高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第9章 平面向量本章综合与测试课时训练

章末综合测评(一)　平面向量

(满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列命题中，正确命题的个数是(　　)

①单位向量都共线；

②长度相等的向量都相等；

③共线的单位向量必相等；

④与非零向量a共线的单位向量是．

A．3  B．2  C．1  D．0

D　[根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．]

2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝(　　)

A．－12  B．－6  C．6  D．12

D　[2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12．]

3．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝(　　)

A．2  B．  C．  D．

D　[设||＝x，则||＝x，

·＝(＋)·＝·

＝||·||cos∠ADB＝x·1·＝．]

4 ．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则(　　)

A．＝2   B．＝

C．＝3   D．2＝

B　[因为D为BC的中点，所以＋＝2．

所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝．]

5．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)

A．   B．

C．   D．

D　[设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x，2＋y)，a＋b＝(3，－1)，

由已知可得

解得即c＝．]

6．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为(　　)

A．6 N  B．2 N  C．2 N   D．2N

D　[由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2＝|－F1－F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1|·|F2|·cos 60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|F3|＝2 N．]

7．如图，已知点 C 为△OAB边AB上一点，且AC＝2CB，若存在实数m，n，使得＝m＋n，则m－n的值为(　　)

A．－  B．0  C．  D．

A　[＝＋＝＋＝＋＋＝＋，所以m－n＝－．故选A．]

8．已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是(　　)

A．(－9，1)   B．(9，－1)

C．(9，1)   D．(－9，－1)

C　[设点C的坐标是(x，y)，

因为A，B，C三点共线，所以∥．

因为＝－(1，－3)＝，

＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，

所以7(y＋3)－(x－1)＝0，

整理得x－2y＝7，经检验可知点(9，1)符合要求．]

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)

9．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　)

A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e

B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0

C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)

D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b

AB　[对于A，∵向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，∴a＝e，b＝－e ，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，要使非零向量a，b是共线向量，由向量共线定理即可证明，故B正确；对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)如果x＝y＝0则不能使a，b共线，故C不正确；对于D，已知梯形ABCD中，＝a ，＝b，如果AB，CD是梯形的上下底，则正确，否则错误；故选AB．]

10．如图所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内(不含边界)的有(　　)

A．＋2   B．＋

C．＋   D．＋

AB　[依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接OE交AB于点F(图略)，则有＝λ＝λ[x＋(1－x)]＝λx＋(1－x)λ，其中0<x<1，λ>1，注意到λx＋(1－x)λ＝λ>1；注意到1＋2＝3>1，＋>＋＝1，＋＝<1，＋＝<1，故选AB．]

11．如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．＝＋   B．＝＋

C．＝＋   D．＝－

ABD　[＝＋＝＋，A正确；

＝＋＝＋＝＋＝＋，B正确；

＝＋＋＝－＋＋＝－，C错误；＝＋＋＝－＋＋＝－，D正确．故选ABD．]

12． △ABC是边长为3的等边三角形，已知向量a，b满足＝3a，＝3a＋b，则下列结论中正确的有(　　)

A．a为单位向量　   B．b∥

C．a⊥b　 D．⊥

ABD　[对于A，∵＝3a，∴a＝，则＝＝1，A正确；

对于B，∵＝3a＋b＝＋b，∴b＝－＝，∴b∥，B正确；

对于C，a·b＝·＝×32×cos≠0，所以a与b不垂直，C错误；

对于D，·＝·＝2－2＝0，所以⊥，D正确．

故选ABD．]

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________．

8　[向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，a⊥b，则a·b＝0，－4×6＋3m＝0，m＝8．]

14．已知点A(2，5)，B(3，－2)，则向量＝________，与向量同向的单位向量为________．(本题第一空2分，第二空3分)

(1，－7)　　[由向量的坐标定义，可知，＝(3－2，－2－5)＝(1，－7)．

∵||＝＝5．∴与向量同向的单位向量为：＝＝．]

15．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________．

2　[法一：·＝·(－)＝2－2＝22－×22＝2．

法二：以A为原点建立平面直角坐标系如图所示．则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2)．

∴＝(1，2)，＝(－2，2)．

从而·＝(1，2)·(－2，2)＝1×(－2)＋2×2＝2．]

16．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．

8　[∵a∥b，∴2×(－2)－(－1)x＝0，解得x＝4，

∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．

∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，

即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4，

∴＝(y－x，x－y)＝(－8，8)，∴||＝8．]

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知平面向量a＝(2，3)，b＝(－2，4)，c＝(1，－1)．

(1)求证：(a－b)⊥(a－c)垂直；

(2)若a＋λb与c是共线向量，求实数λ的值．

[解]　(1)证明：因为a＝(2，3)，b＝(－2，4)，c＝(1，－1)，

所以a－b＝(4，－1)，a－c＝(1，4)．

从而(a－b)·(a－c)＝4×1＋(－1)×4＝0，

且(a－b)与(a－c)均为非零向量，

所以(a－b)⊥(a－c)垂直．

(2)因为a＝(2，3)，b＝(－2，4)，所以a＋λb＝(2－2λ，3＋4λ)，

又c＝(1，－1)，且a＋λb与c是共线向量，

所以(2－2λ)×(－1)－(3＋4λ)×1＝0，

解得λ＝－．

18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．

(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．

[解]　(1)由题设，知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．

所以|＋|＝2，|－|＝4．故所求的两条对角线长分别为4，2．

(2)由题设，知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．

由(－t)·＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－．

19．(本小题满分12分)如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，＝x·＋y·．

(1)若＝，求x，y的值；

(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°时，求·的值．

[解]　(1)∵＝，∴＋＝＋，即2＝＋，

∴＝＋，即x＝，y＝．

(2)∵＝3，

∴＋＝3＋3，即4＝＋3，

∴＝＋．∴x＝，y＝．

∴·＝·(－)

＝·－·＋·

＝×22－×42＋×4×2×

＝－9．

20．(本小题满分12分)设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

[解]　由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，

得＜0，

即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0．

整理得：2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＜0．(*)

∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°．

∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1．

∴(*)式化简得：2t2＋15t＋7＜0．

解得－7＜t＜－．

当向量2te1＋7e2与e1＋te2夹角为180°时，

设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)．

对比系数得，∴

∴所求实数t的取值范围是∪．

21．(本小题满分12分)在△ABC中，已知A(2，4)，B(－1，－2)，C(4，3)，AD⊥BC于点D．

(1)求点D的坐标；

(2)求证：AD2＝BD·DC．

[解]　(1)设D点坐标为(x，y)，

则＝(x－2，y－4)，＝(5，5)，＝(x＋1，y＋2)．

因为AD⊥BC，所以·＝0，

即5(x－2)＋5(y－4)＝0．

所以x＋y＝6． ①

又因为B，D，C三点共线，

所以∥，

所以5(x＋1)－5(y＋2)＝0，

所以x－y＝1． ②

联立①②，解得所以点D的坐标为．

(2)证明：因为＝，

＝，＝，

所以||2＝＋＝，

||＝＝，

||＝＝，

从而||·||＝×＝．

故||2＝||·||，即AD2＝BD·DC．

22．(本小题满分12分)已知A(－1，0)，B(0，2)，C(－3，1)，·＝5，2＝10．

(1)求D点坐标；

(2)若D点在第二象限，用，表示；

(3)若＝(m，2)，3＋与垂直，求的坐标．

[解]　(1)设D(x，y)，＝(1，2)，＝(x＋1，y)．

由题得

即

∴或

∴D点坐标为(－2，3)或(2，1)．

(2)∵D点在第二象限，

∴由(1)知D(－2，3)．

∴＝(－1，3)．

∵＝(－2，1)，

设＝m＋n，则(－2，1)＝m(1，2)＋n(－1，3)，

∴∴

∴＝－＋．

(3)∵3＋＝3(1，2)＋(－2，1)＝(1，7)，＝(m，2)，(3＋)·＝0，

∴m＋14＝0，

∴m＝－14．

∴＝(－14，2)．