高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念同步测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念同步测试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．零向量没有方向
B．向量就是有向线段
C．只有零向量的模等于0
D．单位向量都相等
C [零向量的方向是任意的，故A选项错误；有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；只有零向量的模等于0，故C选项正确；单位向量的模相等，对于任意两个单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误．故选C．]
2．(多选题)下列说法错误的是( )
A．向量eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件
B．若向量eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))满足|eq \(AB,\s\up7(→))|＞|eq \(CD,\s\up7(→))|，且eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))同向，则eq \(AB,\s\up7(→))＞eq \(CD,\s\up7(→))
C．若a≠b，则a与b可能是共线向量
D．若非零向量eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))平行，则eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(CD,\s\up7(→))
BD [对于A选项，A，B，C，D四点共线⇒向量eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))共线，反之不成立，所以A说法正确；对于B选项，向量不能比较大小，向量的模可以比较大小，故B说法错误；对于C选项，不相等的向量可能共线，故C说法正确；对于D选项，平行向量不一定是相等向量，故D说法错误．综上所述，故选BD．]
3．下面几个命题：
①若a＝b，则|a|＝|b|；
②若|a|＝0，则a＝0；
③若|a|＝|b|，则a＝b；
④若向量a，b满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a|＝|b|；,a∥b，))则a＝b．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [①正确；②错误．|a|＝0，则a＝0；③错误．a与b的方向不一定相同；④错误．a与b的方向有可能相反．]
4．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是( )
A．单位圆 B．一段弧 C．线段 D．直线
A [平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．]
5．如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与eq \(AB,\s\up7(→))平行且模为eq \r(,2)的向量共有( )
A．12个 B．18个
C．24个 D．36个
C [每个正方形的边长为1，则对角线长为eq \r(,2)，每个小正方形中存在两个与eq \(AB,\s\up7(→))平行且模为eq \r(,2)的向量，一共有12个正方形，故共有24个所求向量．]
二、填空题
6．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则eq \f(|\(PD,\s\up7(→))|,|\(AD,\s\up7(→))|)的值为________．
1 [因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以eq \f(|\(PD,\s\up7(→))|,|\(AD,\s\up7(→))|)的值为1．]
7．将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当eq \(ME,\s\up7(→))与eq \(EF,\s\up7(→))是平行向量，且|eq \(ME,\s\up7(→))|＝2|eq \(EF,\s\up7(→))|＝2时，|eq \(MF,\s\up7(→))|＝________．
3或1 [当eq \(ME,\s\up7(→))与eq \(EF,\s\up7(→))同向时，|eq \(MF,\s\up7(→))|＝|eq \(ME,\s\up7(→))|＋|eq \(EF,\s\up7(→))|＝3；
当eq \(ME,\s\up7(→))与eq \(EF,\s\up7(→))反向时，|eq \(MF,\s\up7(→))|＝|eq \(ME,\s\up7(→))|－|eq \(EF,\s\up7(→))|＝1．]
8．如图所示，△ABC和△A′B′C′是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中画出了若干个向量，则
(1)与向量eq \(GH,\s\up7(→))相等的向量有________；
(2)与向量eq \(GH,\s\up7(→))共线，且模相等的向量有________；
(3)与向量eq \(EA,\s\up7(→))共线，且模相等的向量有________．
(1)eq \(DB′,\s\up7(→))，eq \(HC,\s\up7(→))；(2)eq \(EC′,\s\up7(→))，eq \(DE,\s\up7(→))，eq \(DB′,\s\up7(→))，eq \(GB,\s\up7(→))，eq \(HC,\s\up7(→))；(3)eq \(EF,\s\up7(→))，eq \(FB,\s\up7(→))，eq \(HA′,\s\up7(→))，eq \(HK,\s\up7(→))，eq \(KB′,\s\up7(→)) [(1)与向量eq \(GH,\s\up7(→))相等的向量有eq \(DB′,\s\up7(→))，eq \(HC,\s\up7(→))；(2)与向量eq \(GH,\s\up7(→))共线，且模相等的向量有eq \(EC′,\s\up7(→))，eq \(DE,\s\up7(→))，eq \(DB′,\s\up7(→))，eq \(GB,\s\up7(→))，eq \(HC,\s\up7(→))；(3)与向量eq \(EA,\s\up7(→))共线，且模相等的向量有eq \(EF,\s\up7(→))，eq \(FB,\s\up7(→))，eq \(HA′,\s\up7(→))，eq \(HK,\s\up7(→))，eq \(KB′,\s\up7(→))．]
三、解答题
9．O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与eq \(AO,\s\up7(→))，eq \(BO,\s\up7(→))相等的向量；
(2)找出与eq \(AO,\s\up7(→))共线的向量；
(3)找出与eq \(AO,\s\up7(→))模相等的向量；
(4)向量eq \(AO,\s\up7(→))与eq \(CO,\s\up7(→))是否相等？
[解] (1)eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \(BF,\s\up7(→))，eq \(BO,\s\up7(→))＝eq \(AE,\s\up7(→))．
(2)与eq \(AO,\s\up7(→))共线的向量有：eq \(BF,\s\up7(→))，eq \(CO,\s\up7(→))，eq \(DE,\s\up7(→))．
(3)与eq \(AO,\s\up7(→))模相等的向量有：eq \(CO,\s\up7(→))，eq \(DO,\s\up7(→))，eq \(BO,\s\up7(→))，eq \(BF,\s\up7(→))，eq \(CF,\s\up7(→))，eq \(AE,\s\up7(→))，eq \(DE,\s\up7(→))．
(4)向量eq \(AO,\s\up7(→))与eq \(CO,\s\up7(→))不相等，因为它们的方向不相同．
10．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10eq \r(2)米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))；
(2)求eq \(AD,\s\up7(→))的模．
[解] (1)作出向量eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))，如图所示．
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq \r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq \r(52＋102)＝5eq \r(5)(米)，所以|eq \(AD,\s\up7(→))|＝5eq \r(5)米．
1．(多选题)已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中正确的是 ( )
A．C⊆A B．A∩B＝{a}
C．C⊆B D．(A∩B)⊇{a}
ACD [因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，所以B中的关系错误．]
2．(多选题)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系一定成立的是( )
A．|eq \(AB,\s\up7(→))|＝|eq \(EF,\s\up7(→))|
B．eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(FH,\s\up7(→))共线
C．eq \(BD,\s\up7(→))与eq \(EH,\s\up7(→))共线
D．eq \(DC,\s\up7(→))与eq \(EC,\s\up7(→))共线
ABD [∵三个四边形都是菱形，∴|eq \(AB,\s\up7(→))|＝|eq \(EF,\s\up7(→))|，AB∥CD∥FH，故eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(FH,\s\up7(→))共线．又三点D，C，E共线，∴eq \(DC,\s\up7(→))与eq \(EC,\s\up7(→))共线，故A，B，D都正确．故选ABD．]
3．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{eq \(PQ,\s\up7(→))|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有________个元素．
12 [根据题意知，由点O，A，B，C，D可以构成20个向量．但它们有12个向量各不相等，由元素的互异性知T中有12个元素．]
4．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量eq \(ED,\s\up7(→))相等的向量有________；
(2)若|eq \(AB,\s\up7(→))|＝3，则|eq \(EC,\s\up7(→))|＝________．
(1)eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(DC,\s\up7(→)) (2)6 [(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，可知与向量eq \(ED,\s\up7(→))相等的向量有eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(DC,\s\up7(→))．
(2)因为|eq \(AB,\s\up7(→))|＝3，|eq \(EC,\s\up7(→))|＝2|eq \(AB,\s\up7(→))|，所以|eq \(EC,\s\up7(→))|＝6．]
如图所示的方格纸中每个小方格的边长为1，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|eq \(AC,\s\up7(→))|＝eq \r(5)．
(1)画出所有的向量eq \(AC,\s\up7(→))；
(2)求|eq \(BC,\s\up7(→))|的最大值与最小值．
[解] (1)画出所有的向量eq \(AC,\s\up7(→))，如下图中eq \(AC1,\s\up7(→))，eq \(AC2,\s\up7(→))，eq \(AC3,\s\up7(→))，eq \(AC4,\s\up7(→))，eq \(AC5,\s\up7(→))，eq \(AC6,\s\up7(→))，eq \(AC7,\s\up7(→))，eq \(AC8,\s\up7(→))所示．
(2)由上图知，
①当点C位于点C1或C2时，|eq \(BC,\s\up7(→))|取得最小值，为eq \r(12＋22)＝eq \r(5)；
②当点C位于点C5或C6时，|eq \(BC,\s\up7(→))|取得最大值，为eq \r(42＋52)＝eq \r(41)．
故|eq \(BC,\s\up7(→))|的最大值为eq \r(41)，最小值为eq \r(5)．