鲁科版（新教材）2022版高考一轮复习第2章相互作用第3讲受力分析和共点力平衡（物理 学案）

第3讲　受力分析和共点力平衡

一、受力分析

把指定物体(研究对象)在特定的物理环境中受到的所有外力都找出来，并画出受力示意图，这个过程就是受力分析。

二、共点力平衡

1．平衡状态

(1)静止：物体的速度和加速度都等于0的状态。

(2)匀速直线运动：物体的加速度为0、速度不为0的状态。

2．平衡条件

(1)物体所受合外力为0，即F合＝0。

(2)若采用正交分解法，平衡条件表达式为Fx＝0，Fy＝0。

考点1　受力分析(基础考点)

1．如图所示，两梯形木块A、B叠放在水平地面上，A、B之间的接触面倾斜。A的左侧靠在光滑的竖直墙面上，关于两木块的受力，下列说法正确的是(　　)

A．A、B之间一定存在摩擦力作用

B．木块A可能受三个力作用

C．木块A一定受四个力作用

D．木块B一定受到地面向右的摩擦力

B　解析：如果A受到重力、墙面对它的弹力和B对它的支持力，这三个力恰好平衡，则A、B之间没有摩擦力，故A、C错误，B正确；以A、B整体为研究对象，同理可得D错误。

2．如图所示，a、b两个质量相同的球用细线连接，a球用细线挂在天花板上，b球放在光滑斜面上，系统保持静止，以下图示正确的是(　　)

A　　　　　B　　　　 　C　　　　　D

B　解析：对b球进行受力分析，受重力、垂直斜面向上的支持力和细线的拉力，由于三力平衡时三个力中任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故细线的拉力斜向右上方，故A图错误；再对a、b两个球整体进行受力分析，受重力、垂直斜面向上的支持力和上面细线的拉力，再次根据共点力平衡条件判断，上面细线的拉力方向应斜向右上方，故C、D图错误，B图正确。

3．(2020·浙江高考)矢量发动机是喷口可向不同方向偏转以产生不同方向推力的一种发动机。当歼—20隐形战斗机以速度v斜向上飞行时，其矢量发动机的喷口如图所示。已知飞机受到重力G、发动机推力F1、与速度方向垂直的升力F2和与速度方向相反的空气阻力f。下列受力分析示意图可能正确的是(　　)

A　解析：由题意可知飞机所受重力G竖直向下，空气阻力f与速度方向相反，升力F2与速度方向垂直，发动机推力F1的方向沿喷口的反方向，对比图中选项可知只有A选项符合题意。

1．受力分析的基本方法

2．受力分析的四个步骤

考点2　共点力平衡问题(能力考点)

考向1　共点力作用下物体平衡的分析方法

典例　如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为N，OP与水平方向的夹角为θ。下列关系正确的是(　　)

A．F＝ B．F＝mgtan θ

C．N＝ D．N＝mgtan θ

【自主解答】

A　解析：方法一：合成法

小滑块的受力如图甲所示，由平衡条件知 ＝tan θ，＝sin θ，解得F＝，N＝。

    甲　　　　　　　乙

方法二：按力的作用效果分解法

将小滑块的重力按产生的作用效果分解，如图乙所示，则F＝G2＝，N＝G1＝。

方法三：正交分解法

将小滑块受到的力沿水平、竖直方向分解，如图丙所示，则mg＝Nsin θ，F＝Ncos θ，联立解得 F＝，N＝。

     丙　　　　　　　丁

方法四：力的三角形法

如图丁所示，小滑块受到的三个力组成封闭三角形，解直角三角形得F＝，N＝，故A正确。

【技法总结】

解决共点力平衡问题的方法与技巧

(1)解决共点力平衡问题的四种常用方法

(2)处理共点力平衡问题的三个技巧

①物体受三个力的作用平衡时，利用力的作用效果分解法或合成法比较简单。

②物体受四个以上的力作用时，一般要采用正交分解法。

③建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合，使需要分解的力尽可能少。

考向2　对称法解决非共面力问题

典例　如图所示，一半圆形降落伞边缘的24根伞绳中心对称分布，下端悬挂一名飞行员，每根绳与中轴线的夹角为30°，飞行员及飞行员身上装备的总质量为80 kg，降落伞的质量为40 kg。当匀速降落时，不计飞行员所受的空气作用力，每根绳上的拉力是(g取10 m/s2)(　　)

A．50 N  B． N  C． N  D． N

【自主解答】

C　解析：把绳的拉力正交分解为竖直向上和水平方向，竖直方向的分力为Fy＝Fcos 30°＝F，以飞行员为研究对象，由平衡条件知，24Fy＝mg，解得F＝ N，故C正确。

【技法总结】

对称法解决非共面力问题

当物体受多个非共面力作用处于平衡状态时，可根据实物图形结构的对称性特点，将结构的对称性转化为物体受力的对称性，再利用常规力的合成与分解方法求解。

考向3　整体法与隔离法解决多物体平衡问题

典例　如图所示，倾角θ＝30°的光滑斜面上固定一竖直光滑挡板P，质量相同的横截面为直角三角形的两物块A、B叠放在斜面与挡板之间，且A与B间的接触面水平，则A对B的压力与B对斜面的压力之比为(　　)

A．2∶1    B．∶2 　 C．∶1 　 D．∶4

【自主解答】

D　解析：设A、B的质量都为m，A处于静止状态，对A进行受力分析可知，B对A的支持力等于A的重力，结合牛顿第三定律可知，A对B的压力N＝mg；把A、B看成一个整体，对整体进行受力分析可知，整体受到重力2mg、斜面的支持力N1、挡板的压力N2，根据平衡条件得cos 30°＝，解得N1＝mg，则由牛顿第三定律得B对斜面的压力N′1＝N1＝mg，则 ＝。故选D。

【技法总结】

整体法和隔离法的使用技巧

(1)当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法。

(2)当分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时，常用隔离法。

(3)整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂的问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法。

1．如图所示，置于水平地面的三脚架上固定一质量为m的照相机，三脚架的三根轻质支架等长，且与竖直方向均成30°角，则每根支架承受的压力大小为(　　)

A．mg  B．mg  C．mg  D．mg

D　解析：题中每根支架对照相机的作用力F沿每根支架向上，这三个力的合力等于照相机的重力，所以有3Fcos 30°＝mg，解得F＝＝mg，故D正确。

2．如图所示，一条不可伸长的轻质细绳一端跨过光滑钉子b，悬挂一质量为m1的重物，另一端与另一轻质细绳相连于c点，ac＝，c点悬挂一质量为m2的重物，平衡时ac正好水平，此时质量为m1的重物上表面正好与ac在同一水平线上且到b的距离为l，到a点的距离为 l，则两重物质量的比值  为(　　)

A．  B．2  C．  D．

C　解析：方法一：合成法

因c点处于平衡状态，所以任意两个力的合力均与第三个力大小相等、方向相反，如图甲所示，根据平行四边形定则将力F与F1合成，则sin θ＝，又由几何知识知 sin θ＝＝，所以 ＝，选项C正确。

甲　　　　　乙　　　　　　丙

方法二：分解法　

因c点处于平衡状态，所以可在F、F1方向上分解F2，如图乙所示，则有sin θ＝，同样可得 ＝，选项C正确。

方法三：正交分解法　

将倾斜绳的拉力F1＝m1g沿竖直方向和水平方向分解，如图丙所示，则m1gsin θ＝m2g，同样可得 ＝，选项C正确。

3．如图所示，两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、B连接，在水平外力F的作用下，系统处于静止状态，弹簧实际长度相等。弹簧A、B的劲度系数分别为kA、kB，且原长相等。弹簧A、B与竖直方向的夹角分别为θ与45°。设A、B中的拉力分别为FA、FB。小球直径相比弹簧长度可以忽略不计。则(　　)

A．tan θ＝ B．kA＝kB

C．FA＝mg  　 D．FB＝2mg

A　解析：对下面的小球进行受力分析，如图甲所示。

根据平衡条件得F＝mgtan 45°＝mg，FB＝＝mg。对两个小球整体进行受力分析，如图乙所示。根据平衡条件得tan θ＝，又F＝mg，解得tan θ＝，FA＝＝mg，由题可知两弹簧的形变量相等，则有x＝＝，解得 ＝＝。综上所述，A正确，B、C、D错误。

考点3　分析动态平衡问题的四种方法(能力考点)

考向1　解析法

典例　如图所示，粗糙水平面上放有一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直挡板间放有一光滑圆球B，整个装置处于静止状态。现将挡板水平向右缓慢平移，A始终保持静止。则在B着地前的过程中(　　)

A．挡板对B的弹力减小

B．地面对A的摩擦力增大

C．A对B的弹力减小

D．地面对A的弹力增大

【自主解答】

B　解析：先对B受力分析，受重力mg、A对B的支持力N1和挡板对B的支持力N2，设A对B的支持力N1与竖直方向的夹角为θ，如图所示。根据共点力平衡条件有N1＝，N2＝mgtan θ；再对A、B整体受力分析，受重力 (M＋m)g、地面的支持力N、挡板对其向左的支持力N2和地面对其向右的静摩擦力f，根据共点力平衡条件有f＝ N2，N＝(M＋m)g，故f＝mgtan θ；挡板保持竖直且缓慢向右移动的过程中，角θ不断增大，故f变大，N不变，N1变大，N2变大。故B正确。

【技法总结】

1．动态平衡

通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。

2．基本思路

化“动”为“静”，“静”中求“动”。

3．解析法

对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列平衡方程。由方程分析力与夹角的关系，然后判断各力大小、方向的变化趋势。

考向2　图解法

典例　如图所示，用OA、OB两根轻绳将物体悬于两竖直墙之间，开始时OB绳水平。现保持O点位置不变，改变OB绳长使绳末端由B点缓慢上移至B′点，此时OB′与OA之间的夹角θ<90°。设此过程中OA、OB两绳的拉力分别为FOA、FOB，下列说法正确的是(　　)

A．FOA逐渐增大 B．FOA逐渐减小

C．FOB逐渐增大  　　D．FOB逐渐减小

本题运用图解法研究动态平衡问题，也可以根据几何知识得到两绳垂直时，轻绳OB的拉力最小来判断。

【自主解答】

B　解析：以结点O为研究对象，进行受力分析，如图所示，根据平衡条件知，两根轻绳的拉力的合力与物体的重力大小相等、方向相反，作出OB绳在两个位置时力的合成图如图所示，由图可以看出，FOA逐渐减小，FOB先减小后增大，当θ＝90°时，FOB最小，故选项B正确。

【技法总结】

1．图解法

此法常用于求解三力平衡中有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。

2．分析过程

3．规律

当第三个力与第二个力垂直时，第三个力最小。

考向3　相似三角形法

典例　如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前(　　)

A．BC绳中的拉力T越来越大

B．BC绳中的拉力T越来越小

C．AC杆中的支撑力N越来越大

D．AC杆中的支撑力N越来越小

【自主解答】

B　解析：作出C点的受力示意图，如图所示，

由图可知力的矢量三角形与几何三角形ABC相似。根据相似三角形的性质得 ＝＝，解得BC绳中的拉力T＝G，AC杆中的支撑力N＝G。由于重物P被向上拉时，AB、AC保持不变，BC变小，故T减小，N不变。选项B正确。

【技法总结】

相似三角形法

在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。

考向4　辅助圆法

典例　(多选)如图所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为 α 。 现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　)

A．MN上的张力逐渐增大

B．MN上的张力先增大后减小

C．OM上的张力逐渐增大

D．OM上的张力先增大后减小

【自主解答】

AD　解析：以重物为研究对象，它受三个力，即重力mg、轻绳OM段的拉力FO、NM段的拉力FN的作用，处于平衡状态。考虑到力mg不变，FO与FN间的夹角不变，当FO由竖直向上变为水平向左时，作出如图所示的力的矢量图，由图可知FN一直变大，FO先增大后减小。故A、D正确。

【技法总结】

辅助圆法

(1)适用情况

物体所受的三个力中，一个力的大小、方向不变，另两个力的大小、方向都在改变，但变化的两个力的夹角不变。

(2)方法

画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。作闭合三角形的外接圆为辅助圆，在辅助圆中可容易画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。

1．(2019·全国卷Ⅰ)(多选)如图所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块P，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动P，直至悬挂P的细绳与竖直方向成45°角。已知M始终保持静止，则在此过程中(　　)

A．水平拉力的大小可能保持不变

B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加

C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加

D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加

BD　解析：如图甲所示，以物块P为研究对象，它在水平向左拉力F的作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方向间的夹角为45°的过程中，水平拉力F逐渐增大，细绳的拉力T逐渐增大。

甲　　　　　乙

如图乙所示，对物块M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，则随着细绳拉力T的增大，则摩擦力f也逐渐增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，则随着细绳拉力T的增大，摩擦力f可能先减小后增大。故本题选B、D。

2．如图所示，与水平方向成θ角的推力F作用在物块上，随着θ逐渐减小直到为0的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动。关于物块受到的外力，下列判断正确的是(　　)

A．推力F先增大后减小

B．推力F一直减小

C．物块受到的摩擦力先减小后增大

D．物块受到的摩擦力一直不变

B　解析：对物块进行受力分析，建立如图所示的坐标系。由平衡条件得Fcos θ－f＝0，N－(mg＋Fsin θ)＝0，又f＝μN，联立可得F＝，可见，

当θ减小时，F一直减小；由摩擦力f＝μN＝μ(mg＋Fsin θ)可知，当θ、F减小时，f一直减小。综上分析可知，B正确，A、C、D错误。

3．(多选)如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬于O点，A球固定在O点正下方，当小球B平衡时，细绳所受的拉力为T1，弹簧的弹力为F1；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时细绳所受的拉力为T2，弹簧的弹力为F2，则下列关于T1与T2、F1与F2大小之间的关系正确的是(　　)

A．T1>T2  B．T1＝T2   C．F1<F2  　　D．F1＝F2

BC　解析：以小球B为研究对象，分析受力情况，如图所示。

由平衡条件可知，弹簧的弹力F和细绳的拉力T的合力F合与重力mg大小相等、方向相反，即F合＝mg，由三角形相似得 ＝＝。当弹簧劲度系数变大时，弹簧的压缩量减小，故AB长度增大，而OB、OA的长度不变，故T1＝T2，F2>F1。故A、D错误，B、C正确。

考点4　平衡中的临界和极值问题(能力考点)

考向1　平衡中的临界问题

典例　如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时，物体恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：

(1)物体与斜面间的动摩擦因数；

(2)这一临界角θ0的大小。

【自主解答】

解析：(1)物体沿斜面匀速下滑时，对物体进行受力分析，由平衡条件得

mgsin 30°＝μmgcos 30°

解得μ＝tan 30°＝。

(2)设斜面倾角为α时，物体的受力情况如图所示。

由平衡条件得

Fcos α＝mgsin α＋f

N＝mgcos α＋Fsin α

又f＝μN

解得F＝

当cos α－μsin α＝0，即tan α＝ 时，F→∞，即不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，此时，临界角θ0＝α＝60°。

答案：(1)　(2)60°

【技法总结】

平衡中的临界问题

(1)定义

当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量发生变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。

(2)常见的临界状态

①两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)；

②绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值，绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为0；

③存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。

(3)解题方法

求解平衡中的临界问题时一般采用极限分析法。极限分析法是一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(“极大”“极小”“极右”“极左”等)，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解。

考向2　平衡中的极值问题

典例　(2021·大同模拟)课堂上，老师准备了“L”形光滑木板和三个完全相同、外表面光滑的匀质圆柱形积木，要将三个积木按如图所示(截面图)方式堆放在木板上，则木板与水平面间的夹角θ的最大值为(　　)

A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．90°

【自主解答】

A　解析：θ取0°时，下面两圆柱之间将会分开，无法稳定，应适当增大θ以保持系统稳定，此时下面两圆柱之间有弹力；当下面两圆柱之间的弹力恰好为0时，对应的θ为最小值；继续增大θ，右圆柱和上圆柱之间的弹力减小，若θ太大，此两圆柱将分开，当上圆柱和右圆柱之间的弹力恰好为0时，对应的θ为最大值。临界情况为θmax时，左边两圆柱的圆心连线在竖直方向上，保证上圆柱只受到两个力的作用恰好处于平衡状态，此时上圆柱与右圆柱间相互接触且无弹力，可得θmax＝30°，故A正确，B、C、D项错误。

【技法总结】

平衡中的极值问题

(1)定义

平衡物体的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。

(2)解题方法

①物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。

②数学方法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。注意利用数学方法求出极值后，一定要根据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论或说明。

1．如图所示，重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳连接后悬挂在O点，O、B间的轻绳长度是2l，A、B间的轻绳长度是l。将一拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直，同时O、A间和A、B间的两段轻绳分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为(　　)

A．G　　B．G　　C．G　　D．G

A　解析：对小球A进行受力分析可知，因O、A间轻绳竖直，则A、B间轻绳上的拉力为0。对小球B进行受力分析，如图所示，则可知当F与O、B间轻绳垂直时，F最小，Fmin＝Gsin θ，其中sin θ＝＝，则Fmin＝G，故选项A正确。

2．拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图所示)。设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。

(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小；

(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动，求这一临界角的正切值tan θ0。

解析：(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把，将推拖把的力沿竖直方向和水平方向分解，如图所示，由平衡条件得

Fcos θ＋mg－N＝0 ①

Fsin θ－f＝0 ②

式中的N和f分别为地板对拖把的支持力和摩擦力，则

f＝μN ③

联立①②③式得F＝。 ④

(2)使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力等于拖把与地板间的最大静摩擦力，设为fm，则依题意有

＝λ ⑤

若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应满足

Fcos θ＋mg＝N ⑥

Fsin θ≤fm ⑦

联立⑤⑥⑦式得F(sin θ－λcos θ)≤λmg

因为λmg总是大于0，要使得F为任意值时上式总是成立，只要满足

sin θ－λcos θ≤0

即有tan θ≤λ

上式取等号即为临界状态，即tan θ0＝λ。

答案：(1)　(2)λ