2021学年6.4 平面向量的应用第4课时测试题

这是一份2021学年6.4 平面向量的应用第4课时测试题，共8页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A．12 m B．8 m C．3eq \r(3) m D．4eq \r(3) m
D [由题意知，∠A＝∠B＝30°，
所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理得，eq \f(AB,sin C)＝eq \f(AC,sin B)，
即AB＝eq \f(AC·sin C,sin B)＝eq \f(4·sin 120°,sin 30°)＝4eq \r(3)m．]
2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )
A．eq \f(17\r(6),2) n mile/h B．34eq \r(6) n mile/h
C．eq \f(17\r(2),2) n mile/h D．34eq \r(2) n mile/h
A [如图所示，在△PMN中，eq \f(PM,sin 45°)＝eq \f(MN,sin 120°)，
∴MN＝eq \f(68×\r(3),\r(2))＝34eq \r(6)，
∴v＝eq \f(MN,4)＝eq \f(17\r(6),2) n mile/h．]
3．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( )
A．28海里/时 B．14海里/时
C．14eq \r(2)海里/时 D．20海里/时
B [如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在△ABC中，AC＝10×2＝20 海里，
AB＝12海里，∠BAC＝120°，
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs 120°
＝784，
∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小时．]
4．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为( )
A．(30＋30eq \r(3))m B．(30＋15eq \r(3))m
C．(15＋30eq \r(3))m D．(15＋15eq \r(3))m
A [在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，
sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cs 30°－cs 45°sin 30°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，由正弦定理，得PB＝eq \f(ABsin 30°,sin 15°)＝30(eq \r(6)＋eq \r(2))(m)，所以建筑物的高度为PBsin 45°＝30(eq \r(6)＋eq \r(2))×eq \f(\r(2),2)＝(30＋30eq \r(3))(m)，故选A．]
5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为( )
A．15eq \r(6) m B．20eq \r(6) m
C．25eq \r(6) m D．30eq \r(6) m
D [设建筑物的高度为h m，由题图知，
PA＝2h，PB＝eq \r(2)h，PC＝eq \f(2\r(3),3)h，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，
得cs∠PBA＝eq \f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)，①
cs∠PBC＝eq \f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h)．②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，
∴cs∠PBA＋cs∠PBC＝0．③
由①②③，解得h＝30eq \r(6)或h＝－30eq \r(6)(舍去)，即建筑物的高度为30eq \r(6) m．]
二、填空题
6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米．
eq \r(2) [如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，
∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°．
在△ABC中，eq \f(AB,sin C)＝eq \f(AC,sin∠ABC)，
∴AC＝eq \f(AB·sin∠ABC,sin C)＝eq \f(1×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq \r(2)(千米)．]
7．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为________ m．
40 [如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，则BD＝40，OD＝20eq \r(3)．
在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．]
8．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝4eq \r(2) dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点________ dm的C处截住足球．
7 [设机器人最快可在点C处截住足球，
点C在线段AD上，设BC＝x dm，
由题意知CD＝2x dm，
AC＝AD－CD＝(17－2x) dm．
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC 2－2AB·AC·cs A，
即x2＝(4eq \r(2))2＋(17－2x)2－8eq \r(2)(17－2x)cs 45°，
解得x1＝5，x2＝eq \f(37,3)．
∴AC＝17－2x＝7(dm)或AC＝－eq \f(23,3)(dm)(舍去)．
∴该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球．]
三、解答题
9．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β．该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值．
[解] 由AB＝eq \f(H,tan α)，BD＝eq \f(h,tan β)，AD＝eq \f(H,tan β)及AB＋BD＝AD，得eq \f(H,tan α)＋eq \f(h,tan β)＝eq \f(H,tan β)，
解得H＝eq \f(htan α,tan α－tan β)＝eq \f(4×1.24,1.24－1.20)＝124．
因此电视塔的高度H是124 m．
10．如图，A，B，C，D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面)，B，D为海岛上两座灯塔的塔顶．测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°，30°，于C处测得点B和点D的仰角均为60°，AC＝1 km，求点B，D间的距离．
[解] 法一：在△ACD中，∠ADC＝60°－∠DAC＝60°－30°＝30°．由正弦定理，得AD＝eq \f(ACsin 120°,sin 30°)＝eq \r(3)．
在△ABC中，∠ABC＝75°－60°＝15°，∠ACB＝60°，
由正弦定理，得AB＝eq \f(ACsin 60°,sin 15°)＝eq \f(3\r(2)＋\r(6),2)．在△ADB中，∠BAD＝180°－75°－30°＝75°，由余弦定理，得BD＝eq \r(AB2＋AD2－2AB·ADcs 75°)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2)＋\r(6),2)))eq \s\up12(2)＋3－2×\f(3\r(2)＋\r(6),2)×\r(3)cs 75°)
＝eq \f(3\r(2)＋\r(6),2)．即点B，D间的距离为eq \f(3\r(2)＋\r(6),2)km．
法二：如图，记AD与BC的交点为M．
由外角定理，得∠CDA＝60°－∠DAC＝60°－30°＝30°，所以AC＝DC．又易知∠MCD＝∠MCA＝60°，所以△AMC≌△DMC，
所以M为AD的中点，所以BA＝BD．
又AB＝eq \f(ACsin 60°,sin 15°)＝eq \f(3\r(2)＋\r(6),2)，所以BD＝eq \f(3\r(2)＋\r(6),2)．
所以点B，D间的距离为eq \f(3\r(2)＋\r(6),2)km．
1．如图，某建筑物的高度BC＝300m，一架无人机Q(无人机的大小忽略不计)上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°，地面某处A的俯角为45°，且∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为( )
A．100 m B．200 m C．300 m D．400 m
B [在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300，∴AC＝eq \f(BC,sin 60°)＝eq \f(300,\f(\r(3),2))＝200eq \r(3)．在△ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，∴∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°．由正弦定理，得eq \f(AQ,sin 45°)＝eq \f(AC,sin 60°)，得AQ＝eq \f(200\r(3)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝200eq \r(2)．在Rt△APQ中，PQ＝AQsin 45°＝200eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝200，故此无人机距离地面的高度为200 m，故选B．]
2．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )
A．eq \f(150,7) 分钟 B．eq \f(15,7) 分钟
C．21.5 分钟 D．2.15 小时
A [如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t．∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cs 120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cs 120°＝28t2－20t＋100＝28eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(5,14)))eq \s\up12(2)＋eq \f(675,7)．
当t＝eq \f(5,14)小时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为eq \f(5,14)×60＝eq \f(150,7) 分钟．]
3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为________小时．
1 [设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cs A，
即302＝x2＋402－2x·40cs 45°，
化简得x2－40eq \r(2)x＋700＝0，
|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，
|x1－x2|＝20，
即图中的CD＝20(千米)，
故t＝eq \f(CD,v)＝eq \f(20,20)＝1(小时)．]
4．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的eq \r(3)倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________n mile．
北偏东30° eq \r(3)a [如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BC＝tv，AC＝eq \r(3)tv，又B＝120°，则由正弦定理eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AC,sin B)，得eq \f(1,sin∠CAB)＝eq \f(\r(3),sin 120°)，
∴sin∠CAB＝eq \f(1,2)，
∴∠CAB＝30°，
∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．
又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，
∴BC＝AB＝a n mile，
∴AC＝eq \r(AB2＋BC2－2AB·BCcs 120°)
＝eq \r(a2＋a2－2a2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝eq \r(3)a(n mile)．]
某省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．
[解] 方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d．
②第一步：计算AM．由正弦定理得AM＝eq \f(dsin α2,sinα1＋α2)；
第二步：计算AN．由正弦定理得AN＝eq \f(dsin β2,sinβ2－β1)；
第三步：计算MN．由余弦定理得
MN＝eq \r(AM2＋AN2－2AM·ANcsα1－β1)．
方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d．
②第一步：计算BM．由正弦定理得BM＝eq \f(dsin α1,sinα1＋α2)；
第二步：计算BN．由正弦定理得BN＝eq \f(dsin β1,sinβ2－β1)；
第三步：计算MN．由余弦定理得
MN＝eq \r(BM2＋BN2－2BM·BNcsπ－β2－α2)．