2021新高考 数学通关秘籍 专题14 利用函数同构解题 同步练习

专题14  利用函数同构解题

【方法点拨】

1.一个方程中出现两个变量,适当变形后,使得两边结构相同;或不等式两边式子也可适当变形,使其两边结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性把方程或不等式化简.

2.为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：、、、、、，有时也需要对两边同时加、乘某式等.

3.常见同构式:

与型：，；与型：，.

【典型题示例】

例1    （2020·新课标卷Ⅱ文数·12）若，则（    ）

A． B．  C．    D．

【答案】A

【分析】将已知按照“左右形式形式相当，一边一个变量”的目的变形，然后逆用函数的单调性.

【解析】由移项变形为

设

易知是定义在R上的增函数，故由，可得，所以 从而，故选A．

例2    （2020·山东·21）已知函数，若，求的取值范围.

【解析】将按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形：

由移项得：

即，两边同时加（）得

即

设，则，所以单增

所以，即

设，则，所以在单减，在单增，

所以，所以.

点评：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．

例3   已知函数，，则t的取值范围是       ．

【答案】

【分析】这里 可以发现,将移项变形为，易知是奇函数，，故进一步变形为，此时,得到一个“左右形式相当，一边一个变量”的不等式，令，问题转化为，只需研究的单调性，逆用该函数的单调性即可.

【解析】∵

    ∴可变形为：

   ∵是奇函数  

∴

∴

令，则

∴单增
∴，即，解之得

   所以t的取值范围是．

例4   已知实数，满足，，则______.

【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解.

解法一：实数，满足，，

，，则，

，

所以在单调递增，而，

.

解析二：对两边取自然对数得：，

对两边取自然对数得：    （※）

为使两式结构相同，将（※）进一步变形为：

设，则

所以在单调递增，的解只有一个.

∴， ∴

点评:两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解.

【巩固训练】

1.如果，，则的取值范围是______________.

2.不等式的解集是______________.

3.已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为         ．

4.已知实数a，b(0，2)，且满足，则a＋b的值为_______．

5. （2020·新课标Ⅰ理数·12）若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6.设方程的根为，设方程的根为，则=           .

7.已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b的值是          .

8.不等式的解集是        .

9. 若满足方程，满足方程，则=           .

【答案或提示】

1.【答案】

2.【解析】原不等式可化为：

构造函数，则，在上单增

所以，解之得

所以原不等式解集是.

3.【答案】

【分析】本题的实质是含参数（这里当然是sin、cos）的不等式恒成立问题，应抓住已知条件的对称结构，构造函数，利用函数的单调性布列不等式.

【解析】看到想“对称结构”，将它变形为：

，

设，

易知当时，，故在单减，

所以，解之得：

所以的取值范围．

4.【答案】2

【分析】将化为：，设，则在上递增，由，得a＋b的值.

【解析】由，化简为：，即，

设，则在上递增，因为a，b(0，2)，所以2-b(0，2)，

且，所以，即.

5.【答案】B

【分析】∵

∴

设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.

【解析】∵

∴，故

设，则为增函数，

所以，所以.

，

当时，，此时，有

当时，，此时，有，所以C、D错误.

故选B.

点评:本题需构造函数，其基本策略是：“左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当”，我们称之为“同构函数”，然后再利用函数的单调性求值.

6.【答案】4

7.【解析】由题意知a3－3a2＋5a－3＝－2，b3－3b2＋5b－3＝2，

设f (x)＝x3－3x2＋5x－3，则f (a)＝－2，f (b)＝2.

因为f (x)图象的对称中心为(1,0)，所以a＋b＝2.

点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数f (x)y＝ax3＋bx2＋cx＋d其对称中心为(x0，f (x0))，其中f ″(x0)＝0.

8.【分析】直接解显然是不对路的.观察不等式的特征，发现其含有两个因式，将不等式转化为“一边一个变量”的形式为：，构造函数，题目转化为求解的问题. 因为，易知恒成立，故为上的单调增函数，所以由立得：，解之得.

9.【答案】