2021新高考 数学通关秘籍 专题07 函数的奇偶性、对称性、周期性 同步练习

专题07  函数的奇偶性、对称性、周期性

【方法点拨】

1.函数奇偶性、对称性间关系：

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线对称．

(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称．

2. 函数对称性、周期性间关系：

若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．

(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y＝sinx，y＝cosx的对称轴、对称中心和周期之间的关系)

3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化.

【典型题示例】

例1    (2019·江苏启东联考)已知函数f (x)对任意的x∈R，都有f ＝f ，函数f (x＋1)是奇函数，当－≤x≤时，f (x)＝2x，则方程f (x)＝－在区间[－3,5]内的所有根之和为________.

【答案】4

【分析】由f ＝f 对任意的x∈R恒成立，得f (x)关于直线x＝对称，由函数

f (x＋1)是奇函数，f (x)关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x)的周期为2，作出函数f (x)的图象即可.

【解析】因为函数f (x＋1)是奇函数，所以f (－x＋1)＝－f (x＋1)，又因为f ＝ f ，所以f (1－x)＝f (x)，所以f (x＋1)＝－f (x)，即f (x＋2)＝－f (x＋1)＝f (x)， 所以 函数f (x)的周期为2，且图象关于直线x＝对称．作出函数f (x)的图象如图所示，

由图象可得f (x)＝－在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为×2×4＝4.

例2    已知是定义域为的奇函数，满足．若，则

A．    B．0    C．2    D．50

【答案】C

【分析】同例1得f (x)的周期为4，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f (5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48)，而f (1)＝2，f (2)＝f (0)＝0（f(1－x)＝f(1＋x)中，取x＝1）、f (3)＝f (－1) ＝－f (1)＝－2、f (4)＝f (0)＝0，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f (5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48) ＝0，所以f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋···＋f (50) ＝f (47) ＋f (48) ＝f (1) ＋f (2) ＝2.

例3    已知函数是上的奇函数，对任意，都有（2）成立，当，，，且时，都有，则下列结论正确的有　　

A．（1）（2）（3） 

B．直线是函数图象的一条对称轴 

C．函数在，上有5个零点 

D．函数在，上为减函数

【分析】根据题意，利用特殊值法求出（2）的值，进而分析可得是函数的一条对称轴，函数是周期为4的周期函数和在区间，上为增函数，据此分析选项即可得答案．

【解答】解：根据题意，函数是上的奇函数，则；

对任意，都有（2）成立，当时，有（2），则有（2），

则有，即是函数的一条对称轴；

又由为奇函数，则，变形可得，则有，

故函数是周期为4的周期函数，

当，，，且时，都有，则函数在区间，上为增函数，

又由是上的奇函数，则在区间，上为增函数；

据此分析选项：

对于，，则（1）（2）（3）（4）（1）（3） （2）（4），

（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4） （1）（2）（3）（2），正确；

对于，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则 是函数的一条对称轴，

又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，正确；

对于，函数在，上有7个零点：分别为，，，0，2，4，6；错误；

对于，在区间，上为增函数且其周期为4，函数在，上为增函数，

又由为函数图象的一条对称轴，则函数在，上为减函数， 正确；

故选：．

【巩固训练】

1．已知函数关于对称,则的解集为_____.

2．已知定义在上的函数满足，且的图象与的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________.

3.已知函数满足，且时，，则（    ）

A．0 B．1 C． D．

4.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则   8

5. （多选题）已知是定义域为的奇函数，且函数为偶函数，下列结论正确的是（          ）

A．函数的图象关于直线对称      B．（4） 

C．                              D．若，则

6．（多选题）函数的定义域为，且与都为偶函数，则　　

A．为偶函数 B．为偶函数 

C．为奇函数 D．为同期函数

7.若定义在R上的函数满足，是奇函数，现给出下列4个论断：

①是周期为4的周期函数；②的图象关于点对称；

③是偶函数；            ④的图象经过点；

其中正确论断的个数是______________.

【答案或提示】

1．【答案】

【解析】∵函数关于对称,∴,

则由,结合图象可得,求得.

2．【答案】8

【解析】，故，即的图象关于点对称，又函数满足，则函数的图象关于点对称，所以四个交点的横纵坐标之和为8.

3.【答案】D

【解析】因为，

所以

.

4.【答案】－8

5.【答案】

6．【答案】

7.【答案】3

【解析】命题①：由，得：，

所以函数的周期为4，故①正确；

命题②：由是奇函数，知的图象关于原点对称，

所以函数的图象关于点对称，故②正确；

命题③：由是奇函数，得：，

又，

所以，

所以函数是偶函数，故③正确；

命题④：，

无法判断其值，故④错误.综上，正确论断的序号是：①②③.