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人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数本章综合与测试测试题
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这是一份人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数本章综合与测试测试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第三章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021山西运城高一期中)函数f(x)=x-1+2x2-4的定义域为( )
A.[1,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,2)∪(2,+∞)
D.[1,2)∪(2,+∞)
答案D
解析要使函数有意义,则x-1≥0,x2-4≠0,解得x≥1,x≠2.
故函数f(x)的定义域是[1,2)∪(2,+∞),故选D.
2.(2021北京朝阳高一期末)已知函数y=f(x)可表示为如表所示,
x
0
4≤x<6
6≤x≤8
y
1
2
3
4
则下列结论正确的是( )
A.f(f(4))=3
B.f(x)的值域是{1,2,3,4}
C.f(x)的值域是[1,4]
D.f(x)在区间[4,8]上单调递增
答案B
解析由题意知f(4)=3,得f(f(4))=f(3)=2,故A错误;函数的值域为{1,2,3,4},故B正确,C错误;由表可知,f(x)在定义域上不单调,故D错误.故选B.
3.(2021山东烟台高一期中)某高三学生去高铁站乘高铁.早上他乘坐出租车从家里出发,离开家不久,发现身份证忘带,于是回到家取上身份证,然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站,令x(单位:分钟)表示离开家的时间,y(单位:千米)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计,下列图像中与上述事件吻合最好的是( )
答案C
解析由题意,该高三学生离开家的过程中,y是x的一次函数,且斜率为正;小明返回家的过程中,y仍然是x的一次函数,斜率为负;小明最后由家到高铁站,y仍然是x的一次函数,斜率为正值,且斜率比第一段的斜率大,结合图像可知,与上述事件吻合最好的图像为C.故选C.
4.(2021山东潍坊高一期中)已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(2)<0且f(3)>0,则f(x)在(2,3)上的零点( )
A.至多有一个 B.有1个或2个
C.有且仅有一个 D.一个也没有
答案C
解析由题知,函数f(x)=ax2+bx+c是连续函数,又f(2)<0,f(3)>0,由函数零点存在定理,可知f(x)在(2,3)上的零点个数有且只有一个,故选C.
5.(2021浙江杭州中学高一期中)若函数f(x)满足关系式f(x)+2f(1-x)=-3x,则f(2)的值为( )
A.-32 B.32 C.-52 D.52
答案D
解析由f(x)+2f(1-x)=-3x,令x=2,则有f(2)+2f(-1)=-32;令x=-1,则有f(-1)+2f(2)=3.由上式可得f(2)=52,故选D.
6.(2021河北邯郸高一期中)已知函数f(x)=ax2+bx是定义在(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)上的奇函数.若f(2)=3,则a+b的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
答案C
解析∵函数f(x)是定义在(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)上的奇函数,∴b-3+b-1=0,即2b=4,解得b=2,则f(x)=ax2+2x.∵f(2)=3,∴f(2)=4a+22=3,解得2a+1=3,即a=1.因此a+b=1+2=3,故选C.
7.已知函数f(x)=x2+1(x≤0),2x(x>0),若f(a)=10,则a的值是( )
A.-3或5 B.3或-3
C.-3 D.3或-3或5
答案A
解析若a≤0,则f(a)=a2+1=10,∴a=-3(a=3舍去),若a>0,则f(a)=2a=10,∴a=5,综上可得,a=5或a=-3,故选A.
8.(2021广西北海高一期末)已知定义在[-2,2]上的奇函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[-2,2]都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0成立,则不等式f(x+1)+f(1-4x)>0的解集为( )
A.-14,34 B.23,34
C.-14,1 D.-14,23
答案B
解析由f(x1)-f(x2)x1-x2<0可知函数f(x)在[-2,2]上单调递减,f(x)是奇函数,所以f(x+1)>-f(1-4x)=f(4x-1).所以-2≤x+1≤2,-2≤1-4x≤2,x+1<4x-1,解得-3≤x≤1,-14≤x≤34,x>23,所以23
9.下列对应关系f,能构成从集合M到集合N的函数的是( )
A.M=12,1,32,N={-6,-3,1},f12=-6,f(1)=-3,f32=1
B.M=N={x|x≥-1},f(x)=2x+1
C.M=N={1,2,3},f(x)=2x+1
D.M=Z,N={-1,1},f(x)=-1,x为奇数,1,x为偶数
答案ABD
解析∵M=12,1,32,N={-6,-3,1},f12=-6,f(1)=-3,f32=1,由定义知M中的任一个元素,N中都有唯一的元素和它相对应,
∴构成从集合M到集合N的函数,故A正确;
由M=N={x|x≥-1},f(x)=2x+1,能构成从集合M到集合N的函数,故B正确;
由M=N={1,2,3},f(x)=2x+1,∵f(2)=5,f(3)=7,5∉{1,2,3},7∉{1,2,3},因此不能构成从集合M到集合N的函数,故C错误;
由M=Z,N={-1,1},f(x)=-1,x为奇数,1,x为偶数,因此能构成从集合M到集合N的函数,故D正确.故选ABD.
10.(2021重庆八中高一期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( )
A.y=f(-x) B.y=f(x)+x3
C.y=f(x)x D.y=x3f(x)
答案AB
解析设F(x)=f(-x),其定义域为R,则有F(-x)=f[-(-x)]=f(x)=-f(-x)=-F(x),函数y=f(-x)为奇函数,故A正确;
设F(x)=f(x)+x3,其定义域为R,则有F(-x)=f(-x)+(-x)3=-[f(x)+x3]=-F(x),函数y=f(x)+x3为奇函数,故B正确;
设F(x)=f(x)x,其定义域为{x|x≠0},则有F(-x)=f(-x)-x=f(x)x=F(x),是偶函数,故C错误;
由于函数y=x3f(x),其定义域为[0,+∞),其定义域不关于原点对称,不是奇函数,故D错误.
故选AB.
11.(2020山东日照高二期末)如图是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分,图像过点A(-3,0),且对称轴为x=-1,则以下选项中正确的为( )
A.b2>4ac B.2a-b=1
C.a-b+c=0 D.5a
解析由抛物线的开口向下知a<0,与y轴的交点在y轴的正半轴上得c>0.
因为二次函数的图像与x轴有2个不同交点,所以Δ=b2-4ac>0,故A正确;
因为对称轴方程为x=-1,所以-b2a=-1,即2a-b=0,故B不正确;
又因为图像过点A(-3,0),且对称轴方程为x=-1,所以图像与x轴的另一个交点是(1,0),把点(1,0)代入解析式得a+b+c=0,故C不正确;
把x=-3代入解析式得9a-3b+c=0,与a+b+c=0联立,两式相加并整理得10a-2b=-2c<0,即5a
A.图像上点的纵坐标不可能为1
B.图像关于点(1,1)成中心对称
C.图像与x轴无交点
D.函数在区间(1,+∞)上单调递减
答案ABD
解析由于y=x+2x-1=x-1+3x-1=1+3x-1,因此函数y=x+2x-1的图像可以看作是由y=3x的图像先向右平移一个单位,再向上平移一个单位而得到,因此函数图像上点的纵坐标不可能为1,函数图像关于点(1,1)成中心对称,函数图像与x轴交点为(-2,0),函数y在区间(1,+∞)上单调递减,故选ABD.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若函数y=f(x)在定义域R上的值域为[0,1],则函数y=f(x-1)+1的值域为 .
答案[1,2]
解析函数图像的左右平移不改变函数的值域,而只有上下平移才改变函数的值域,因此函数y=f(x-1)+1的值域为[1,2].
14.某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米3元收费;用水超过10立方米的,超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元,则该职工这个月实际用水为 立方米.
答案15
解析设该职工的月实际用水为x立方米,所缴水费为y元,由题意得y=3x,0≤x≤10,30+5(x-10),x>10,
即y=3x,0≤x≤10,5x-20,x>10.
由于该职工这个月的实际用水量超过10立方米,所以5x-20=55,解得x=15.
15.已知函数f(x)=3+x1+x,记f(1)+f(2)+f(4)+…+f(1 024)=m,f12+f14+…+f11024=n,则m+n= .
答案2 050
解析由题意得f(x)+f1x=x+3x+1+1x+31x+1=x+3x+1+1+3xx+1=4(x+1)x+1=4,f(1)=3+11+1=2,∴m+n=f(1)+f12+f(2)+f14+f(4)+…+f11024+f(1024)=2+4×512=2050.
16.(2021江苏海门中学高一期中)设函数f(x)=-(x-a)2+a2,x≤0,-x2+2x+1-a,x>0,若f(0)是f(x)的最大值,则a的取值范围为 .
答案[2,+∞)
解析由题意可得a>0,则满足题意的函数f(x)的图像如图所示:
由数形结合可得Δ=4+4(1-a)≤0,解得a≥2.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2021山东德州高一期中)已知函数f(x)=x+1x.
(1)用定义法证明f(x)在[1,+∞)上为增函数;
(2)若对∀x∈[2,4],恒有f(x)≤2m-1,求实数m的取值范围.
(1)证明设1≤x1
=(x2-x1)+x1-x2x1x2
=(x2-x1)1-1x1x2
=(x2-x1)(x1x2-1)x1x2,
因为x2>x1≥1,所以x2-x1>0且x1x2>1.
所以(x2-x1)(x1x2-1)x1x2>0,
即f(x2)-f(x1)>0,f(x1)
(2)解由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增,
所以f(x)max=f(4)=174.
所以2m-1≥174,即m≥218.
所以m的取值范围是218,+∞.
18.(12分)(2020辽宁朝阳一中高一期中)设函数f(x)=ax2+ax-1(a∈R).
(1)当a=12时,求函数f(x)的零点;
(2)讨论函数f(x)零点的个数.
解(1)当a=12时,函数f(x)=12x2+12x-1,
令12x2+12x-1=0,解得x=1或x=-2.
函数f(x)的零点为1,-2.
(2)当a=0时,f(x)=ax2+ax-1=-1,函数没有零点;
当a≠0时,Δ=a2+4a.
若Δ=a2+4a=0,解得a=-4,此时函数f(x)有1个零点.
若Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,此时函数有2个零点.
若Δ=a2+4a<0,解得-4
当a<-4或a>0时,函数有2个零点,
当-4
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)函数f(x)在区间[n,1)上的值域是34,1,求n的取值范围.
解(1)因为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,
所以a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2-bx-c=2x,c=1,
即2ax+a+b=2x,故a=1,b=-1,c=1.
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.
(2)因为f(x)=x2-x+1的开口向上,对称轴x=12,且f12=34,f(0)=f(1)=1,由f(x)在区间[n,1)上的值域是34,1可得0
(1)若m>n>0时,f(m)=f(n),求1m+1n的值;
(2)若m>n>0时,函数f(x)的定义域与值域均为[n,m],求所有m,n的值.
解(1)∵f(m)=f(n),
∴1m-1+12=1n-1+12.
∴1m-1=1n-1,
∴1m-1=1n-1或1m-1=1-1n.
∵m>n>0,∴1m+1n=2.
(2)由题意f(x)=1x-12,01,
∴f(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.
①0
②n<1
21.(12分)(2021山东聊城高一期中)为了节能减排,某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备.使用这种供电设备后,该农场每年消耗的电费C(单位:万元)与太阳能电池面积x(单位:平方米)之间的函数关系为C(x)=m-4x5,0≤x≤10,mx,x>10(m为常数).已知太阳能电池面积为5平方米时,每年消耗的电费为8万元.安装这种供电设备的工本费为0.6x(单位:万元).记F(x)为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和.
(1)写出F(x)的解析式;
(2)当x为多少平方米时,F(x)取得最小值?最小值是多少万元?(精确到小数点后一位)(已知3≈1.7,10≈3.2)
解(1)当0≤x≤10时,C(x)=m-4x5,
由题意8=m-4×55,即m=60.
∴C(x)=60-4x5,0≤x≤10,60x,x>10,
则F(x)=10×60-4x5+0.6x,0≤x≤10,10×60x+0.6x,x>10,
化简可得F(x)=120-7.4x,0≤x≤10,600x+0.6x,x>10.
(2)当0≤x≤10时,F(x)=120-7.4x,可得F(x)min=F(10)=46(万元),
当x>10时,F(x)=600x+610x≥2600x·610x=610≈19.2(万元),
当且仅当600x=610x,即x=1010≈32平方米时,等号成立,
故当x为32平方米时,F(x)取得最小值,最小值是19.2万元.
22.(12分)(2021重庆外国语学校高一期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.函数f(x)在y轴左侧的图像如图所示,并根据图像:
(1)画出f(x)在y轴右侧的图像并写出函数f(x)(x∈R)的单调递增区间;
(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式;
(3)若函数g(x)=f(x)+(4-2a)x+2(x∈[1,2]),求函数g(x)的最小值.
解(1)函数f(x)是定义在R上的偶函数,即函数f(x)的图像关于y轴对称,则函数f(x)图像如图所示.
故函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).
(2)根据题意,令x>0,则-x<0,则f(-x)=x2-2x,
又由函数f(x)是定义在R上的偶函数,则f(x)=f(-x)=x2-2x,则f(x)=x2+2x,x≤0,x2-2x,x>0.
(3)根据题意,x∈[1,2],则f(x)=x2-2x,则g(x)=x2-2x+(4-2a)x+2=x2+(2-2a)x+2,
其对称轴为x=a-1,
当a-1<1时,即a<2时,g(x)在区间[1,2]上单调递增,g(x)min=g(1)=5-2a;
当1≤a-1≤2时,即2≤a≤3时,g(x)min=g(a-1)=1+2a-a2;
当a-1>2时,即a>3时,g(x)在区间[1,2]上单调递减,g(x)min=g(2)=10-4a,
故g(x)min=5-2a,a<2,1+2a-a2,2≤a≤3,10-4a,a>3.
第三章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021山西运城高一期中)函数f(x)=x-1+2x2-4的定义域为( )
A.[1,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,2)∪(2,+∞)
D.[1,2)∪(2,+∞)
答案D
解析要使函数有意义,则x-1≥0,x2-4≠0,解得x≥1,x≠2.
故函数f(x)的定义域是[1,2)∪(2,+∞),故选D.
2.(2021北京朝阳高一期末)已知函数y=f(x)可表示为如表所示,
x
0
4≤x<6
6≤x≤8
y
1
2
3
4
则下列结论正确的是( )
A.f(f(4))=3
B.f(x)的值域是{1,2,3,4}
C.f(x)的值域是[1,4]
D.f(x)在区间[4,8]上单调递增
答案B
解析由题意知f(4)=3,得f(f(4))=f(3)=2,故A错误;函数的值域为{1,2,3,4},故B正确,C错误;由表可知,f(x)在定义域上不单调,故D错误.故选B.
3.(2021山东烟台高一期中)某高三学生去高铁站乘高铁.早上他乘坐出租车从家里出发,离开家不久,发现身份证忘带,于是回到家取上身份证,然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站,令x(单位:分钟)表示离开家的时间,y(单位:千米)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计,下列图像中与上述事件吻合最好的是( )
答案C
解析由题意,该高三学生离开家的过程中,y是x的一次函数,且斜率为正;小明返回家的过程中,y仍然是x的一次函数,斜率为负;小明最后由家到高铁站,y仍然是x的一次函数,斜率为正值,且斜率比第一段的斜率大,结合图像可知,与上述事件吻合最好的图像为C.故选C.
4.(2021山东潍坊高一期中)已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(2)<0且f(3)>0,则f(x)在(2,3)上的零点( )
A.至多有一个 B.有1个或2个
C.有且仅有一个 D.一个也没有
答案C
解析由题知,函数f(x)=ax2+bx+c是连续函数,又f(2)<0,f(3)>0,由函数零点存在定理,可知f(x)在(2,3)上的零点个数有且只有一个,故选C.
5.(2021浙江杭州中学高一期中)若函数f(x)满足关系式f(x)+2f(1-x)=-3x,则f(2)的值为( )
A.-32 B.32 C.-52 D.52
答案D
解析由f(x)+2f(1-x)=-3x,令x=2,则有f(2)+2f(-1)=-32;令x=-1,则有f(-1)+2f(2)=3.由上式可得f(2)=52,故选D.
6.(2021河北邯郸高一期中)已知函数f(x)=ax2+bx是定义在(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)上的奇函数.若f(2)=3,则a+b的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
答案C
解析∵函数f(x)是定义在(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)上的奇函数,∴b-3+b-1=0,即2b=4,解得b=2,则f(x)=ax2+2x.∵f(2)=3,∴f(2)=4a+22=3,解得2a+1=3,即a=1.因此a+b=1+2=3,故选C.
7.已知函数f(x)=x2+1(x≤0),2x(x>0),若f(a)=10,则a的值是( )
A.-3或5 B.3或-3
C.-3 D.3或-3或5
答案A
解析若a≤0,则f(a)=a2+1=10,∴a=-3(a=3舍去),若a>0,则f(a)=2a=10,∴a=5,综上可得,a=5或a=-3,故选A.
8.(2021广西北海高一期末)已知定义在[-2,2]上的奇函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[-2,2]都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0成立,则不等式f(x+1)+f(1-4x)>0的解集为( )
A.-14,34 B.23,34
C.-14,1 D.-14,23
答案B
解析由f(x1)-f(x2)x1-x2<0可知函数f(x)在[-2,2]上单调递减,f(x)是奇函数,所以f(x+1)>-f(1-4x)=f(4x-1).所以-2≤x+1≤2,-2≤1-4x≤2,x+1<4x-1,解得-3≤x≤1,-14≤x≤34,x>23,所以23
9.下列对应关系f,能构成从集合M到集合N的函数的是( )
A.M=12,1,32,N={-6,-3,1},f12=-6,f(1)=-3,f32=1
B.M=N={x|x≥-1},f(x)=2x+1
C.M=N={1,2,3},f(x)=2x+1
D.M=Z,N={-1,1},f(x)=-1,x为奇数,1,x为偶数
答案ABD
解析∵M=12,1,32,N={-6,-3,1},f12=-6,f(1)=-3,f32=1,由定义知M中的任一个元素,N中都有唯一的元素和它相对应,
∴构成从集合M到集合N的函数,故A正确;
由M=N={x|x≥-1},f(x)=2x+1,能构成从集合M到集合N的函数,故B正确;
由M=N={1,2,3},f(x)=2x+1,∵f(2)=5,f(3)=7,5∉{1,2,3},7∉{1,2,3},因此不能构成从集合M到集合N的函数,故C错误;
由M=Z,N={-1,1},f(x)=-1,x为奇数,1,x为偶数,因此能构成从集合M到集合N的函数,故D正确.故选ABD.
10.(2021重庆八中高一期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( )
A.y=f(-x) B.y=f(x)+x3
C.y=f(x)x D.y=x3f(x)
答案AB
解析设F(x)=f(-x),其定义域为R,则有F(-x)=f[-(-x)]=f(x)=-f(-x)=-F(x),函数y=f(-x)为奇函数,故A正确;
设F(x)=f(x)+x3,其定义域为R,则有F(-x)=f(-x)+(-x)3=-[f(x)+x3]=-F(x),函数y=f(x)+x3为奇函数,故B正确;
设F(x)=f(x)x,其定义域为{x|x≠0},则有F(-x)=f(-x)-x=f(x)x=F(x),是偶函数,故C错误;
由于函数y=x3f(x),其定义域为[0,+∞),其定义域不关于原点对称,不是奇函数,故D错误.
故选AB.
11.(2020山东日照高二期末)如图是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分,图像过点A(-3,0),且对称轴为x=-1,则以下选项中正确的为( )
A.b2>4ac B.2a-b=1
C.a-b+c=0 D.5a
解析由抛物线的开口向下知a<0,与y轴的交点在y轴的正半轴上得c>0.
因为二次函数的图像与x轴有2个不同交点,所以Δ=b2-4ac>0,故A正确;
因为对称轴方程为x=-1,所以-b2a=-1,即2a-b=0,故B不正确;
又因为图像过点A(-3,0),且对称轴方程为x=-1,所以图像与x轴的另一个交点是(1,0),把点(1,0)代入解析式得a+b+c=0,故C不正确;
把x=-3代入解析式得9a-3b+c=0,与a+b+c=0联立,两式相加并整理得10a-2b=-2c<0,即5a
A.图像上点的纵坐标不可能为1
B.图像关于点(1,1)成中心对称
C.图像与x轴无交点
D.函数在区间(1,+∞)上单调递减
答案ABD
解析由于y=x+2x-1=x-1+3x-1=1+3x-1,因此函数y=x+2x-1的图像可以看作是由y=3x的图像先向右平移一个单位,再向上平移一个单位而得到,因此函数图像上点的纵坐标不可能为1,函数图像关于点(1,1)成中心对称,函数图像与x轴交点为(-2,0),函数y在区间(1,+∞)上单调递减,故选ABD.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若函数y=f(x)在定义域R上的值域为[0,1],则函数y=f(x-1)+1的值域为 .
答案[1,2]
解析函数图像的左右平移不改变函数的值域,而只有上下平移才改变函数的值域,因此函数y=f(x-1)+1的值域为[1,2].
14.某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米3元收费;用水超过10立方米的,超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元,则该职工这个月实际用水为 立方米.
答案15
解析设该职工的月实际用水为x立方米,所缴水费为y元,由题意得y=3x,0≤x≤10,30+5(x-10),x>10,
即y=3x,0≤x≤10,5x-20,x>10.
由于该职工这个月的实际用水量超过10立方米,所以5x-20=55,解得x=15.
15.已知函数f(x)=3+x1+x,记f(1)+f(2)+f(4)+…+f(1 024)=m,f12+f14+…+f11024=n,则m+n= .
答案2 050
解析由题意得f(x)+f1x=x+3x+1+1x+31x+1=x+3x+1+1+3xx+1=4(x+1)x+1=4,f(1)=3+11+1=2,∴m+n=f(1)+f12+f(2)+f14+f(4)+…+f11024+f(1024)=2+4×512=2050.
16.(2021江苏海门中学高一期中)设函数f(x)=-(x-a)2+a2,x≤0,-x2+2x+1-a,x>0,若f(0)是f(x)的最大值,则a的取值范围为 .
答案[2,+∞)
解析由题意可得a>0,则满足题意的函数f(x)的图像如图所示:
由数形结合可得Δ=4+4(1-a)≤0,解得a≥2.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2021山东德州高一期中)已知函数f(x)=x+1x.
(1)用定义法证明f(x)在[1,+∞)上为增函数;
(2)若对∀x∈[2,4],恒有f(x)≤2m-1,求实数m的取值范围.
(1)证明设1≤x1
=(x2-x1)+x1-x2x1x2
=(x2-x1)1-1x1x2
=(x2-x1)(x1x2-1)x1x2,
因为x2>x1≥1,所以x2-x1>0且x1x2>1.
所以(x2-x1)(x1x2-1)x1x2>0,
即f(x2)-f(x1)>0,f(x1)
(2)解由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增,
所以f(x)max=f(4)=174.
所以2m-1≥174,即m≥218.
所以m的取值范围是218,+∞.
18.(12分)(2020辽宁朝阳一中高一期中)设函数f(x)=ax2+ax-1(a∈R).
(1)当a=12时,求函数f(x)的零点;
(2)讨论函数f(x)零点的个数.
解(1)当a=12时,函数f(x)=12x2+12x-1,
令12x2+12x-1=0,解得x=1或x=-2.
函数f(x)的零点为1,-2.
(2)当a=0时,f(x)=ax2+ax-1=-1,函数没有零点;
当a≠0时,Δ=a2+4a.
若Δ=a2+4a=0,解得a=-4,此时函数f(x)有1个零点.
若Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,此时函数有2个零点.
若Δ=a2+4a<0,解得-4
当a<-4或a>0时,函数有2个零点,
当-4
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)函数f(x)在区间[n,1)上的值域是34,1,求n的取值范围.
解(1)因为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,
所以a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2-bx-c=2x,c=1,
即2ax+a+b=2x,故a=1,b=-1,c=1.
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.
(2)因为f(x)=x2-x+1的开口向上,对称轴x=12,且f12=34,f(0)=f(1)=1,由f(x)在区间[n,1)上的值域是34,1可得0
(1)若m>n>0时,f(m)=f(n),求1m+1n的值;
(2)若m>n>0时,函数f(x)的定义域与值域均为[n,m],求所有m,n的值.
解(1)∵f(m)=f(n),
∴1m-1+12=1n-1+12.
∴1m-1=1n-1,
∴1m-1=1n-1或1m-1=1-1n.
∵m>n>0,∴1m+1n=2.
(2)由题意f(x)=1x-12,0
∴f(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.
①0
②n<1
21.(12分)(2021山东聊城高一期中)为了节能减排,某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备.使用这种供电设备后,该农场每年消耗的电费C(单位:万元)与太阳能电池面积x(单位:平方米)之间的函数关系为C(x)=m-4x5,0≤x≤10,mx,x>10(m为常数).已知太阳能电池面积为5平方米时,每年消耗的电费为8万元.安装这种供电设备的工本费为0.6x(单位:万元).记F(x)为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和.
(1)写出F(x)的解析式;
(2)当x为多少平方米时,F(x)取得最小值?最小值是多少万元?(精确到小数点后一位)(已知3≈1.7,10≈3.2)
解(1)当0≤x≤10时,C(x)=m-4x5,
由题意8=m-4×55,即m=60.
∴C(x)=60-4x5,0≤x≤10,60x,x>10,
则F(x)=10×60-4x5+0.6x,0≤x≤10,10×60x+0.6x,x>10,
化简可得F(x)=120-7.4x,0≤x≤10,600x+0.6x,x>10.
(2)当0≤x≤10时,F(x)=120-7.4x,可得F(x)min=F(10)=46(万元),
当x>10时,F(x)=600x+610x≥2600x·610x=610≈19.2(万元),
当且仅当600x=610x,即x=1010≈32平方米时,等号成立,
故当x为32平方米时,F(x)取得最小值,最小值是19.2万元.
22.(12分)(2021重庆外国语学校高一期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.函数f(x)在y轴左侧的图像如图所示,并根据图像:
(1)画出f(x)在y轴右侧的图像并写出函数f(x)(x∈R)的单调递增区间;
(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式;
(3)若函数g(x)=f(x)+(4-2a)x+2(x∈[1,2]),求函数g(x)的最小值.
解(1)函数f(x)是定义在R上的偶函数,即函数f(x)的图像关于y轴对称,则函数f(x)图像如图所示.
故函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).
(2)根据题意,令x>0,则-x<0,则f(-x)=x2-2x,
又由函数f(x)是定义在R上的偶函数,则f(x)=f(-x)=x2-2x,则f(x)=x2+2x,x≤0,x2-2x,x>0.
(3)根据题意,x∈[1,2],则f(x)=x2-2x,则g(x)=x2-2x+(4-2a)x+2=x2+(2-2a)x+2,
其对称轴为x=a-1,
当a-1<1时,即a<2时,g(x)在区间[1,2]上单调递增,g(x)min=g(1)=5-2a;
当1≤a-1≤2时,即2≤a≤3时,g(x)min=g(a-1)=1+2a-a2;
当a-1>2时,即a>3时,g(x)在区间[1,2]上单调递减,g(x)min=g(2)=10-4a,
故g(x)min=5-2a,a<2,1+2a-a2,2≤a≤3,10-4a,a>3.
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