2020-2021学年1.3 空间向量及其运算的坐标表示巩固练习

1.3　空间向量及其运算的坐标表示

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且=2a,则点B的坐标为(　　)

A.(-7,10,24) B.(7,-10,-24)

C.(-6,8,24) D.(-5,6,24)

解析∵a=(-3,4,12),且=2a,∴=(-6,8,24),

∵A(1,-2,0),∴B=(-6+1,8-2,24+0)=(-5,6,24),故选D.

答案D

2.(多选题)下列各组两个向量中,平行的有(　　)

A.a=(1,-2,3),b=(1,2,1)

B.a=(0,-3,3),b=(0,1,-1)

C.a=(0,-3,2),b=0,1,-

D.a=1,-,3,b=(-2,1,-6)

解析对于B,有a=-3b,故a∥b;对于D,有b=-2a,故a∥b;而对A,C中两向量,不存在实数λ,使a=λb,故不平行.

答案BD

3.已知点A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量的夹角为(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

解析由已知得=(0,3,3),=(-1,1,0),

因此cos<>=,

所以向量的夹角为60°.

答案C

4.若向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),则|a+b|=(　　)

A. B.2 C.3 D.

解析∵a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),∴a+b=(3,0,-1),

∴|a+b|=.故选D.

答案D

5.(2020山西大同第一中学高二上期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是(　　)

A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直

C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行

解析设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),M,1,,N0,,

∴=-,-,0,=(0,0,1),

=(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(0,1,0).

=0,∴MN⊥CC1,故A正确;=0,∴MN⊥AC,故B正确;易知=2,且M,N∉BD,

∴MN∥BD,故C正确;设=λ,得无解,∴MN与A1B1不平行,故D错误.故选D.

答案D

6.已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,则实数x=　　　　　. 

解析由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),

所以4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.

答案-8

7.已知向量a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)a+c与b+c所成角的余弦值.

解(1)因为a∥b,所以,解得x=2,y=-4,这时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).

又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,

解得z=2,所以c=(3,-2,2).

(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),

所以a+c与b+c所成角θ的余弦值cosθ==-.

8.如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,O是AC与BD的交点,PO=1,M是PC的中点.设=a,=b,=c.

(1)用向量a,b,c表示;

(2)在如图所示的空间直角坐标系中,求的坐标.

解(1)∵,

∴)=)

=-=-a+b+c.

(2)a==(1,0,0),b==(0,1,0).

∵A(0,0,0),O,0,P,1,

∴c==,1,

∴=-a+b+c=-×(1,0,0)+×(0,1,0)+×,1=-.

关键能力提升练

9.已知空间向量=(x,y,8),=(z,3,4),,且||=5,则实数z的值为(　　)

A.5 B.-5

C.5或-5 D.-10或10

解析因为,所以存在λ∈R,使得=λ,

又||=5,而=(z-x,3-y,-4),则

解得故选C.

答案C

10.(2020北京东直门中学高二上期中)已知O为坐标原点,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则取得最小值时,点Q的坐标为(　　)

A. B.

C. D.

解析点Q在直线OP上运动,设=λ=(λ,λ,2λ)(λ∈R),则=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),

∴=6λ-2-,当λ=时,取得最小值,此时,Q.故选C.

答案C

11.(多选题)下列各组向量中共面的有(　　)

A.a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5)

B.a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2)

C.a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1)

D.a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)

解析A中,设a=xb+yc,则

解得故存在实数x=-1,y=1使得a=-b+c,因此a,b,c共面;B中,设a=mb+nc,则

显然无解,因此a,b,c不共面;同理,C中c=a-b,a,b,c共面,D中a,b,c不共面.故选AC.

答案AC

12.(多选题)(2020山东莱州第一中学高二上期末)正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为2,M为B1C1的中点,则下列说法正确的是(　　)

A.AB1与BC1成60°角

B.若,面A1MN交CD于点E,则CE=

C.点P在正方形ABB1A1边界及内部运动,且MP⊥DB1,则点P的轨迹长等于

D.E,F分别在棱DB1,A1C1上,且=2,直线EF与AD1,A1D所成角分别是α,β,则α+β=

解析如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(0,0,0),M(1,2,0).

对于A,=(0,2,-2),=(-2,0,-2),

cos<>=,

∴AB1与BC1成60°角,故A正确;

对于B,∵,

∴N0,2,,设E(0,m,2),则=(-1,2,0),=-2,2,,=(-2,m,2),由已知得A1,M,N,E四点共面,

∴∃λ,μ∈R,使得=λ+μ,

得解得

∴E0,,2,∴=0,-,0,||=,故B错误;

对于C,设P(2,y,z)(0≤y≤2,0≤z≤2),则=(1,y-2,z),=(2,2,-2),

由=2+2y-4-2z=0,得y-z=1,

∴点P的轨迹长为线段y-z=1(1≤y≤2)的长度,为,故C正确;

对于D,∵E,F分别在DB1,A1C1上,且=2,

∴×(2,2,-2)=,-,×(-2,2,0)=-,0,

则E,F,0,则=-,0,-,则cosα=|cos<>|

===1,故α=0,

cosβ=|cos<>|

==0,

故β=,即α+β=,故D正确.故选ACD.

答案ACD

13.已知点M(1,2,3),N(2,3,4),P(-1,2,-3),若||=3||,且,则的坐标为　　　　　,点Q的坐标为　　　　　　　　　　. 

解析由已知得=(1,1,1),设Q(x,y,z),

则=(x+1,y-2,z+3),由题意,得

解得

故点Q的坐标为(-4,-1,-6)或(2,5,0).

答案(1,1,1)　(-4,-1,-6)或(2,5,0)

14.已知点P是棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD的底面A1B1C1D1上一点(包括边界),则的取值范围是　　　　　. 

解析如图所示,建立空间直角坐标系,则A1(0,0,0),A(0,0,1),C(1,1,1).

设P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1),

则=(-x,-y,1),=(1-x,1-y,1),

∴=-x(1-x)-y(1-y)+1

=x-2+y-2+,

当x=,y=时,有最小值.

当点P取(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)时,有最大值1.

∴的取值范围是,1.

答案,1

15.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

(1)求以AB和AC为邻边的平行四边形的面积;

(2)若|a|=,且a分别与垂直,求向量a的坐标.

解(1)由题中条件可知,=(-2,-1,3),=(1,-3,2),

所以cos<>=.

于是sin<>=.

故以AB和AC为邻边的平行四边形的面积为

S=||||sin<>=14×=7.

(2)设a=(x,y,z),

由题意得

解得

故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).

学科素养创新练

16.

(2020山西太原第五中学高二上月考)如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.

(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|的长度;

(2)当点P是AB的中点,点Q在DC上运动时,探究|PQ|的最小值.

解由题意知A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(1,1,1).

(1)由PB=2AP得P1,,所以M-1,,-,所以|PM|=.

(2)点P是AB的中点,P1,,点Q在线段DC上运动,设点Q(a,1,a),a∈[0,1],

则|PQ|=

=,

所以当a=时,点Q,1,|PQ|取得最小值.