2021新高考 数学通关秘籍 专题03 二元不等式恒成立问题 同步练习

专题03  二元不等式恒成立问题

【方法点拨】

1.对于“双参求一参数范围问题”宜采取变更主元法，如例1、例2，此类题目的特征是：含有双参数而问题是求其中一个参数的取值范围，只需将另一参数视为“主元”，求出最值即可.

2.对于“或求有关的代数式取值范围”型，利用几何意义，转化为比较零点来处理.

【典型题示例】

例1  （2020·海安中学3月线上测试·14）若关于x的不等式x3﹣3x2+ax+b＜0对任意的实数x∈[1，3]及任意的实数b∈[2，4]恒成立，则实数a的取值范围是　   　．

【答案】（﹣∞，﹣2）

【分析】本题的特征是，较一般的不等式恒成立问题，增加了一个变量，一般是关于该变量的“一次式”，其解法是：变更主元，先看作“一次变量”的恒成立问题即可.

【解析】先视为以b为主元的函数，设f(b)= b+ (x3﹣3x2+ax)

      则f(b)为关于b的一次函数，在b∈[2，4]上增，为使f(b) ＜0恒成立

      只需f(4) ＜0，即x3﹣3x2+ax+4＜0

再考虑x3﹣3x2+ax+4＜0在x∈[1，3]恒成立

分离参数可得：a＜3x﹣x2，

设g（x）＝3x﹣x2，x∈[1，3]，故a＜g（x）的最小值

由g′（x）＝3﹣2x，可得1＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增；2＜x＜3时，

g′（x）＜0，g（x）递减，

又g（1）＝﹣2，g（3），可得g（x）在[1，3]的最小值为﹣2，

∴a＜﹣2，故实数 a的范围是（﹣∞，﹣2）．

例2   已知函数，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】

【解析】由在恒成立，

整理得对任意恒成立，

所以应有恒成立，

即对恒成立．

设，

则，

令，得或，列表如下：

，

所以在的最小值为，又，

，

所以实数的取值范围是．

例3  （2018·江苏南京最后一卷·14）已知a，b∈R，若关于x的不等式lnx≤a(x－2)＋b对一切正实数x恒成立，则当a＋b取最小值时，b的值为          ．

【答案】ln3－．

【分析】在平面直角坐标系xOy中，分别作出y＝lnx及y＝a(x－2)＋b的图象，不等式lnx≤a(x－2)＋b对一切正实数x恒成立，即直线y＝a(x－2)＋b恒在曲线y＝lnx的上方．a＋b最小，即直线y＝a(x－2)＋b与x＝3交点的纵坐标最小．根据图象可知：a＋b的最小值为ln3，此时直线y＝a(x－2)＋b与曲线y＝lnx相切于点(3，ln3)，因此有：a＝，从而b＝ln3－．

例4   已知，若恒成立，则的取值范围是　   　．

【答案】

【分析】所求，为了出现，将变形为，此时的几何意义是直线在x轴上的截距即函数的零点，根据图象可知，当时，曲线在任意一点的切线的零点都不小于曲线的零点，即，所以，的取值范围是．

点评：

对于或型恒成立，求有关的代数式取值范围问题的解题步骤是：

①     判断函数的凸凹性（当时，函数为凹函数；当时，函数为凸函数），从而得出因凸凹的不同，切线在曲线的上下的不同；

②     凑配条件中的参数系数，求曲线和切线的零点，比较零点的大小即可.

例5   若恒成立，则的取值范围是　   　．

【答案】

【分析】取对数，化双曲为“一直一曲”，解法同例3.

【解析】对两边取自然对数得

故，

所以的取值范围是．

【巩固训练】

1. 若不等式，对任意，恒成立，则实数的取值范围为___________.

2.设函数，其中．若对于任意的，不等式在上恒成立，则的取值范围为___________.

3. （2020·江苏天一中学·12月考）设、均为实数，已知函数，若不等式对任意的及任意的恒成立，求的取值范围；

4. 已知，若恒成立，则的取值范围是　   　．

5. 已知直线与曲线相切，则的最小值是（     ）

A.             B.        C.             D.

6. 若不等式对于任意恒成立，则的最大值是（     ）

A.         B.      C.           D.

【答案或提示】

1.【答案】

2.【答案】．

3.【分析】变更主元、分离参数，可得对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出的范围，

【解析】由，得，由于，

所以对任意的及任意的恒成立．

由于，所以，所以对任意的恒成立．

设，，则，

所以函数在， 上单调递减，在 2，上单调递增，

所以2，

所以2．

4.【答案】

【提示】如图中，同例3，易得.

5.【答案】C

6.【答案】C

【提示】将变形为即可.