高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.4 复数的三角形式练习

课后素养落实(二十四)　复数的三角形式*

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列表示复数1＋i的三角形式中

①；②；

③；④，正确的个数是(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

B　[∵r＝＝，cos θ＝，sin θ＝，∴辐角主值为，

∴1＋i＝＝，

故①③的表示是正确的，②④的表示不正确，故选B.]

2．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是(　　)

A．

B．[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]

C．

D．

A　[因为1＋i＝，

cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，

所以(1＋i)(cos θ－isin θ)

＝

＝.]

3．计算的结果是(　　)

A．－9　  B．9　  C．－1　  D．1

B　[

＝9

＝9＝9，故选B.]

4．若复数z＝r(cos θ＋isin θ)(r＞0，θ＜R)，则把这种形式叫作复数z的三角形式，其中r为复数z的模，θ为复数z的辐角．若一个复数z的模为2，辐角为，则＝(　　)

A．1＋i　  B．1－i　  C．－i　  D．＋i

D　[由复数z的模为2，辐角为，可得z＝2＝－1＋i.

所以＝＝＝＋i.故选D.]

5．适合＝1且arg z＝π的复数z的个数是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．无穷多

[答案]　C

二、填空题

6．复数的代数形式是________．

－i 　[ ＝ cos－isin ＝－i.]

7．设z＝1－2i对应的向量为，将绕原点按顺时针方向旋转30°所得向量对应的复数的虚部为________．

－　[所得向量对应的复数为(1－2i)·＝(1－2i)＝－i，故虚部为－.]

8．复数1＋i的辐角主值是 ________，三角形式是________．

　　[复数1＋i的模是＝，

因为1＋i对应的点在第一象限且辐角的正切tan θ＝1，它的辐角主值为.

三角形式为.]

三、解答题

9．已知z＝－2i，z1－·z2＝0，arg z2＝，若z1，z2在复平面上分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1的立方根．

[解]　由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，

所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又arg z2＝，所以z2＝，

z1＝z2＝(1＋i)z2＝·

＝2，

所以z1的立方根为，k＝0，1，2，即，，.

10．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg z∈.

(1)求z的三角形式；

(2)记A、B、C分别表示复数z、ω、－2ω在复平面上的对应点．已知A、B、C三点成逆时针顺序，且△ABC为等边三角形，求tan(arg ω)．

[解]　(1)由z2＋2z＋4＝0，得z＝(－2±2i)＝－1±i.∵arg z∈，

∴z＝－1－i应舍去，

∴z＝－1＋i＝2.

(2)由题意，CA：z－(－2ω)＝z＋2ω，CB：ω－(－2ω)＝3ω，

∵|CA|＝|CB|，A、B、C三点位置成逆时针顺序，又∠ACB＝，

∴把CA按逆时针方向旋转60°即得CB，∴3ω＝(z＋2ω)，

将z＝2代入上式，解得ω＝－，由点B在第三象限知tan(arg ω)＝.

11．复数z＝tan θ＋i的三角形式是(　　)

A．(sin θ＋icos θ)

B．(cos θ＋isin θ)

C．－

D．－

D　[因为<θ<π，

所以cos θ<0，

所以z＝tan θ＋i＝－[－sin θ＋i(－cos θ)]＝－，故选D.]

12．(多选题)任何一个复数z＝a＋bi(其中a、b∈R，i为虚数单位)都可以表示成：z＝r(cos θ＋isin θ)的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：

zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈N＋)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是(　　)

A．|z2|＝|z|2

B．当r＝1，θ＝时，z3＝1

C．当r＝1，θ＝时，＝－i

D．当r＝1，θ＝时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数

AC　[对于A选项，z＝r(cos θ＋isin θ)，则

z2＝r2(cos 2θ＋isin 2θ)，

可得|z2|＝|r2(cos 2θ＋isin 2θ)|＝r2，

|z|2＝|r(cos θ＋isin θ)|2＝r2，A选项正确；对于B选项，当r＝1，θ＝时，

z3＝(cos θ＋isin θ)3＝cos 3θ＋isin 3θ＝cos π＋isin π＝－1，B选项错误；对于C选项，当r＝1，θ＝时，z＝cos ＋isin ＝＋i，则＝－i，C选项正确；对于D选项，zn＝(cos θ＋isin θ)n＝cos nθ＋isin nθ＝cos ＋isin ，

取n＝4，则n为偶数，则z4＝cos π＋isin π＝－1不是纯虚数，D选项错误．故选AC.]

13．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，对eπi表示的复数z，则|z|等于________；等于________．

1　i　[由欧拉公式eix＝cos x＋isin x，可得

e＝cos π＋isin π＝－＋i，

所以|z|＝＝1，

＝＝i.]

14．复数z＝cos＋isin是方程x5－α＝0的一个根，那么α的值等于________.

＋i　[由题意得，α＝＝cos＋isin＝＋i.]

15．设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为z1、z2，z1、z2的辐角主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．

[解]　由题意可设z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β.

∵△AOB的重心G对应的复数为＋i，

∴＝＋i，即，

∴

∴tan＝，故tan(α＋β)＝ ＝.