高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示课后练习题

2.3　直线的交点坐标与距离公式

2.3.1　两条直线的交点坐标

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(2020安徽庐巢六校联盟高二月考)若直线2ax+y-2=0与直线x-(a+1)y+2=0互相垂直,则这两条直线的交点坐标为(　　)

A.-,- B.

C.,- D.-

解析由题意得2a-(a+1)=0,解得a=1.

联立解得

所以这两条直线的交点坐标为.故选B.

答案B

2.在平面直角坐标系中,点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称,则直线l的方程为(　　)

A.x+2y-4=0 B.x-2y=0

C.2x-y-3=0 D.2x-y+3=0

解析根据点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称,可得直线l的斜率为=2,且直线l经过点(0,2)与点(4,0)构成的线段的中点(2,1),故直线l的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.

答案C

3.不论a为何实数,直线(a-3)x+2ay+6=0恒过 (　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析直线(a-3)x+2ay+6=0可变形为a(x+2y)+(6-3x)=0,由

故直线(a-3)x+2ay+6=0恒过定点(2,-1),

又点(2,-1)在第四象限,故该直线恒过第四象限.

答案D

4.直线l被两条直线l1:4x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),则直线l的方程为　　　　　. 

解析设直线l与l1的交点为A(x0,y0),直线l与l2的交点为B.由已知条件,得直线l与l2的交点为B(-2-x0,4-y0).

联立

即解得

即A(-2,5).所以直线l的方程为,即3x+y+1=0.

答案3x+y+1=0

5.直线l1:2x-by-6=0与直线l2:x+y+a=0的交点为(2,2),则a+b=　　　　　. 

解析由于(2,2)为两直线的交点,所以代入直线方程,可得2×2-2b-6=0,2+2+a=0,解得b=-1,a=-4,故a+b=-5.

答案-5

6.直线l经过直线x-2y+4=0和直线x+y-2=0的交点,且与直线x+3y+5=0垂直,求直线l的方程.

解(方法1)由

∴交点坐标为(0,2).又直线l与直线x+3y+5=0垂直,

∴直线l的斜率为3,∴直线l的方程为y-2=3x,即3x-y+2=0.

(方法2)设直线l方程为

(x-2y+4)+λ(x+y-2)=0,

即(λ+1)x+(λ-2)y+(4-2λ)=0,

因为l与x+3y+5=0垂直,

所以1×(λ+1)+3(λ-2)=0,解得λ=,

代回方程并化简,得l的方程为3x-y+2=0.

关键能力提升练

7.若直线2x+3y+7=0,x-y+1=0和x+my=0相交于一点,则m=(　　)

A.- B. C.-2 D.2

解析由即交点为(-2,-1),代入直线方程x+my=0,解得m=-2.

答案C

8.(2020四川遂宁高二期末)若直线l1:y=kx-k+1与直线l2关于点(3,3)对称,则直线l2一定过定点(　　)

A.(3,1) B.(2,1) C.(5,5) D.(0,1)

解析∵y=kx-k+1=k(x-1)+1,

∴直线l1:y=kx-k+1过定点(1,1).

设定点(1,1)关于点(3,3)对称的点的坐标为(x,y),

则解得

即直线l2恒过定点(5,5).故选C.

答案C

9.若直线l:y=kx-与直线x+y-3=0相交,且交点在第一象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)

A.0°<α<60° B.30°<α<60°

C.30°<α<90° D.60°<α<90°

解析由所以两直线的交点坐标为,由交点在第一象限知解得k>,即tanα>,α是锐角,故30°<α<90°,故选C.

答案C

10.若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0能构成三角形,则a应满足的条件是(　　)

A.a=1,或a=-2 B.a≠±1

C.a≠1,且a≠-2 D.a≠±1,且a≠-2

解析为使三条直线能构成三角形,需三条直线两两相交且不共点.

①若l1∥l2,则由a×a-1×1=0,得a=±1.

②若l2∥l3,则由1×1-a×1=0,得a=1.

③若l1∥l3,则由a×1-1×1=0,得a=1.

当a=1时,l1,l2与l3三线重合,当a=-1时,l1,l2平行.

④若三条直线交于一点,由解得

将l2,l3的交点(-a-1,1)的坐标代入l1的方程,

解得a=1(舍去)或a=-2.

所以要使三条直线能构成三角形,需a≠±1,且a≠-2.

答案D

11.已知直线ax+by-2=0,且3a-4b=1,则该直线必过定点　　　　　. 

解析由3a-4b=1,得b=,代入ax+by-2=0,得a(4x+3y)=y+8.令解得故该直线恒过定点(6,-8).

答案(6,-8)

12.(2020福建永春一中高一期末)已知点A(1,3),B(4,2),若直线ax-y-2a=0与线段AB有公共点,则实数a的取值范围是　　　　　　　. 

解析ax-y-2a=0可化为(x-2)a-y=0,故直线ax-y-2a=0恒过定点(2,0).

画出图形,如图所示,

直线ax-y-2a=0可化为y=ax-2a,当直线过点A(1,3)时,a-3-2a=0,解得a=-3;

当直线过点B(4,2)时,4a-2-2a=0,解得a=1.

又直线ax-y-2a=0与线段AB有公共点,

所以实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).

答案(-∞,-3]∪[1,+∞)

13.在△ABC中,BC边上的高所在的直线的方程为x-2y+1=0,角A的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2).

(1)求点A的坐标;

(2)求直线BC的方程;

(3)求点C的坐标.

解(1)直线x-2y+1=0和直线y=0的交点是(-1,0),即点A的坐标为(-1,0).

(2)∵直线x-2y+1=0为BC边上的高,由垂直关系得kBC=-2,

所以直线BC的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.

(3)∵角A的平分线所在直线的方程为y=0,A(-1,0),B(1,2),∴kAC=-kAB=-1,设点C的坐标为(a,b),则=-1,=-2,

解得a=5,b=-6,即点C的坐标为(5,-6).

14.已知两点A(-2,1),B(4,3),两直线l1:2x-3y-1=0,l2:x-y-1=0,求:

(1)过点A且与直线l1平行的直线方程;

(2)过线段AB的中点以及直线l1与l2的交点的直线方程.

解(1)设与直线l1:2x-3y-1=0平行的直线方程为2x-3y+c=0(c≠-1),

将点A(-2,1)的坐标代入,得-4-3+c=0,解得c=7.

∴所求直线方程是2x-3y+7=0.

(2)设线段AB的中点为M.

∵A(-2,1),B(4,3),∴M(1,2).

设直线l1,l2的交点为N,

联立解得

∴N(2,1).

∴所求直线的方程为,

即x+y-3=0.

学科素养创新练

15.在△ABC中,AD,BE,CF分别为三边上的高,求证:AD,BE,CF三线共点.

证明建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,0),B(b,0),C(0,c),F(0,0),

则直线CF的方程为x=0.

由直线的截距式方程可得直线AC的方程为=1,即cx+ay-ac=0.

同理,可得直线BC的方程为cx+by-bc=0.

由于AD为BC边上的高,则直线AD的斜率为,由直线的点斜式方程可得直线AD的方程为y=(x-a).同理,得直线BE的方程为y=(x-b).

设直线CF和直线AD交于点O,

由得点O的坐标为0,-.

又O点坐标也满足直线BE的方程,

所以直线BE也过点O.

所以AD,BE,CF三线共点.