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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第14章 统计本章综合与测试课后练习题
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第14章 统计本章综合与测试课后练习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
章末综合测评(六) 统计
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某次体检5位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76．则这组数据的中位数是( )
A．1.74 B．1.75 C．1.76 D．1.77
C [将5位同学的身高按照从小到大的顺序排列为1.69，1.72，1.76，1.78，1.80，则位于中间的数是1.76，即中位数是1.76．]
2．当前，国家正分批修建保障性住房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户．第一批保障性住房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，若采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( )
A．30 B．40 C．45 D．50
B [从甲社区中抽取低收入家庭的户数为×90＝40．]
3．已知一组数据8，9，10，x，y的平均数为9，方差为2，则x2＋y2＝( )
A．162 B．164 C．168 D．170
D [由题意知
解得x2＋y2＝170．]
4．如图是2020年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是( )
①2020年第一季度GDP总量和增速居同一位的省只有1个；
②与去年同期相比，2020年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；
③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省；
④2019年同期A省的GDP总量也是第三位．
A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④
B [①2020年第一季度GDP总量和增速居同一位的省有2个，B省和C省的GDP总量和增速分别居第一位和第四位，故①错误；由题图知②正确；由题图计算2019年同期五省的GDP总量，可知前三位为D省、B省、A省，故③正确；由③知2019年同期A省的GDP总量是第三位，故④正确．故选B．]
5．已知一种腌菜食品按行业生产标准分为A，B，C三个等级，现针对某加工厂同一批次的三个等级420箱腌菜进行质量检测，采用分层抽样的方法进行抽取，设从三个等级A，B，C中抽取的箱数分别为m，n，t，若2t＝m＋n，则420箱中等级为C级的箱数为( )
A．120 B．140 C．160 D．180
B [由2t＝m＋n，可知等级为C级的腌菜箱数占全部箱数的，故420箱腌菜中等级为C的腌菜箱数为420×＝140．]
6．为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，所得数据都在区间[10，110]内，其频率直方图如图所示．已知活动时间在[10，35)内的频数为80，则n的值为( )
A．700 B．800 C．850 D．900
B [根据频率直方图，知组距为25，所以活动时间在[10，35)内的频率为0.1．因为活动时间在[10，35)内的频数为80，所以n＝＝800．故选B．]
7．2016年1月1日我国全面实施二孩政策后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2 400人，30岁至40岁的约3 600人，40岁以上的约6 000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60，则N＝( )
A．180 B．186 C．194 D．200
D [由题意得＝，
解得N＝200．]
8．学校组织开展劳动实践，高二某班15名学生利用假期时间前往敬老院、消防队等场所劳动服务．经统计，该15名学生的劳动服务时长平均为20小时，标准差为s．后来经核实，发现统计的甲、乙两名同学的劳动服务时长有误．甲同学的劳动服务时长实际为20小时，被误统计为15小时；乙同学的劳动服务时长实际为18小时，被误统计为23小时．更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为( )
A．s＝s1 B．s
C [由已知可得，两次统计的总人数没有变，故两次统计的平均数的相同的，设为，
设劳动时间长为xi(1≤i≤15，i∈N*)，
则s＝，
s1＝，
要比较s与s1的大小，只需比较(15－)2＋(23－)2与(20－)2＋(18－)2的大小即可，
因为(15－)2＋(23－)2＝754－76＋22，
(20－)2＋(18－)2＝724－76＋22，
所以(15－)2＋(23－)2>(20－)2＋(18－)2，
故s>s1．
故选C．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度(单位：厘米)，将所得数据分成6组：[90，91)，[91，92)，[92，93)，[93，94)，[94，95)，[95，96]，得到如图所示的频率直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是( )
A．b＝0.25
B．长度落在区间[93，94)内的个数为35
C．长度的众数一定落在区间[93，94)内
D．长度的中位数一定落在区间[93，94)内
ABD [对于A：由频率之和为1，得(0.35＋b＋0.15＋0.1×2＋0.05)×1＝1，解得b＝0.25，所以选项A正确；
对于选项B：长度落在区间[93，94)内的个数为100×0.35＝35，所以选项B正确；
对于选项C：对这100件产品，长度的众数不一定落在区间[93，94)内，所以选项C错误；
对于选项D：对这100件产品，因为0.1＋0.1＋0.25<0.5，而0.1＋0.1＋0.25＋0.35>0.5，所以长度的中位数一定落在区间[93，94)内，所以选项D正确，故选ABD．]
10．某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况如下表：
场次
1
2
3
4
5
6
甲得分
31
16
24
34
18
9
乙得分
23
21
32
11
35
10
则下列说法正确的是( )
A．甲运动员得分的极差与乙运动员得分的极差不同
B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
BD [由题意，得甲的极差为34－9＝25，中位数是21，平均值为22，方差s＝75；乙的极差为35－10＝25，中位数是22，平均值为22，方差s＝89．故答案为BD．]
11．AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述正确的是( )
A．这12天中有6天空气质量为“优良”
B．这12天中空气质量最好的是4月9日
C．这12天的AQI指数值的中位数是90
D．从4日到9日，空气质量越来越好
ABD [由图可知，AQI不大于100天有6日到11日，共6天，所以A对； AQI最小的一天为9日，所以B对；中位为是＝99.5，C错．从图中可以看到4日到9日的AQI越来越小，所以D对．所以选ABD．]
12．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中正确的是( )
A．建设后，种植收入减少
B．建设后，其他收入增加了一倍以上
C．建设后，养殖收入增加了一倍
D．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
BCD [设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，由题图可知：
种植
收入
养殖收入＋
第三产业收入
养殖
收入
其他
收入
建设前经济收入
0.6a
0.36a
0.3a
0.04a
建设后经济收入
0.74a
1.16a
0.6a
0.1a
根据上表可知B、C、D结论均正确，结论A不正确，故选BCD．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．下列数据的70百分位数为________．
20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22．
28 [把所给的数据按照从小到大的顺序排列可得：
12，14，18，20，22，24，26，26，28，30，33，35，
因为有12个数据，所以12×70%＝8.4，不是整数，所以数据的70百分位数为第9个数28．]
14．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则z的值为________．
400 [由题意可得＝，解得z＝400．]
15．某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如表：
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________人．
36 [根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×＝36．]
16．某班有48名学生，在一次考试后统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实际得了80分却记成了50分，乙得了70分却记成了100分，更正后平均分为__________，方差为________．(本题第一空2分，第二空3分)
70 50 [平均数没有变化，方差有变动．
登记错了的情况下，s2＝[…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…]＝75，实际上，s2＝[…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…]＝50．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得的利润为30元，未售出的产品，每盒亏损10元．该大学生通过查询资料得到开学季市场需求量的频率直方图，如图所示．该大学生为这个开学季购进了160盒该产品，以x(单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．
(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；
(2)将y表示为x的函数；
(3)根据直方图估计利润y不少于4 000元的概率．
[解] (1)由题中频率直方图得，这个开学季内市场需求量x的众数是150盒，
需求量在[100，120)内的频率为0.005 0×20＝0.1，
需求量在[120，140)内的频率为0.010 0×20＝0.2，
需求量在[140，160)内的频率为0.015 0×20＝0.3，
需求量在[160，180)内的频率为0.012 5×20＝0.25，
需求量在[180，200]内的频率为0.007 5×20＝0.15．
则平均数＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒)．
(2)因为每售出1盒该产品获得的利润为30元，未售出的产品，每盒亏损10元，
所以当100≤x＜160时，y＝30x－10×(160－x)＝40x－1 600；
当160≤x≤200时，y＝160×30＝4 800．
所以y＝
(3)因为利润y不少于4 000元，所以当100≤x＜160时，由40x－1 600≥4 000，解得140≤x＜160；
当160≤x≤200时，y＝4 800＞4 000恒成立，所以140≤x≤200时，利润y不少于4 000元．
故由(1)知利润y不少于4 000元的概率P＝1－0.1－0.2＝0.7．
18．(本小题满分12分)某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19．
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
[解] (1)∵＝0.19，
∴x＝380．
(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为×500＝12(名)．
19．(本小题满分12分)2016年8月7日，在里约奥运会射击女子10米气手枪决赛中，中国选手张梦雪以199.4环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金，俄罗斯选手巴特萨拉斯基纳获得银牌．下表是两位选手的其中10枪成绩．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
张梦雪
10.2
10.3
9.8
10.1
10
9.3
10.9
9.9
10.3
9.2
巴特萨拉
斯基纳
10.1
10
10.4
10.2
9.2
9.2
10.5
10.2
9.5
9.7
(1)请计算两位射击选手的平均成绩，并比较谁的成绩较好；
(2)请计算两位射击选手成绩的方差，并比较谁的射击情况比较稳定．
[解] (1)张＝×(10.2＋10.3＋9.8＋10.1＋10＋9.3＋10.9＋9.9＋10.3＋9.2)＝10，巴＝×(10.1＋10＋10.4＋10.2＋9.2＋9.2＋10.5＋10.2＋9.5＋9.7)＝9.9，可知张梦雪的成绩较好．
(2)s＝×[0.22＋0.32＋(－0.2)2＋0.12＋0＋(－0.7)2＋0.92＋(－0.1)2＋0.32＋(－0.8)2]＝0.222，
s＝×[0.22＋0.12＋0.52＋0.32＋(－0.7)2＋(－0.7)2＋0.62＋0.32＋(－0.4)2＋(－0.2)2]＝0.202．
因为s>s，所以巴特萨拉斯基纳成绩较稳定．
20．(本小题满分12分)根据空气质量指数AQI(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：
AQI
0～50
51～100
101～150
151～200
201～250
251～300
>300
级别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ1
Ⅲ2
Ⅳ1
Ⅵ2
Ⅴ
状况
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
对某城市一年(365天)的空气质量进行监测，获得的AQI数据按照区间[0，50]，(50，100]，(100，150]，(150，200]，(200，250]，(250，300]进行分组，得到频率直方图如图．
(1)求直方图中x的值；
(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数．
[解] (1)根据频率直方图可知：x＝÷50＝．
(2)一年中空气质量为良和轻微污染的天数分别是×50×365＝119(天)；×50×365＝100(天)．
21．(本小题满分12分)从某高校自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，把成绩分组，得到的频率分布表如下：
组号
分组
频数
频率
第1组
[160，165)
5
0.05
第2组
[165，170)
①
0.35
第3组
[170，175)
30
②
第4组
[175，180)
20
0.20
第5组
[180，185]
10
0.10
合计
100
1
(1)求出频率分布表中①②位置的相应的数据；
(2)这次笔试成绩的中位数落在哪组内？
(3)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中利用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮面试，求从第3、4、5组分别抽取多少人进行第二轮面试．
[解] (1)由题意知第2组的频数为100－5－30－20－10＝35；第3组的频率为1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30．
(2)第1组和第2组的频数和为40，第4组和第5组的频数和为30，所以这次笔试成绩的中位数落在第3组内．
(3)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，从第3组抽取×6＝3(人)，从第4组抽取×6＝2(人)，从第5组抽取×6＝1(人)．
所以从第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进行第二轮面试．
22．(本小题满分12分)在测试中，客观题难度的计算公式为Pi＝，其中Pi为第i题的难度，Ri为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度Pi
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“√”表示答对，“×”表示答错)：
题号
学生编号
1
2
3
4
5
1
×
√
√
√
√
2
√
√
√
√
×
3
√
√
√
√
×
4
√
√
√
×
×
5
√
√
√
√
√
6
√
×
×
√
×
7
×
√
√
√
×
8
√
×
×
×
×
9
√
√
×
×
×
10
√
√
√
√
×
(1)根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
实测难度
(2)将所有试题的实测难度按满分加权平均的结果记为这次考试的难度．若这5道题的满分均为10分，求这次考试实测难度的估计值；
(3)定义统计量S＝[(P′1－P1)2＋(P′2－P2)2＋…＋(P′n－Pn)2]，其中P′i为第i题的实测难度，Pi为第i题的预估难度(i＝1，2，…，n)．规定：若S<0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．
[解] (1)每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
8
8
7
7
2
实测难度
0.8
0.8
0.7
0.7
0.2
所以，估计120人中有120×0.2＝24人答对第5题．
(2)实测难度的估计值为＝0.64．
(3)P′i为抽样的10名学生中第i题的实测难度，用P′i作为120名学生第i题的实测难度的估计值．S＝[(0.8－0.9)2＋(0.8－0.8)2＋(0.7－0.7)2＋(0.7－0.6)2＋(0.2－0.4)2]＝0.012．
因为S＝0.012<0.05，所以本次测试的难度预估是合理的．
章末综合测评(六) 统计
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某次体检5位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76．则这组数据的中位数是( )
A．1.74 B．1.75 C．1.76 D．1.77
C [将5位同学的身高按照从小到大的顺序排列为1.69，1.72，1.76，1.78，1.80，则位于中间的数是1.76，即中位数是1.76．]
2．当前，国家正分批修建保障性住房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户．第一批保障性住房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，若采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( )
A．30 B．40 C．45 D．50
B [从甲社区中抽取低收入家庭的户数为×90＝40．]
3．已知一组数据8，9，10，x，y的平均数为9，方差为2，则x2＋y2＝( )
A．162 B．164 C．168 D．170
D [由题意知
解得x2＋y2＝170．]
4．如图是2020年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是( )
①2020年第一季度GDP总量和增速居同一位的省只有1个；
②与去年同期相比，2020年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；
③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省；
④2019年同期A省的GDP总量也是第三位．
A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④
B [①2020年第一季度GDP总量和增速居同一位的省有2个，B省和C省的GDP总量和增速分别居第一位和第四位，故①错误；由题图知②正确；由题图计算2019年同期五省的GDP总量，可知前三位为D省、B省、A省，故③正确；由③知2019年同期A省的GDP总量是第三位，故④正确．故选B．]
5．已知一种腌菜食品按行业生产标准分为A，B，C三个等级，现针对某加工厂同一批次的三个等级420箱腌菜进行质量检测，采用分层抽样的方法进行抽取，设从三个等级A，B，C中抽取的箱数分别为m，n，t，若2t＝m＋n，则420箱中等级为C级的箱数为( )
A．120 B．140 C．160 D．180
B [由2t＝m＋n，可知等级为C级的腌菜箱数占全部箱数的，故420箱腌菜中等级为C的腌菜箱数为420×＝140．]
6．为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，所得数据都在区间[10，110]内，其频率直方图如图所示．已知活动时间在[10，35)内的频数为80，则n的值为( )
A．700 B．800 C．850 D．900
B [根据频率直方图，知组距为25，所以活动时间在[10，35)内的频率为0.1．因为活动时间在[10，35)内的频数为80，所以n＝＝800．故选B．]
7．2016年1月1日我国全面实施二孩政策后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2 400人，30岁至40岁的约3 600人，40岁以上的约6 000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60，则N＝( )
A．180 B．186 C．194 D．200
D [由题意得＝，
解得N＝200．]
8．学校组织开展劳动实践，高二某班15名学生利用假期时间前往敬老院、消防队等场所劳动服务．经统计，该15名学生的劳动服务时长平均为20小时，标准差为s．后来经核实，发现统计的甲、乙两名同学的劳动服务时长有误．甲同学的劳动服务时长实际为20小时，被误统计为15小时；乙同学的劳动服务时长实际为18小时，被误统计为23小时．更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为( )
A．s＝s1 B．s
C [由已知可得，两次统计的总人数没有变，故两次统计的平均数的相同的，设为，
设劳动时间长为xi(1≤i≤15，i∈N*)，
则s＝，
s1＝，
要比较s与s1的大小，只需比较(15－)2＋(23－)2与(20－)2＋(18－)2的大小即可，
因为(15－)2＋(23－)2＝754－76＋22，
(20－)2＋(18－)2＝724－76＋22，
所以(15－)2＋(23－)2>(20－)2＋(18－)2，
故s>s1．
故选C．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度(单位：厘米)，将所得数据分成6组：[90，91)，[91，92)，[92，93)，[93，94)，[94，95)，[95，96]，得到如图所示的频率直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是( )
A．b＝0.25
B．长度落在区间[93，94)内的个数为35
C．长度的众数一定落在区间[93，94)内
D．长度的中位数一定落在区间[93，94)内
ABD [对于A：由频率之和为1，得(0.35＋b＋0.15＋0.1×2＋0.05)×1＝1，解得b＝0.25，所以选项A正确；
对于选项B：长度落在区间[93，94)内的个数为100×0.35＝35，所以选项B正确；
对于选项C：对这100件产品，长度的众数不一定落在区间[93，94)内，所以选项C错误；
对于选项D：对这100件产品，因为0.1＋0.1＋0.25<0.5，而0.1＋0.1＋0.25＋0.35>0.5，所以长度的中位数一定落在区间[93，94)内，所以选项D正确，故选ABD．]
10．某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况如下表：
场次
1
2
3
4
5
6
甲得分
31
16
24
34
18
9
乙得分
23
21
32
11
35
10
则下列说法正确的是( )
A．甲运动员得分的极差与乙运动员得分的极差不同
B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
BD [由题意，得甲的极差为34－9＝25，中位数是21，平均值为22，方差s＝75；乙的极差为35－10＝25，中位数是22，平均值为22，方差s＝89．故答案为BD．]
11．AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述正确的是( )
A．这12天中有6天空气质量为“优良”
B．这12天中空气质量最好的是4月9日
C．这12天的AQI指数值的中位数是90
D．从4日到9日，空气质量越来越好
ABD [由图可知，AQI不大于100天有6日到11日，共6天，所以A对； AQI最小的一天为9日，所以B对；中位为是＝99.5，C错．从图中可以看到4日到9日的AQI越来越小，所以D对．所以选ABD．]
12．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中正确的是( )
A．建设后，种植收入减少
B．建设后，其他收入增加了一倍以上
C．建设后，养殖收入增加了一倍
D．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
BCD [设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，由题图可知：
种植
收入
养殖收入＋
第三产业收入
养殖
收入
其他
收入
建设前经济收入
0.6a
0.36a
0.3a
0.04a
建设后经济收入
0.74a
1.16a
0.6a
0.1a
根据上表可知B、C、D结论均正确，结论A不正确，故选BCD．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．下列数据的70百分位数为________．
20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22．
28 [把所给的数据按照从小到大的顺序排列可得：
12，14，18，20，22，24，26，26，28，30，33，35，
因为有12个数据，所以12×70%＝8.4，不是整数，所以数据的70百分位数为第9个数28．]
14．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则z的值为________．
400 [由题意可得＝，解得z＝400．]
15．某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如表：
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________人．
36 [根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×＝36．]
16．某班有48名学生，在一次考试后统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实际得了80分却记成了50分，乙得了70分却记成了100分，更正后平均分为__________，方差为________．(本题第一空2分，第二空3分)
70 50 [平均数没有变化，方差有变动．
登记错了的情况下，s2＝[…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…]＝75，实际上，s2＝[…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…]＝50．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得的利润为30元，未售出的产品，每盒亏损10元．该大学生通过查询资料得到开学季市场需求量的频率直方图，如图所示．该大学生为这个开学季购进了160盒该产品，以x(单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．
(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；
(2)将y表示为x的函数；
(3)根据直方图估计利润y不少于4 000元的概率．
[解] (1)由题中频率直方图得，这个开学季内市场需求量x的众数是150盒，
需求量在[100，120)内的频率为0.005 0×20＝0.1，
需求量在[120，140)内的频率为0.010 0×20＝0.2，
需求量在[140，160)内的频率为0.015 0×20＝0.3，
需求量在[160，180)内的频率为0.012 5×20＝0.25，
需求量在[180，200]内的频率为0.007 5×20＝0.15．
则平均数＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒)．
(2)因为每售出1盒该产品获得的利润为30元，未售出的产品，每盒亏损10元，
所以当100≤x＜160时，y＝30x－10×(160－x)＝40x－1 600；
当160≤x≤200时，y＝160×30＝4 800．
所以y＝
(3)因为利润y不少于4 000元，所以当100≤x＜160时，由40x－1 600≥4 000，解得140≤x＜160；
当160≤x≤200时，y＝4 800＞4 000恒成立，所以140≤x≤200时，利润y不少于4 000元．
故由(1)知利润y不少于4 000元的概率P＝1－0.1－0.2＝0.7．
18．(本小题满分12分)某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19．
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
[解] (1)∵＝0.19，
∴x＝380．
(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为×500＝12(名)．
19．(本小题满分12分)2016年8月7日，在里约奥运会射击女子10米气手枪决赛中，中国选手张梦雪以199.4环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金，俄罗斯选手巴特萨拉斯基纳获得银牌．下表是两位选手的其中10枪成绩．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
张梦雪
10.2
10.3
9.8
10.1
10
9.3
10.9
9.9
10.3
9.2
巴特萨拉
斯基纳
10.1
10
10.4
10.2
9.2
9.2
10.5
10.2
9.5
9.7
(1)请计算两位射击选手的平均成绩，并比较谁的成绩较好；
(2)请计算两位射击选手成绩的方差，并比较谁的射击情况比较稳定．
[解] (1)张＝×(10.2＋10.3＋9.8＋10.1＋10＋9.3＋10.9＋9.9＋10.3＋9.2)＝10，巴＝×(10.1＋10＋10.4＋10.2＋9.2＋9.2＋10.5＋10.2＋9.5＋9.7)＝9.9，可知张梦雪的成绩较好．
(2)s＝×[0.22＋0.32＋(－0.2)2＋0.12＋0＋(－0.7)2＋0.92＋(－0.1)2＋0.32＋(－0.8)2]＝0.222，
s＝×[0.22＋0.12＋0.52＋0.32＋(－0.7)2＋(－0.7)2＋0.62＋0.32＋(－0.4)2＋(－0.2)2]＝0.202．
因为s>s，所以巴特萨拉斯基纳成绩较稳定．
20．(本小题满分12分)根据空气质量指数AQI(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：
AQI
0～50
51～100
101～150
151～200
201～250
251～300
>300
级别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ1
Ⅲ2
Ⅳ1
Ⅵ2
Ⅴ
状况
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
对某城市一年(365天)的空气质量进行监测，获得的AQI数据按照区间[0，50]，(50，100]，(100，150]，(150，200]，(200，250]，(250，300]进行分组，得到频率直方图如图．
(1)求直方图中x的值；
(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数．
[解] (1)根据频率直方图可知：x＝÷50＝．
(2)一年中空气质量为良和轻微污染的天数分别是×50×365＝119(天)；×50×365＝100(天)．
21．(本小题满分12分)从某高校自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，把成绩分组，得到的频率分布表如下：
组号
分组
频数
频率
第1组
[160，165)
5
0.05
第2组
[165，170)
①
0.35
第3组
[170，175)
30
②
第4组
[175，180)
20
0.20
第5组
[180，185]
10
0.10
合计
100
1
(1)求出频率分布表中①②位置的相应的数据；
(2)这次笔试成绩的中位数落在哪组内？
(3)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中利用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮面试，求从第3、4、5组分别抽取多少人进行第二轮面试．
[解] (1)由题意知第2组的频数为100－5－30－20－10＝35；第3组的频率为1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30．
(2)第1组和第2组的频数和为40，第4组和第5组的频数和为30，所以这次笔试成绩的中位数落在第3组内．
(3)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，从第3组抽取×6＝3(人)，从第4组抽取×6＝2(人)，从第5组抽取×6＝1(人)．
所以从第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进行第二轮面试．
22．(本小题满分12分)在测试中，客观题难度的计算公式为Pi＝，其中Pi为第i题的难度，Ri为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度Pi
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“√”表示答对，“×”表示答错)：
题号
学生编号
1
2
3
4
5
1
×
√
√
√
√
2
√
√
√
√
×
3
√
√
√
√
×
4
√
√
√
×
×
5
√
√
√
√
√
6
√
×
×
√
×
7
×
√
√
√
×
8
√
×
×
×
×
9
√
√
×
×
×
10
√
√
√
√
×
(1)根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
实测难度
(2)将所有试题的实测难度按满分加权平均的结果记为这次考试的难度．若这5道题的满分均为10分，求这次考试实测难度的估计值；
(3)定义统计量S＝[(P′1－P1)2＋(P′2－P2)2＋…＋(P′n－Pn)2]，其中P′i为第i题的实测难度，Pi为第i题的预估难度(i＝1，2，…，n)．规定：若S<0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．
[解] (1)每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
8
8
7
7
2
实测难度
0.8
0.8
0.7
0.7
0.2
所以，估计120人中有120×0.2＝24人答对第5题．
(2)实测难度的估计值为＝0.64．
(3)P′i为抽样的10名学生中第i题的实测难度，用P′i作为120名学生第i题的实测难度的估计值．S＝[(0.8－0.9)2＋(0.8－0.8)2＋(0.7－0.7)2＋(0.7－0.6)2＋(0.2－0.4)2]＝0.012．
因为S＝0.012<0.05，所以本次测试的难度预估是合理的．
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