高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.3 指数函数与对数函数的关系练习题

课后素养落实(六)　指数函数与对数函数的关系

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．函数y＝log3x的反函数是(　　)

A．y＝logx　　　　　 B．y＝3x

C．y＝ D．y＝x3

B　[∵y＝log3x，∴3y＝x，∴函数y＝log3x的反函数是y＝3x，故选B．]

2．函数y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(　　)

A．(0，＋∞) B．(1,9]

C．(0,1) D．[9，＋∞)

B　[由于反函数的定义域为原函数的值域，

∵0＜x≤2，∴y＝3x∈(1,9]，故y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(1,9]．]

3．函数f(x)＝log2(3x＋1)的反函数y＝f－1(x)的定义域为(　　)

A．(1，＋∞) B．[0，＋∞)

C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)

C　[y＝f－1(x)的定义域即为原函数的值域，∵3x＋1＞1，∴log2(3x＋1)＞0.]

4．函数y＝ex＋1的反函数是(　　)

A．y＝1＋ln x (x>0) B．y＝1－ln x (x>0)

C．y＝－1－ln x (x>0) D．y＝－1＋ln x (x>0)

D　[由y＝ex＋1得x＋1＝ln y，

即x＝－1＋ln y，所以所求反函数为y＝－1＋ln x (x>0)．故选D．]

5．设a＝，b＝，c＝logx，若x>1，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<b<c B．b<c<a

C．c<a<b D．b<a<c

C　[∵x>1，

∴a＝<＝，b＝>＝1，

∴0<a<b，而y＝logx是减函数，∴logx<log1＝0.

∴c<a<b.故选C．]

二、填空题

6．已知函数f(x)＝1＋logax，y＝f－1(x)是函数y＝f(x)的反函数，若y＝f－1(x)的图像过点(2,4)，则a的值为________．

4　[因为y＝f－1(x)的图像过点(2,4)，所以函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，又因为f(x)＝1＋logax，

所以2＝1＋loga4，即a＝4.]

7．函数f(x)＝的反函数为g(x)，那么g(x)的图像一定过点________．

(1,0)　[f(x)＝的反函数为g(x)＝logx，所以g(x)的图像一定过点(1,0)．]

8．已知函数f(x)＝log2(x＋a)的反函数为y＝f－1(x)，且f－1(2)＝1，则实数a＝________.

3　[函数f(x)＝log2(x＋a)的反函数为y＝f－1(x)，且f－1(2)＝1，则2＝log2(1＋a)，解得a＝3.]

三、解答题

9．求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数．

[解]　因为y＝2x＋1,0<2x<1，所以1<2x＋1<2.

所以1<y<2.

由2x＝y－1，得x＝log2(y－1)．

所以f－1(x)＝log2(x－1)(1<x<2)．

10．设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．

[解]　将方程整理得2x＝－x＋3，

log2x＝－x＋3.

如图可知，

a是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，

b是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．

由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，

于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．

而A，B都在直线y＝－x＋3上，

所以b＝－a＋3(A点坐标代入)，

或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3.

11．将y＝2x的图像________，再作关于直线y＝x对称的图像，可得到函数y＝log2(x＋1)的图像(　　)

A．先向上平移一个单位长度

B．先向右平移一个单位长度

C．先向左平移一个单位长度

D．先向下平移一个单位长度

D　[将y＝2x向下平移一个单位得到y＝2x－1，再作关于直线y＝x对称的图像即可得到．故选D．]

12．(多选题)已知f(x)＝则下列结论正确的是(　　)

A．f(f(1))＝ B．f(f(－1))＝

C．f(f(0))＝ D．f＝2 019

ACD　[f(f(1))＝f＝＝，选项A正确；f(f(－1))＝f(2)＝0≠，选项B不正确；f(f(0))＝f(1)＝，选项C正确；f＝f＝＝2log22 019＝2 019，选项D正确．]

13．设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f(27)＝3，则f－1(log92)的值是__________．

　[∵f(27)＝3，∴loga27＝3，解得a＝3.

∴f(x)＝log3x，∴f－1(x)＝3x.

所以f－1(log92)＝3＝3＝.]

14．把下面不完整的命题补充完整，并使其成为真命题．

若函数f(x)＝3＋log2x的图像与g(x)的图像关于________对称，则函数g(x)＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)

[答案]　①x轴　－3－log2x

②y轴　3＋log2(－x)

③原点　－3－log2(－x)

④直线y＝x　2x－3

(答案不唯一，写出符合题意的一种即可)

15．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)讨论f(x)的单调性；

(3)解方程f(2x)＝f－1(x)．

[解]　(1)要使函数有意义，必须ax－1>0，得ax＞1．

当a>1时，x>0；

当0<a<1时，x<0.

∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；

当0<a<1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．

(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<ax1<ax2，

故0<ax1－1<ax2－1，

∴loga(ax1－1)<loga(ax2－1)，

∴f(x1)<f(x2)．

故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

类似地，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．

(3)令y＝loga(ax－1)，则ay＝ax－1，

∴x＝loga(ay＋1)．

∴f－1(x)＝loga(ax＋1)．

由f(2x)＝f－1(x)，得loga(a2x－1)＝loga(ax＋1)，

∴a2x－1＝ax＋1，

解得ax＝2或ax＝－1(舍去)，∴x＝loga2.