数学必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直第2课时同步训练题

这是一份数学必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直第2课时同步训练题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课后素养落实(三十五)　平面与平面垂直的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(　　)A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直C　[当b＝α∩β时，必有a⊥β；当b不是α与β的交线时，直线a不一定垂直于平面β．]2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　)A．α∥γ　　　　　　 B．α⊥γC．α与γ相交但不垂直   D．以上都有可能D　[两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能．]3．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是(　　)A．8　　　　B．12　　　　C．16　　　　D．18C　[如图，根据正六边形的性质可知，以四边形A1ABB1，A1AFF1，A1ACC1和A1AEE1为底面矩形，各有4个阳马，故共有4×4＝16(个)阳马．故选C．]4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)A．AB∥m   B．AC⊥mC．AB∥β   D．AC⊥βD　[如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥α⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β． 故选D．]5．在正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，沿 AD 折成二面角B­AD­C后，BC＝AB，这时二面角B­AD­C的大小为(　　)A．60°    B．90°    C．45°    D．120°A　[∠BDC为二面角B­AD­C的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝m，BD＝DC＝m，所以∠BDC＝60°．]二、填空题6．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)①②⇒③(答案不唯一)　[由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′⊂β，∴α⊥β，故①②⇒③．]7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________．1　[因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B­AD­C的平面角，因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°．在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，所以BD＝CD＝，所以BC＝＝1．]8．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．45°　[如图，过A作AO⊥BD于O 点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB ＝AD．∴∠ADO＝45°．]三、解答题9．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC．求证：平面AEC⊥平面AFC．[证明]　如图，连接BD，设BD交AC于点G，连接EG，FG，EF．在菱形ABCD中，不妨设GB＝1，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝．由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC．又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC．在Rt△EBG中，BE＝＝，故DF＝．在Rt△FDG中，FG＝＝．在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝．因为EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG．又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC．又EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC．10．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B­ACD，点M是棱BC的中点，DM＝3．求证：(1)OM∥平面ABD；(2)平面ABC⊥平面MDO．[证明]　(1)由题意知，O为AC的中点，∵M为BC的中点，∴OM∥AB．又OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴OM∥平面ABD．(2)由题意知，OM＝OD＝3，DM＝3，∴OM2＋OD2＝DM2，∴∠DOM＝90°，即OD⊥OM．∵四边形ABCD是菱形，∴OD⊥AC．又OM∩AC＝O，OM，AC⊂平面ABC，∴OD⊥平面ABC．∵OD⊂平面MDO，∴平面ABC⊥平面MDO．1．三棱锥P­ABC的各棱长都相等，D，E，E分别是AB，BC，CA的中点，下列四个结论中不成立的是(　　)A．BC∥平面PDF   B．DF⊥平面PAEC．平面PDE⊥平面ABC   D．平面PAE⊥平面ABCC　[对于A中，因为D，F分别是AB，CA的中点，可得BC∥DF，因为BC⊄平面PDF，DF⊂平面PDF，所以BC∥平面PDF，所以A正确，不符合题意；对于B中，因为AC＝AB，BE＝EC，所以BC⊥AE，同理可得BC⊥PE，又因为PE∩AE＝E，所以BC⊥平面PAE，又由BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，所以B正确，不符合题意；对于D中，由于DF⊥平面PAE，因为DF⊂平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，所以D正确，不符合题意．故选：C．]2．若以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为(　　)A．30°    B．45°    C．60°    D．90°C　[如图①，AD⊥DC，AD⊥DB，图①　　　　　　图②∴∠CDB＝90°，设AB＝AC＝a，则CD＝BD＝a，∴CB＝a，∴图②中△ABC是正三角形．∴∠CAB＝60°．]3．(多选题)如图，在四面体P­ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是(　　)A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDF⊥平面ABCABC　[因为D，F分别为AB，AC的中点，所以DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，故A中结论正确；因为E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，所以BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE，因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，故B中结论正确；因为DF⊂平面PDF，DF⊥平面PAE，所以平面PDF⊥平面PAE，故C中结论正确；假设平面PDF⊥平面ABC，则由平面PDF∩平面ABC＝DF，AE⊂平面ABC，AE⊥DF，DF⊂平面PDF，得AE⊥平面PDF，所以AE⊥PD，AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故D中结论不正确．]4．等边三角形ABC(如图1所示)的边长为a，沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ(如图2所示)，在图2中，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d，当x为何值时，d2取得最小值？最小值是多少？图1　　　　　　　　　　图2[解]　∵平面APQ⊥平面PBCQ，且AR⊥PQ，AR⊂平面APQ，平面APQ∩平面PBCQ＝PQ，∴AR⊥平面PBCQ．∵RB⊂平面PBCQ，∴AR⊥RB．在Rt△BRD中，BR2＝BD2＋RD2＝＋，而AR2＝x2，∴d2＝BR2＋AR2＝2x2－ax＋a2＝2＋，∴当x＝a时，d2取得最小值．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．[解]　(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD．又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB．∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB．(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD．设F为PC的中点，连接GC交DE于H，连接FH．∵GB∥DE，且E为BC中点，∴H为GC中点．∴FH∥PG．由(1)知PG⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD．∵FH⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面ABCD．