤|a＋b|

C．|a|－|b|≤|a|＋|b|　   D．|a|≤|a＋b|

ABC　[由向量模的不等关系可得：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；|a＋b|≤|a|＋|b|，故A恒成立；||a|－|b||≤|a＋b|，故B恒成立；||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，故C恒成立．令a＝－b，|a|＝2，则|a＋b|＝0，则D不成立．故选ABC．]

13．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则＝________．

　[如图，设＝a，＝b，＝a＋b，则＝－＝a－b，

∵|a|＝|b|＝|a－b|，

∴BA＝OA＝OB．

∴△OAB为正三角形，设其边长为1,

则|a－b|＝||＝1，|a＋b|＝2×＝．

∴＝＝．]

14．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于________．

或　[由题图易知＝，

∴－＝－＝，

又＝，

∴－＝或．]

15．如图所示，▱ABCD中，＝a，＝b．

(1)用a，b表示，；

(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？

(3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?

(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？

[解]　(1)＝＋＝b＋a，＝－＝a－b．

(2)由(1)知，a＋b＝，a－b＝．

若a＋b与a－b所在直线垂直，

则AC⊥BD．

又∵四边形ABCD为平行四边形，

∴四边形ABCD为菱形，即应满足|a|＝|b|．

(3)假设|a＋b|＝|a－b|，

即||＝||．

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形，∴a⊥b，

∴当a与b垂直时，|a＋b|＝|a－b|．

(4)不可能，∵▱ABCD的两条对角线不可能平行，

∴a＋b与a－b不可能为共线向量，也就是不可能为相等向量．