高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式综合训练题

2.3.2　两点间的距离公式

2.3.3　点到直线的距离公式

2.3.4　两条平行直线间的距离

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为 (　　)

A.1 B.-5 

C.1或-5 D.-1或5

解析由|AB|==5,得(a+2)2=9,解得a=1或-5.

答案C

2.已知两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为(　　)

A.4 B.

C. D.

解析∵直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,

∴,解得m=2.

∴两条直线方程分别为3x+y-3=0与6x+2y+1=0,即6x+2y-6=0与6x+2y+1=0.

∴两条直线之间的距离为d=.

答案D

3.(多选题)已知点A(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为,则点A的坐标可以是(　　)

A.(0,-2) B.(2,4)

C.(0,2) D.(1,1)

解析直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=0,依题意得,整理得|t|=1,所以t=1或t=-1.当t=1时,点A的坐标为(2,4);当t=-1时,点A的坐标为(0,-2).综上,点A的坐标为(0,-2)或(2,4),故选AB.

答案AB

4.到点A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是(　　)

A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0

C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0

解析设P(x,y),则,即3x+y+4=0.

答案B

5.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是 (　　)

A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0

C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0

解析(方法1)设所求直线的方程为2x+3y+C=0,由题意可知,

解得C=-6(舍去)或C=8.

故所求直线的方程为2x+3y+8=0.

(方法2)令(x0,y0)为所求直线上任意一点,则点(x0,y0)关于(1,-1)的对称点为(2-x0,-2-y0),此点在直线2x+3y-6=0上,代入可得所求直线方程为2x+3y+8=0.

答案D

6.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B经过的距离为(　　)

A.5 B.2 

C.5 D.10

解析点B(2,10)关于x轴的对称点为B'(2,-10),由对称性可得光线从A到B经过的距离为|AB'|==5.选C.

答案C

7.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有　　　　条. 

解析显然x=1过点(1,3)且与原点的距离为1;再设直线方程为y-3=k(x-1),由=1得,k=,所以直线方程为4x-3y+2=0,因此满足条件的直线有两条.

答案2

8.两平行直线l1:ax+4y=0,l2:3x+4y+m=0,若两直线之间的距离为1,则m=　　　　　　. 

解析根据两平行直线之间的距离公式,得=1,解得m=±5.

答案±5

9.求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(-3,1)等距离的直线l的方程.

解(方法1)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k.

又直线l在y轴上的截距为2,∴直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.

由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,

得,解得k=0或k=1.

∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.

(方法2)当直线l过线段AB的中点时,直线l与点A,B的距离相等.

∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),

∴直线l的方程是x-y+2=0.

当直线l∥AB时,直线l与点A,B的距离相等.

∵直线AB的斜率为0,

∴直线l的斜率为0,

∴直线l的方程为y=2.

综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.

10.已知△ABC三边所在直线方程:lAB:3x-2y+6=0,lAC:2x+3y-22=0,lBC:3x+4y-m=0(m∈R,m≠30).

(1)判断△ABC的形状;

(2)当BC边上的高为1时,求m的值.

解(1)因为直线AB的斜率为kAB=,直线AC的斜率为kAC=-,

所以kAB·kAC=-1,所以直线AB与AC互相垂直,因此△ABC为直角三角形.

(2)解方程组

得即A(2,6).

由点到直线的距离公式得

d=.

当d=1时,=1,|30-m|=5,解得m=25或m=35.

所以m的值为25或35.

关键能力提升练

11.已知直线l:kx-y+2-k=0过定点M,点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是(　　)

A. B. C. D.3

解析由题易得直线l:kx-y+2-k=0,即k(x-1)-y+2=0,过定点M(1,2).

∵点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,

∴y=1-2x,

∴|MP|=,

故当x=-时,|MP|取得最小值.故选B.

答案B

12.过点A(1,2),且与原点O距离最大的直线的方程是 (　　)

A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0

C.x+3y-7=0 D.x-2y+3=0

解析根据题意得,所求直线与直线OA垂直,

因为直线OA的斜率为2,

所以所求直线的斜率为-.

所以由点斜式方程得y-2=-(x-1),

即x+2y-5=0.

答案A

13.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)

A.3 B.2 C.3 D.4

解析由题意知,直线l1与l2平行,所以点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),则,即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即=3.

答案A

14.已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-3,-3),B,则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为(　　)

A. B. 

C. D.3

解析(方法1)如图1,由平行线间的距离公式得

|PQ|=.

图1

设点P(a,-a-2),点Qa+,-a-.

则|AP|+|PQ|+|QB|=.

设点M(a,a),C(1,-3),D(-1,0),如图2,则=|MC|+|MD|≥|CD|=.

图2

故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为.

(方法2)如图3,由平行线间的距离公式得|PQ|=.

图3

过点A作垂直于l1的直线,并截取|AA'|=|PQ|.则有PQ?AA'.

设点A'(x0,y0),

则

因此,点A'-,-,则|A'B|=.

连接A'Q,则四边形AA'QP是平行四边形,

故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=.

因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥.

故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为.

答案B

15.(多选题)若点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,则点P到坐标原点距离的取值可以是(　　)

A.6 B.8.5 C.10 D.12

解析∵点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,

∴-6≤x≤3.

∵线段4x+3y=0(-6≤x≤3)过原点,

∴点P到坐标原点的最近距离为0.

又点(-6,8)在线段上,

∴点P到坐标原点的最远距离为=10.

∴点P到坐标原点距离的取值范围是[0,10].

对照选择项知ABC均可.

答案ABC

16.(多选题)已知平面上一点M(5,0),若直线l上存在点P使|PM|=4,则称该直线为点M的“相关直线”,下列直线是点M的“相关直线”的是(　　)

A.y=x+1 B.y=2

C.4x-3y=0 D.2x-y+1=0

解析点M到直线y=x+1的距离d==3>4,即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4,故A中的直线不是点M的“相关直线”;点M到直线y=2的距离d=|0-2|=2<4,即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4,故B中的直线是点M的“相关直线”;点M到直线4x-3y=0的距离d==4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4,故C中的直线是点M的“相关直线”;点M到直线2x-y+1=0的距离d=>4,故D中的直线不是点M的“相关直线”.故选BC.

答案BC

17.已知直线l在x轴上的截距为1,又有两点A(-2,-1),B(4,5)到l的距离相等,则l的方程为　. 

解析显然l⊥x轴时符合要求,此时l的方程为x=1;

当l的斜率存在时,设l的斜率为k,则l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.

∵点A,B到l的距离相等,

∴,

∴|1-3k|=|3k-5|,

解得k=1,∴l的方程为x-y-1=0.

综上,l的方程为x=1或x-y-1=0.

答案x=1或x-y-1=0

18.已知直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,若直线l1,l2的距离等于,且直线l1不经过第四象限,则a=　　　　　. 

解析由直线l1,l2的方程可知,直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0,a),依题意得,l1与l2之间的距离为,整理得,解得a=3或a=-4.因为直线l1不经过第四象限,所以a≥0,所以a=3.

答案3

19.(2020黑龙江佳木斯一中高二月考)已知直线l经过点P(4,3),且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点.

(1)若点O到直线l的距离为4,求直线l的方程;

(2)求△OAB面积的最小值.

解(1)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-3=k(x-4),即kx-y-4k+3=0,则点O到直线l的距离d==4,

解得k=-.

故直线l的方程为-x-y-4×-+3=0,即7x+24y-100=0.

(2)因为直线l的方程为kx-y-4k+3=0,

所以A-+4,0,B(0,-4k+3).

则△OAB的面积S=|OA|·|OB|=×-+4×(-4k+3)=--16k+24.由题意可知k<0,则--16k≥2=24,当且仅当k=-时,等号成立.故△OAB面积的最小值为×(24+24)=24.

20.在△ABC中,A(1,1),B(m,),C(4,2)(1<m<4),求当m为何值时,△ABC的面积S最大.

解∵A(1,1),C(4,2),

∴|AC|=,直线AC的方程为x-3y+2=0.

根据点到直线的距离公式,可得点B(m,)到直线AC的距离d=,

∴S=|AC|·d=|m-3+2|

=.

∵1<m<4,∴1<<2⇒-,

∴0≤2<,

∴当m=时,△ABC的面积S最大.

学科素养创新练

21.已知点P(a,b)在线段AB上运动,其中A(1,0),B(0,1).则(a+2)2+(b+2)2的取值范围是　　　　　　　. 

解析由(a+2)2+(b+2)2联想两点间的距离公式,设点Q的坐标为(-2,-2),又点P的坐标为(a,b),

则|PQ|=,

于是问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值.

如图所示,当P与A或B重合时,

|PQ|取得最大值,即,

当PQ⊥AB时,|PQ|取得最小值,此时|PQ|为Q点到直线AB的距离,由A,B两点坐标可得直线AB的方程为x+y-1=0.

则Q点到直线AB的距离d=,所以≤(a+2)2+(b+2)2≤13.

答案,13

22.在x轴上求一点P,使得

(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;

(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.

解(1)如图,设直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点,

且|PB|-|PA|=|AB|==5.

∵直线BA的斜率kBA==-,∴直线BA的方程为y=-x+4.令y=0,得x=,即P,0.故距离之差最大值为5,此时P点的坐标为,0.

(2)作A关于x轴的对称点A',则A'(4,-1),连接CA',则|CA'|为所求最小值,直线CA'与x轴交点为所求点.

又|CA'|=,

直线CA'的斜率kCA'==-5,

则直线CA'的方程为y-4=-5(x-3).

令y=0,得x=,即P,0.

故距离之和最小值为,此时P点的坐标为,0.