数学高一上册undefined当堂检测题

[对应学生用书P124]

[对应学生用书P124]

一．求函数的定义域

求函数定义域的类型与方法

(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．

(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．

(3)复合函数问题：

①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；

②若f(g(x))的定义域为[a, b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．

提醒：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围．

[训练1]　函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为(　　)

A．　 B．

C．　 D．∪

D　[由题意得解得x<1，且x≠.]

[训练2]　已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(1－3x)的定义域为(　　)

A．　 B．

C．　 D．

C　[由－1≤x≤2，得－2≤x－1≤1，所以－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1.]

二．函数图象

1．若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．

2．若y＝f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线．三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．

[训练3]　已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为(　　)

A．3　 B．2　

C．1　 D．0

B　[由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f (g(2))＝f(1)＝2.]

[训练4]　已知函数f(x)＝方程f2(x)－bf(x)＝0，b∈(0, 1)，则方程的根的个数是(　　)

A．2　 B．3

C．4　 D．5

D　[因为f2(x)－bf(x)＝0，所以f(x)＝0或f(x)＝b，

作函数f(x)＝的图象如图，结合图象可知，

f(x)＝0有两个不同的根，f(x)＝b，(0<b<1)有三个不同的根，且5个根都不相同，故方程的根的个数是5.]

[训练5]　作出下面函数的图象．

y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．

解　y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，

当x＝1,3时，y＝0；

当x＝2时，y＝－1，

其图象如图所示：

三、函数性质及应用

函数单调性与奇偶性应用的常见题型

(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性．

(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间．

(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式．

(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．

提醒：判断函数的奇偶性时要特别注意定义域是否关于原点对称．

[训练6]　若函数f(x)＝x＋＋1为奇函数，则a＝________.

解析　若函数f(x)＝x＋＋1为奇函数，

则f(－x)＝－x－＋2a＋1＋1

＝－f(x)

＝－x－－(2a＋1)－1，

所以2(2a＋1)＋2＝0，则a＝－1.

答案　－1

[训练7]　已知定义在R上的函数f(x)是增函数，则满足f(x)＜f(2x－3)的x的取值范围是________．

解析　依题意得，不等式f(x)＜f(2x－3)等价于x＜2x－3，由此解得x＞3，即满足f(x)＜f(2x－3)的x的取值范围是(3，＋∞)．

答案　(3，＋∞)

[训练8]　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式．

解　∵f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.

当x＞0时，－x＜0，

∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)(1＋x)]＝x(1＋x)．

∴f(x)＝

[训练9]　函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数；

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)用单调性定义证明函数f(x)在(0,1)上是增函数．

(1)解　因为函数f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

故＝＝－，

所以b＝0，所以f(x)＝.

(2)证明　∀x1x2∈(0,1)，且x1＜x2，

则f(x2)－f(x1)＝－

＝

＝，

因为0<x1<x2<1，所以x2－x1>0,1－x1x2>0，

所以1＋x>0,1＋x>0，所以f(x2)－f(x1)>0，

即f(x2)＞f(x1)

所以f(x)在(0,1)上是增函数．

[对应学生用书P200]

1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是(　　)

A．y＝x＋1　 B．y＝－x2

C．y＝　 D．y＝x|x|

D　[函数y＝x＋1为非奇非偶函数；函数y＝－x2为偶函数；函数y＝和y＝x|x|是奇函数；但y＝是减函数．]

2．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，则(　　)

A．f(3)＜f(－2)＜f(1)

B．f(1)＜f(－2)＜f(3)

C．f(－2)＜f(1)＜f(3)

D．f(3)＜f(1)＜f(－2)

A　[f(x)为偶函数，故f(2)＝f(－2)．又由题意知，当x∈[0，＋∞)时，f(x)为减函数，且3＞2＞1，∴f(3)＜f(2)＜f(1)，即f(3)＜f(－2)＜f(1)．]

3．设偶函数f(x) 的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)

A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)

B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)

C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)

D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)

A　[∵f(x)为偶函数，且当x∈[0，＋∞)时f(x)为增函数，又∵f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，且2＜3＜π，

∴f(2)＜f(3)＜f(π)，即f(－2)＜f(－3)＜f(π)．]

4．已知f(x)在[a，b]上是奇函数，且f(x)在[a，b]上的最大值为m，则函数F(x)＝f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为(　　)

A．2m＋3　 B．2m＋6

C．6－2m　 D．6

D　[因为奇函数f(x)在[a，b]上的最大值为m，所以它在[a，b]上的最小值为－m.所以函数F(x)＝f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为m＋3＋(－m＋3)＝6.]

5．设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是________．

解析　∵f(x)是奇函数，∴g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝4.

答案　4

6．已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.

解析　因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝x＋.

答案　x＋

7．已知f(x)，g(x)均为奇函数，F(x)＝af(x)＋bg(x)－2，且F(－3)＝5，则F(3)的值为________．

解析　设G(x)＝af(x)＋bg(x)．

∵f(x)，g(x)为奇函数，

∴G(x)为奇函数．

∵F(－3)＝G(－3)－2＝5，

∴G(－3)＝7.

∴G(3)＝－G(－3)＝－7，

∴F(3)＝G(3)－2＝－7－2＝－9.

答案　－9

8．已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时， f(x)＝－x2＋2x＋2.

(1)求f(－1)；

(2)求f(x)的解析式；

(3)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间．

解　(1)由于函数f(x)是R上的奇函数，

所以对任意的x都有f(－x)＝－ f(x)，

所以f(－1)＝－f(1)＝－(－1＋2＋2)＝－3.

(2)设x<0，则－x>0，

于是f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2.

又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．

因此， f(x)＝x2＋2x－2.

又因为f(0)＝0，所以f(x)＝

(3)先画出y＝f(x)(x>0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图象，其图象如图所示．

由图可知，其增区间为[－1,0)和(0,1]，减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．

9．已知函数f(x)＝2x－(a＞0)．

(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；

(2)求证：函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．

证明　(1)函数f(x)＝2x－为奇函数．

证明如下：f(x)的定义域为{x|x≠0}，

f(－x)＝2(－x)－＝－2x＋＝－f(x)，

所以函数f(x)为奇函数．

(2)设x1＞x2＞0，

则f(x1)－f(x2)＝2x1－－

＝2(x1－x2)＋

＝2(x1－x2)＋

＝(x1－x2).

因为x1＞x2＞0，所以x1－x2＞0.

因为a＞0，所以2＋＞0.

所以(x1－x2)＞0.

所以f(x1)－f(x2)＞0.

即f(x1)＞f(x2)，

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．