高中数学15.1 随机事件和样本空间同步达标检测题

课后素养落实(十三)　两角和与差的正切

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．tan 255°＝(　　)

A．－2－   B．－2＋

C．2－   D．2＋

D　[tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋．]

2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β＝(　　)

A．2  B．  C．1  D．

D　[tan(α＋β)＝＝＝4，

∴1－tan αtan β＝，tan αtan β＝．]

3．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝(　　)

A．  B．  C．  D．

A　[∵B∈，sin B＝，∴cos B＝．

∴tan B＝．

∴tan(A＋B)＝＝＝1．

又A，B∈，∴A＋B∈(0，π)．∴A＋B＝．]

4．已知tan α，tan β是方程x2＋6x＋7＝0的两个实根，则tan(α－β)＝(　　)

A．  B．  C．－  D．±

D　[由已知tan α＝－3＋，tan β＝－3－或tan α＝－3－，tan β＝－3＋，

∴tan(α－β)＝＝±．]

5．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan Atan C，则角B＝(　　)

A．30°  B．45°  C．60°  D．75°

C　[因为A＋B＋C＝180°，

所以tan(A＋C)＝－tan B，

又tan A＋tan B＋tan C＝3，

所以tan A＋tan C＝3－tan B，

又tan2B＝tan Atan C，

所以由tan(A＋C)＝得－tan B＝，

所以－tan B(1－tan2B)＝3－tan B，

所以tan3B＝3，所以tan B＝．

又0°<B<180°，所以B＝60°．]

二、填空题

6．＝________．

　[原式＝＝

＝tan(55°－25°)＝tan 30°＝．]

7．在△ABC中，若0<tan Btan C<1，则△ABC是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)

钝角　[易知tan B>0，tan C>0，B，C为锐角．

<1，∴cos Bcos C>sin Bsin C．

∴cos Bcos C－sin Bsin C>0，∴cos(B＋C)>0，即cos A＜0，故A为钝角．]

8．已知P(2，m)为角α终边上一点，且tan＝，则sin α＝________．

－　[∵P(2，m)为角α终边上一点，∴tan α＝，

再根据tan＝＝＝，∴m＝－1，∴P(2，－1)，

则sin α＝＝＝－．]

三、解答题

9．求下列各式的值：

(1)tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°；

(2)tan 70°－tan 10°－tan 70°tan 10°．

[解]　(1)因为tan(17°＋28°)＝，

所以tan 17°＋tan 28°＝tan 45°(1－tan 17°tan 28°)

＝1－tan 17°tan 28°，

所以tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1．

(2)因为tan 60°＝tan(70°－10°)

＝，

所以tan 70°－tan 10°＝＋tan 70°tan 10°，

所以tan 70°－tan 10°－tan 70°tan 10°＝．

10．若△ABC的三内角满足：2B＝A＋C，且A＜B＜C，tan Atan C＝2＋，求角A，B，C的大小．

[解]　由题意知：

解之得：B＝60°且A＋C＝120°，

∴tan(A＋C)＝tan 120°＝－＝，

又∵tan Atan C＝2＋，

∴tan A＋tan C＝tan(A＋C)·(1－tan Atan C)

＝tan 120°(1－2－)

＝－(－1－)＝3＋．

∴tan A，tan C可作为一元二次方程

x2－(3＋)x＋(2＋)＝0的两根，

又∵0＜A＜B＜C＜π，

∴tan A＝1，tan C＝2＋．

即A＝45°，C＝75°．

所以A，B，C的大小分别为45°，60°，75°．

11．设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan等于(　　)

A．－  B．  C．－3  D．3

B　[a·b＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2．

tan＝＝．]

12．(多选题)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　　)

A．A＋B＝2C　   B．tan(A＋B)＝－

C．tan A＝tan B　   D．cos B＝sin A

CD　[在△ABC中，C＝120°，

所以A＋B＝60°，

所以tan(A＋B)＝＝＝，解得tan Atan B＝．

由于tan A＋tan B＝，tan Atan B＝．

所以tan A和tan B为方程x2－x＋＝0的两个根，

所以tan A＝tan B＝．

所以cos B＝sin A．故A、B错误，C、D正确．故选CD．]

13．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)

钝角　[由已知得

∴tan(A＋B)＝＝＝，

在△ABC中，tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－<0，∴C是钝角，∴△ABC是钝角三角形．]

14．已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则tan(α＋β)＝________，α＋β＝________．

－1　　[∵(tan α－1)(tan β－1)＝tan αtan β－(tan α＋tan β)＋1＝2，

∴tan αtan β－(tan α＋tan β)＝1，

即1－tan αtan β＝－(tan α＋tan β)．

∴tan(α＋β)＝＝－1，

又α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴由tan(α＋β)＝－1可知α＋β＝．]

15．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝和②tan ·tan β＝2－ 同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．

[解]　由①得＋β＝，∴tan＝＝．

将②代入上式得tan ＋tan β＝3－．

因此，tan 与tan β是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根．解得x1＝1，x2＝2－．

若tan ＝1，由于0＜＜，

∴这样的α不存在．

故只能是tan ＝2－，tan β＝1．

由于α，β均为锐角，

∴α＝，β＝．

故存在锐角α＝，β＝使①②同时成立．