高考数学大一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4讲指数与指数函数2试题文含解析

第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ

第四讲　指数与指数函数

1.[2021山东省烟台市期中]若a=()0.6,b=3-0.8,c=ln 3,则a,b,c的大小关系为 (　　)

A.b>c>a B.c>a>b

C.c>b>a D.a>c>b

2.[原创题]已知函数f(x)=2x+x-5,则不等式-2≤f(4x-1)≤6的解集为 (　　)

A.[-1,-] B.[-,]

C.[,1] D.[1,]

3.[2021湖南六校联考]若函数f(x)=()x-a的图象经过第一、二、四象限,则f(a)的取值范围为 (　　)

A.(0,1) B.(-,1) 

C.(-1,1) D.(-,+∞)

4.设b∈R,若函数f(x)=4x-2x+1+b在[-1,1]上的最大值是3,则其在[-1,1]上的最小值是 (　　)

A.2 B.1 C.0 D.-1

5.[2020合肥市三检]已知函数f(x)=-ax(a>1),则不等式f(2x2)+f(x-1)>0的解集是 (　　)

A.(-∞,-1)∪(,+∞) B.(-∞,-)∪(1,+∞)

C.(-,1) D.(-1,)

6.[2021嘉兴市高三测试]函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-4,则f(-1)=　　　　;不等式f(x)<0的解集为　　　　. 

7.[答案不唯一]能说明“已知f(x)=2|x-1|,若f(x)≥g(x)对任意的x∈[0,2]恒成立,则在[0,2]上,f(x)min≥g(x)max”为假命题的一个函数g(x)=　　　　　.(填出一个函数即可)  

8.[2021黑龙江省六校阶段联考]物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0 ℃,经过一段时间t min后的温度是T ℃,则T-Ta=(T0-Ta)·(,其中Ta(单位:℃)表示环境温度,h(单位:min)称为半衰期.现有一份88 ℃的热饮,放在24 ℃的房间中,如果热饮降温到40 ℃需要20 min,那么降温到32 ℃时,需要的时间为              (　　)

A.24 min B.25 min C.30 min D.40 min

9.[2021河北石家庄二中模拟]已知0<θ<,则 (　　)

A.(cos θ)sin θ>(cos θ)cos θ>(sin θ)cos θ 

B.(sin θ)cos θ>(cos θ)sin θ>(cos θ)cos θ

C.(cos θ)cos θ>(sin θ)cos θ>(cos θ)sin θ 

D.(cos θ)cos θ>(cos θ)sin θ>(sin θ)cos θ

10.[2021惠州市一调]对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),称f(x)为“局部奇函数”.若f(x)=4x-m·2x+1+m2-3为定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是              (　　)

A.[1-,1+] B.[1-,2]

C.[-2,2] D.[-2,1-]

11.[2020广东七校第二次联考]已知函数f(x)=x-4+,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的图象为              (　　)

12.设函数f(x)=则y=2f(f(x))-f(x)的取值范围为 (　　)

A.(-∞,0] B.[0,]

C.[,+∞) D.(-∞,0]∪[,+∞)

13.已知点P(a,b)在函数y=的图象上,且a>1,b>1,则alnb的最大值为　　　　. 

14.已知函数f(x)=ex,若关于x的不等式[f(x)]2-2f(x)-a≥0在[0,1]上有解,则实数a的取值范围为　　　　. 

答 案

第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ

 第四讲　指数与指数函数

1.B　因为a=()0.6=3-0.6,由指数函数y=3x在R上单调递增,且-0.6>-0.8可得a=3-0.6>3-0.8=b,且b<a<1,又c=ln 3>ln e=1,所以c>a>b.故选B.

2.C　因为函数y=2x与y=x-5在R上均为增函数,所以函数f(x)=2x+x-5在R上为增函数.易知f(1)=-2,f(3)=6,所以不等式-2≤f(4x-1)≤6等价于f(1)≤f(4x-1)≤f(3),等价于1≤4x-1≤3,解得≤x≤1,故选C.

【素养落地】　本题将不等式-2≤f(4x-1)≤6等价转化为f(1)≤f(4x-1)≤f(3),体现了对逻辑推理核心素养的考查.

3.B　依题意可得f(0)=1-a,则 解得0<a<1,f(a)=()a-a.设函数g(x)=()x-x,则g(x)在(0,1)上为减函数,故f(a)∈(,1).故选B.

4.A　f(x)=4x-2x+1+b=(2x)2-2·2x+b.设2x=t,则g(t)=t2-2t+b=(t-1)2+b-1.因为x∈[-1,1],所以t∈[,2].当t=1时,g(t)取最小值,为b-1;当t=2时,g(t)取最大值,为3,即1+b-1=3,解得b=3.于是f(x)min=2.故选A.

5.D　因为当a>1时,y=和y=-ax均为减函数,所以函数f(x)=ax(a>1)在R上为减函数.又f(-x)=a-x=ax-a-x=-f(x),所以f(x)为奇函数.不等式f(2x2)+f(x-1)>0可化为f(2x2)>f(1-x),所以2x2<1-x,即2x2+x-1<0,解得-1<x<,故选D.

6.2　(-∞,-2)∪(0,2)　由题意得f(-1)=-f(1)=-(21-4)=2.当x>0时,令f(x)=2x-4<0,得0<x<2,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以当x<0时,令f(x)<0,得x<-2,当x=0时,f(0)=0,此时不满足f(x)<0.所以f(x)<0的解集为(-∞,-2)∪(0,2).

7.x(答案不唯一)　

图D 2-4-4

易知函数f(x)=2|x-1|在x∈[0,2]上的最小值是1,取g(x)=x,作出f(x),g(x)在[0,2]上的图象如图D 2-4-4,满足f(x)≥g(x)对任意的x∈[0,2]恒成立,但g(x)=x在[0,2]上的最大值是,不满足f(x)min≥g(x)max,所以 g(x)=x能说明题中命题是假命题.

8.C　由题意,得40-24=(88-24)·(,即=(,解得h=10,所以T-24=(88-24)·(,即T-24=64·(,将T=32代入上式,得32-24=64·(,即=(,解得t=30,所以需要30 min,可降温到32 ℃,故选C.

9.A　设a=cos θ,b=sin θ,因为0<θ<,所以1>a>b>0,则函数f(x)=ax为减函数,所以ab>aa,根据幂函数的性质可得aa>ba,故有ab>aa>ba,即(cos θ)sin θ>(cos θ)cos θ>(sin θ)cos θ,故选A.

10.B　因为函数f(x)=4x-m·2x+1+m2-3为定义在R上的“局部奇函数”,所以方程f(x)=-f(-x)有解,即方程4x-m·2x+1+m2-3=-(4-x-m·2-x+1+m2-3)有解,整理得(4x+)-2m(2x+)+2(m2-3)=0,即方程(2x+)2-2m(2x+)+2m2-8=0有解,令t=2x+,则t≥2,即方程t2-2mt+2m2-8=0(*)在t∈[2,+∞)上有解,设g(t)=t2-2mt+2m2-8.

(1)当方程(*)有两个相等的解时,由解得m=2.

(2)当方程(*)有两个不相等的解,其中一个解小于2,另一个解大于等于2时,则g(2)<0或解得1≤m<1+.

(3)当方程(*)有两个不相等的解,且两个解都大于等于2时,由解得1+≤m<2.综上所述,1≤m≤2,故选B.

11.A　因为x∈(0,4),所以x+1>1,所以f(x)=x-4+=x+1+5≥25=1,当且仅当x=2时取等号,此时函数f(x)取得最小值1,所以a=2,b=1,所以g(x)=2|x+1|=函数g(x)的图象可以看作由函数y=的图象向左平移1个单位长度得到.

结合指数函数的图象及选项可知A正确.故选A.

12.B　

图D 2-4-5

作出f(x)=的图象如图D 2-4-5中实线所示,由图可知f(x)∈[,+∞),设f(x)=t,则t∈[,+∞),因为y=2f(f(x))-f(x),所以y=2f(t)-t,t∈[,+∞),所以或因为y=21-t-t在[,1]上单调递减,所以0≤y≤,所以y=2f(f(x))-f(x)的取值范围为[0,],故选B.

13.e　由题意知b=,则alnb==a2-ln a,令t=a2-ln a(t>0),则ln t=ln a2-ln a=-(ln a)2+2ln a=-(ln a-1)2+1≤1,所以ln a=1时,t取得最大值e,即alnb的最大值为e.

14.(-∞,e2-2e]　由[f(x)]2-2f(x)-a≥0在[0,1]上有解,可得存在x∈[0,1],a≤[f(x)]2-2f(x),即a≤e2x-2ex.令g(x)=e2x-2ex(0≤x≤1),则a≤g(x)max.因为0≤x≤1,所以1≤ex≤e,则当ex=e,即x=1时,g(x)max=e2-2e,即a≤e2-2e,故实数a的取值范围为(-∞,e2-2e].