高中11.2 正弦定理第2课时练习

课后素养落实(十八)　正弦定理(2)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．在△ABC中，b＋c＝＋1，C＝45°，B＝30°，则(　　)

A．b＝1，c＝   B．b＝，c＝1

C．b＝，c＝1＋   D．b＝1＋，c＝

A　[∵＝＝＝＝2，∴b＝1，c＝．]

2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　)

A．无解   B．两解

C．一解   D．解的个数不确定

B　[∵＝，

∴sin B＝sin A＝sin 45°＝＞．

又∵a＜b，∴B有两个解，即此三角形有两解．]

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin A，则sin B＝(　　)

A．  B．  C．  D．－

B　[由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，

所以sin A＝sin Bsin A，故sin B＝．]

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为(　　)

A．，   B．，

C．，   D．，

C　[∵m⊥n，∴cos A－sin A＝0，

∴tan A＝，

又∵A∈(0，π)，∴A＝，

由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝sin2C，∴sin(A＋B)＝sin2C，即sin C＝1，∴C＝，B＝．]

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若B＝，a＝，sin2B＝2sin Asin C，则△ABC的面积S＝(　　)

A．  B．3  C．  D．6

B　[由sin2B＝2sin Asin C及正弦定理，得b2＝2ac， ①

又B＝，所以a2＋c2＝b2． ②

联立①②解得a＝c＝，所以S＝××＝3．]

二、填空题

6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是________(填序号)．

①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；

②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；

③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；

④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．

④　[①中a＝bsin A，有一解；②中csin B<b<c，有两解；③中A＝90°且a>b，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．]

7．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________．

　[由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc

＝－2bccos A＋2bc．

又S＝bcsin A，∴bcsin A＝2bc－2bccos A．

∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0．

∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0．

∴cos A＝1(舍去)或cos A＝．]

8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．

　[在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝．]

三、解答题

9．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求的值．

[解]　由条件得＝＝，∴sin A＝sin C．

同理可得sin B＝sin C．

∴＝＝－．

10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B．

(1)求角B的大小；

(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．

[解]　(1)由正弦定理得＝＝2R，R为△ABC外接圆半径．

又bsin A＝acos B，

所以2Rsin Bsin A＝·2Rsin Acos B．

又sin A≠0，

所以sin B＝cos B，所以tan B＝．

又因为0<B<π，所以B＝．

(2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a．

由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，

得9＝a2＋c2－ac，

所以a2＋4a2－2a2＝9，

解得a＝，故c＝2．

11．在△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是(　　)

A．[3，6]   B．(2，4)

C．(3，4)   D．(3，6]

D　[∵A＝，∴B＋C＝π．

∴AC＋AB＝(sin B＋sin C)

＝

＝2

＝6sin，

∴B∈，∴B＋∈，

∴sin∈，

∴AC＋AB∈(3，6]．]

12．(多选题)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　)

A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形

B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰直角三角形

C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是直角三角形

D．若＝＝，则△ABC是等边三角形

AD　[对于A，∵tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)，

∴tan A＋tan B＋tan C＝tan (A＋B)(1－tan Atan B)＋tan C＝－tan C＋tan C＝tan Atan Btan C>0，

又由A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角，故A正确；

对于B，若acos A＝bcos B，则sin Acos A＝sin Bcos B，则2sin Acos A＝2sin Bcos B，则sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC是等腰三角形或直角三角形，故B错误；

对于C，bcos C＋ccos B＝b，则sin B＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故C不正确；

对于D，若＝＝，则＝＝，则tan A＝tan B＝tan C，A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故D正确．故选AD．]

13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cos B＝________．

　[在△ABC中，因为

所以

所以cos B＝．]

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C，则角C＝________；sin A－cos的最大值为________．

　2　[由正弦定理及已知条件得sin Csin A＝sin Acos C．因为0<A<π，所以sin A>0，从而sin C＝cos C，则C＝．

所以B＝－A，于是sin A－cos＝sin A－cos(π－A)＝sin A＋cos A＝2sin．

因为0<A<，所以<A＋<．

从而当A＋＝，即A＝时，2sin取得最大值2．]

15．在△ABC中，·＝3，其面积S∈，求与夹角的取值范围．

[解]　设||＝c，||＝a，与的夹角为θ，则·＝3＝accos θ，所以ac＝．

因为S＝acsin(π－θ)＝tan θ，所以≤tan θ≤，即1≤tan θ≤．又θ∈(0，π)，所以≤θ≤，所以与夹角的取值范围为．