高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率精练

课后素养落实(四十六)　概率的基本性质

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　)

A．0.42　　　B．0.28　　　C．0.3　　　D．0.7

C　[∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C．]

2．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是(　　)

A．   B．

C．   D．

D　[由题意可知即

即解得＜a≤．]

3．下列说法中正确的是(　　)

A．对立事件一定是互斥事件

B．若A，B为随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)

C．若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1

D．若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件

A　[A说法显然正确；B说法不正确，当事件A，B能同时发生时，不满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；C说法不正确，P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；D说法不正确，例如：袋中有除颜色外其余均相同的红球、黄球、黑球、绿球各1个，从袋中任意摸1个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不是对立事件，但P(A)＋P(B)＝＋＝1．]

4．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共有10 个样本点，其中事件“这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的”包含4个样本点，故所求的概率为＝．]

5．(多选题)口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的两球同色”，B＝“取出的2球中至少有一个黄球”，C＝“取出的2球中至少有一个白球”，D＝“取出的两球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一个白球”．下列判断中正确的是(　　)

A．A与D为对立事件   B．C与E是对立事件

C．P(C∪E)＝1   D．P(B)＝P(C)

AC　[因为口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，由对立事件定义得A与D为对立事件，故A正确；

C与E有可能同时发生，不是对立事件，故B错误；

P(C)＝1－＝，P(E)＝，P(CE)＝，

从而P(C∪E)＝P(C)＋P(E)－P(CE)＝1，故C正确；

黄球与白球的个数不同，从而P(B)≠P(C)，故D错误．]

二、填空题

6．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.20,0.30,0.10．则此射手在一次射击中不够8环的概率为________．

0.40　[不够8环的概率为1－0.20－0.30－0.10＝0.40．]

7．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．

　[设3个红色球为A1，A2，A3,2个黄色球为B1，B2，从5个球中，随机取出2个球的事件有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10种．其中2个球的颜色不同的有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种，所以所求概率为＝．]

8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________．

　[易知试验样本点的总数为36，由log2xy＝1，得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以或或共3个样本点，所以P＝＝．]

三、解答题

9．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5题，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．

(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？

(2)甲、乙两人中至少有一个抽到选择题的概率是多少？

[解]　把3个选择题记为x1，x2，x3；2个判断题记为p1，p2．

“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；

“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；

“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；

“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．

因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20．

(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，则P(A)＝＝，

记“甲抽到判断题，乙抽到选择题”为事件B，则P(B)＝＝，

故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为P(A＋B)＝＋＝．

(2)记“甲、乙两人至少有一个抽到选择题”为事件C，则为“甲、乙两人都抽到判断题”，由题意P()＝＝，

故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为P(C)＝1－P()＝1－＝．

10．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4．

(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．

[解]　(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个，因此所求事件的概率为P＝＝．

(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共16个样本点．

又满足条件n≥m＋2的样本点有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．

所以，满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝，

故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝．

1．(多选题)张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中公平的是(　　)

A．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜

B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜

C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜

D．张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜

ACD　[选项A中，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，A符合题意；选项B中，张明获胜的概率是，而李华获胜的概率是，故游戏规则不公平，B不符合题意；选项C中，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等，C符合题意；选项D中，两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等，D符合题意．]

2．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则是下列哪个事件的概率(　　)

A．颜色全同   B．颜色不全同

C．颜色全不同   D．无红球

B　[试验的样本空间Ω＝{黄黄黄，红红红，白白白，红黄黄，黄红黄，黄黄红，白黄黄，黄白黄，黄黄白，黄红红，红黄红，红红黄，白红红，红白红，红红白，黄白白，白黄白，白白黄，红白白，白红白，白白红，黄红白，黄白红，红黄白，红白黄，白红黄，白黄红}，包含27个样本点，事件“颜色全相同”包含3个样本点，则其概率为＝＝1－，所以是事件“颜色不全同”的概率．]

3．已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率为________．

　[∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，

∴基本事件总数n＝3×4＝12．

用(a，b)表示a，b的取值．

若函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数，

则①当a＝0时，f(x)＝－2bx，

符合条件的只有(0，－1)，

即a＝0，b＝－1；

②当a≠0时，需满足≤1，符合条件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4种．

∴函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率P＝．]

4．甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，他们跑每一棒的概率均为．则甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为________．

　[设事件A＝“甲跑第一棒”，事件B＝“乙跑第四棒”，

则P(A)＝，P(B)＝．

记甲跑第x棒，乙跑第y棒为(x，y)，

则共有可能结果12种：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．

甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种结果，即(1,4)，

故P(A∩B)＝；

所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为：

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝．]

2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．

(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如下表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．

[解]　(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层随机抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．

(2)①从已知的6人中随机抽取2人，试验空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个样本点．

②由表格知，事件M ＝{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)}，共11个样本点，

所以，事件M发生的概率P(M)＝．