2020-2021学年第六章 平面向量及其应用本章综合与测试课后测评

这是一份2020-2021学年第六章 平面向量及其应用本章综合与测试课后测评，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．6 B．5 C．1 D．－6
A [由向量数量积公式知，(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6．]
2．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
B [设向量a，b夹角为θ，
|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cs θ，
则cs θ＝－eq \f(1,2)，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°．故选B．]
3．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，则a·b的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D [a＋b＝(3，k＋2)，∵a＋b与a共线，
∴3k－(k＋2)＝0，解得k＝1．∴a·b＝(1,1)·(2,2)＝4．]
4．已知△ABC的其中两边长分别为2,3，这两边的夹角的余弦值为eq \f(1,3)，则△ABC的外接圆的半径为( )
A．eq \f(9\r(2),2) B．eq \f(9\r(2),4) C．eq \f(9\r(2),8) D．8eq \r(2)
C [由题意知，边长分别为2,3的两边的夹角的正弦值为eq \r(1－\f(1,9))＝eq \f(2\r(2),3)．又由余弦定理可得第三边的长为eq \r(22＋32－2×2×3×\f(1,3))＝3，所以由正弦定理知，△ABC的外接圆的直径为eq \f(3,\f(2\r(2),3))＝eq \f(9\r(2),4)，所以其半径为eq \f(9\r(2),8)．故选C．]
5．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若b2＋c2－a2＝eq \f(6,5)bc，则sin(B＋C)的值为( )
A．－eq \f(4,5) B．eq \f(4,5) C．－eq \f(3,5) D．eq \f(3,5)
B [由b2＋c2－a2＝eq \f(6,5)bc，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(3,5)，则sin(B＋C)＝sin A＝eq \f(4,5)．]
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若△ABC的面积为3eq \r(15)，b－c＝2，cs A＝－eq \f(1,4)，则△ABC的周长为( )
A．18 B．16 C．20 D．15
A [在△ABC中，由cs A＝－eq \f(1,4)，可得sin A＝eq \f(\r(15),4)，所以eq \f(1,2)bc×eq \f(\r(15),4)＝3eq \r(15)，即bc＝24．由余弦定理得a2＝b2＋c2＋2bc×eq \f(1,4)＝b2＋c2＋eq \f(1,2)bc，联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(bc＝24，,a2＝b2＋c2＋\f(1,2)bc，,b－c＝2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝8，,b＝6，,c＝4，))则△ABC的周长为a＋b＋c＝18，故选A．]
7．如图，在△ABC中，eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(→))，eq \(BP,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up7(→))，若eq \(AP,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))＋μeq \(AC,\s\up7(→))，则λ＋μ的值为( )
A．eq \f(4,9) B．eq \f(8,9) C．eq \f(2,3) D．eq \f(4,3)
B [∵eq \(BP,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up7(→))，
∴eq \(AP,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→)))，
∴eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up7(→))，又eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(→))，
∴eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(2,9)eq \(AC,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))＋μeq \(AC,\s\up7(→))，
∴λ＝eq \f(2,3)，μ＝eq \f(2,9)，∴λ＋μ＝eq \f(8,9)．]
8．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则eq \(MA,\s\up7(→))·eq \(MB,\s\up7(→))的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[－1,2]
C．[－1,3] D．[－1,4]
C [建立如图所示坐标系，
设M(x，y)，其中A(－1，－1)，B(1，－1)，易知x2＋y2≤1，而eq \(MA,\s\up7(→))·eq \(MB,\s\up7(→))＝(－1－x，－1－y)·(1－x，－1－y)＝x2＋(y＋1)2－1，若设E(0，－1)，则eq \(MA,\s\up7(→))·eq \(MB,\s\up7(→))＝|eq \(ME,\s\up7(→))|2－1，
由于0≤|eq \(ME,\s\up7(→))|≤2，所以eq \(MA,\s\up7(→))·eq \(MB,\s\up7(→))＝|eq \(ME,\s\up7(→))|2－1的取值范围是[－1,3]，故选C．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．对任意向量a，b，下列关系式中恒成立的是( )
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
ACD [|a·b|＝|a|·|b|·|cs〈a，b〉|≤|a|·|b|，故A正确；由向量的运算法则知C，D正确；当b＝－a≠0时，|a－b|＞||a|－|b||，故B错误．故选ACD．]
10．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝6，sin A＝2sin C，则以下四个结论正确的有( )
A．△ABC不可能是直角三角形
B．△ABC有可能是等边三角形
C．当A＝B时，△ABC的周长为15
D．当B＝eq \f(π,3)时，△ABC的面积为6eq \r(3)
CD [由正弦定理得a＝2c，
对选项A，若A是直角，则a2＝b2＋c2⇒(2c)2＝36＋c2⇒c＝2eq \r(3)，所以存在△ABC是直角三角形，故A错误；
对选项B，因为a＝2c，所以不存在△ABC是等边三角形，故B错误；
对选项C，若A＝B，则a＝b＝6，c＝3，△ABC的周长为15，故C正确；
对选项D，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(4c2＋c2－36,2×2c2)＝eq \f(1,2)，解得c＝2eq \r(3)，a＝4eq \r(3)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝6eq \r(3)，故D正确．故选CD．]
11．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝eq \f(1,2)，则(a－b)·(2b－c)的值可能为( )
A．－2 B．3－eq \r(3) C．0 D．－eq \r(2)
ACD [(a－b)·(2b－c)＝2a·b－a·c－2b2＋b·c＝1－2＋(b－a)·c＝|b－a||c|cs〈b－a，c〉－1＝cs〈b－a，c〉－1，
∵cs〈b－a，c〉∈[－1,1]，∴(a－b)·(2b－c)∈[－2,0]．
∵－2∈[－2,0]，3－eq \r(3)∉[－2,0]，0∈[－2,0]，－eq \r(2)∈[－2,0]，
∴(a－b)·(2b－c)的值可能为－2,0，－eq \r(2)．
故选ACD．]
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin B＝eq \r(3)bcs A，a＝3．若点D在边BC上，且BD＝2DC，O是△ABC的外心，则下列判断正确的是( )
A．A＝30°
B．△ABC的外接圆半径为eq \r(3)
C．OD＝1
D．AD的最大值为2
BC [对于A，在△ABC中，0°＜A，B，C＜180°，∵asin B＝eq \r(3)bcs A，∴sin Asin B＝eq \r(3)sin Bcs A，又sin B＞0，∴tan A＝eq \r(3)，A＝60°，故选项A错误；
对于B，∵a＝3，∴eq \f(a,sin A)＝2R＝eq \f(3,\f(\r(3),2))＝2eq \r(3)(R为△ABC外接圆的半径)，故R＝eq \r(3)，故选项B正确；
对于C，取BC的中点M，连接OM，如图所示，在Rt△BOM中，BM＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(3,2)，OM＝eq \r(OB2－BM2)＝eq \r(\r(3)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(3),2)，在Rt△DOM中，DM＝BD－BM＝eq \f(1,2)，OD＝eq \r(OM2＋DM2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2))＝1，故选项C正确；
对于D，∵AD≤AO＋OD＝R＋OD＝eq \r(3)＋1，当且仅当圆心O在AD上时取等号，∴AD的最大值为eq \r(3)＋1，故选项D错误．
故选BC．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．与向量a＝(1,2)平行，且模等于eq \r(5)的向量为________．
(1,2)或(－1，－2) [因为所求向量与向量a＝(1,2)平行，所以可设所求向量为(x,2x)，又因为其模为eq \r(5)，所以x2＋(2x)2＝5，解得x＝±1．
因此所求向量为(1,2)或(－1，－2)．]
14．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按0.5 km计算，则该沙田的面积为________km2．
21 [设在△ABC中BC＝13里，AC＝14里，AB＝15里，∴cs C＝eq \f(132＋142－152,2×13×14)＝eq \f(5,13)，∴sin C＝eq \f(12,13)，故△ABC的面积为eq \f(1,2)×13×14×eq \f(12,13)×0.52＝21(km2)．]
15．在△ABC中，S△ABC＝eq \f(1,4)(a2＋b2－c2)，b＝1，a＝eq \r(2)，则c＝________．
1 [∵S△ABC＝eq \f(1,2)absin C，∴eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,4)(a2＋b2－c2)，
∴a2＋b2－c2＝2absin C．
由余弦定理得，2abcs C＝2absin C，
∴tan C＝1，∴C＝45°，
∴c＝eq \r(a2＋b2－2abcs C)＝eq \r(3－2)＝1．]
16．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(PB,\s\up7(→)))·eq \(PC,\s\up7(→))的最小值是________．
－eq \f(1,2) [因为点O是AB的中点，
所以eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(PB,\s\up7(→))＝2eq \(PO,\s\up7(→))，
设|eq \(PC,\s\up7(→))|＝x，则|eq \(PO,\s\up7(→))|＝1－x(0≤x≤1)，
所以(eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(PB,\s\up7(→)))·eq \(PC,\s\up7(→))＝2eq \(PO,\s\up7(→))·eq \(PC,\s\up7(→))＝－2x(1－x)
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,2)．
所以当x＝eq \f(1,2)时，(eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(PB,\s\up7(→)))·eq \(PC,\s\up7(→))取到最小值－eq \f(1,2)．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知两向量a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若Aeq \(B,\s\up7(→))＝2a＋3b，Beq \(C,\s\up7(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
[解] (1)ka－b＝(k,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋(4,2)＝(5,2)．
当ka－b与a＋2b共线时，
2(k－2)－(－1)×5＝0，
解得k＝－eq \f(1,2)．
(2)由已知可得eq \(AB,\s\up7(→))＝2a＋3b＝(2,0)＋(6,3)＝(8,3)，eq \(BC,\s\up7(→))＝a＋mb＝(1,0)＋(2m，m)＝(2m＋1，m)．
因为A，B，C三点共线，所以eq \(AB,\s\up7(→))∥eq \(BC,\s\up7(→))，
所以8m－3(2m＋1)＝0．解得m＝eq \f(3,2)．
18．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，|eq \(OA,\s\up7(→))|＝2|eq \(AB,\s\up7(→))|＝2，∠OAB＝eq \f(2π,3)，eq \(BC,\s\up7(→))＝(－1，eq \r(,3))．
(1)求点B，C的坐标；
(2)求证：四边形OABC为等腰梯形．
[解] (1)连接OB(图略)，设B(xB，yB)，则xB＝|eq \(OA,\s\up7(→))|＋|eq \(AB,\s\up7(→))|·cs(π－∠OAB)＝eq \f(5,2)，
yB＝|eq \(AB,\s\up7(→))|·sin(π－∠OAB)＝eq \f(\r(,3),2)，
∴eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(\r(,3),2)))＋(－1，eq \r(,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3\r(,3),2)))，
∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(\r(,3),2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3\r(,3),2)))．
(2)证明：∵eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3\r(,3),2)))，
eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(,3),2)))，
∴eq \(OC,\s\up7(→))＝3eq \(AB,\s\up7(→))，∴eq \(OC,\s\up7(→))∥eq \(AB,\s\up7(→))．
又易知OA与BC不平行，
|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(BC,\s\up7(→))|＝2，
∴四边形OABC为等腰梯形．
19．(本小题满分12分)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝eq \r(3)asin C－ccs A．
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为eq \r(3)，求b，c．
[解] (1)由c＝eq \r(3)asin C－ccs A，及正弦定理得
eq \r(3)sin Asin C－cs Asin C－sin C＝0．
由于sin C≠0，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))＝eq \f(1,2)．
又0(2)△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \r(3)，故bc＝4．
而a2＝b2＋c2－2bccs A，
故b2＋c2＝8．
解得b＝c＝2．
20．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C．
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
[解] (1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，则a2＝b2＋c2＋bc．
又由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，得cs A＝－eq \f(1,2)．
又0°＜A＜180°，∴A＝120°．
(2)法一 由(1)中a2＝b2＋c2＋bc，结合正弦定理，可得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝eq \f(3,4)，
即(sin B＋sin C)2－sin Bsin C＝eq \f(3,4)．
又sin B＋sin C＝1，∴sin Bsin C＝eq \f(1,4)，
∴sin B＝sin C＝eq \f(1,2)．
∵0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，∴B＝C．
故△ABC是等腰三角形．
法二 由(1)得B＋C＝60°，
∴sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)＝sin(60°＋B)＝1，
又0°＜B＜60°，∴B＝30°，∴C＝B＝30°，
故△ABC是等腰三角形．
21．(本小题满分12分)△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \r(5)b＝4c，B＝2C．
(1)求cs B；
(2)若c＝5，点D为边BC上一点，且BD＝6，求△ADC的面积．
[解] (1)因为B＝2C，所以有sin B＝sin 2C＝2sin Ccs C，
从而cs C＝eq \f(sin B,2sin C)＝eq \f(b,2c)＝eq \f(2\r(5),5)，故cs B＝cs 2C＝2cs2C－1＝eq \f(3,5)．
(2)由题意得，b＝4eq \r(5)，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，
得80＝a2＋52－2×5×eq \f(3,5)a，化简得a2－6a－55＝0，解得a＝11或a＝－5(舍去)，从而DC＝5，
又cs C＝eq \f(2\r(5),5)，则sin C＝eq \f(\r(5),5)，
所以S△ADC＝eq \f(1,2)·DC·AC·sin C＝eq \f(1,2)×5×4eq \r(5)×eq \f(\r(5),5)＝10．
22．(本小题满分12分)如图所示，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B，C两个小镇，并且AB＝30公里，AC＝80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在B，C之间建一个码头D，接送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2．
(1)求sin∠ABC的大小；
(2)设∠ADB＝θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．
[解] (1)根据余弦定理，有cs∠ABC＝
eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝－eq \f(1,7)，
于是sin∠ABC＝eq \f(4\r(3),7)．
(2)不妨设每百人每公里水路运输成本为m元，陆路运输成本为2m元．又CD＝70－BD，则总成本p＝8AD·m＋(3BD＋5CD)·2m＝(700＋8AD－4BD)·m．
在△ABD中应用正弦定理，有
eq \f(AB,sin θ)＝eq \f(AD,sin∠ABC)＝eq \f(BD,sinθ＋∠ABC)，解得AD＝eq \f(120\r(3),7sin θ)，
BD＝ADcs θ－ABcs(π－∠ABD)＝eq \f(120\r(3)csθ,7sin θ)－eq \f(30,7)，
因此2AD－BD＝eq \f(120\r(3),7)·eq \f(2－cs θ,sin θ)＋eq \f(30,7)．
设y＝eq \f(2－cs θ,sin θ)，则y＞0，
有ysin θ＋cs θ＝2，又ysin θ＋cs θ＝eq \r(y2＋1)sin(θ＋φ)≤eq \r(y2＋1)，其中tan φ＝eq \f(1,y)，
所以eq \r(y2＋1)≥2，
解得y≥eq \r(3)，且θ＝eq \f(π,3)时取得等号．
因此当θ＝eq \f(π,3)时，运输总成本最少．