2021新高考 数学通关秘籍 专题27 根与系数关系的非对称运用 同步练习

专题27  根与系数关系的非对称运用

【方法点拨】

在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理、、之类的“对称结构”，但有时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求、之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了.特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去 x 或 y ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，可采用反过来应用韦达定理，会有较好的作用.

【典型题示例】

例1    已知圆，定点，为圆上动点，点在上，点在上，且满足,,点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过定点的直线交曲线于不同的两点、（点在点、之间），且满足,求的取值范围.

【分析】求的取值范围，突破口在于将转化为，可以直接用向量转化，也可以用三角相似转化.下一步关键在于如何将和联系，处理策略是，这样就建立了和联系，再利用的取值范围就能求出的范围.

【解析】（1）∵,.∴为的垂直平分线，∴

又∵,∴∴动点的轨迹是以点，为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为，焦距.∴曲线的方程.

（3）当直线斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程，得，由得.设，

（1），（2）

∵,∴，

∵∴

又当直线斜率不存在方程，∴.

例2   函数在处有极值，且，求a的取值范围.

【答案】

【解析】令，则有，

令，则（），得，，

所以，即，因为，解得.

点评：像这种非对称的结构，我们可以通过配凑成正常的韦达定理处理结构来. ，得，，所以.

【巩固练习】

1. 设直线l过点P（0，3），和椭圆顺次交于 A、B两点，则的取值范围为         .

2.椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．

(I)当|CD |= 时，求直线的方程；

(II)当点P异于A、B两点时，求证： 为定值.

3.椭圆的左右顶点分别为A、B，过椭圆的右焦点F的直线l交椭圆交于 P、Q两点，设直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2.证明：为定值.

4. 已知A、B分别是椭圆的右、上顶点，CD∥AB，C、D 在椭圆上，设直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2.证明：为定值.

5.已知椭圆，M、N分别是上、下顶点，过点P（0,1）的直线l交椭圆于A、B两点（异于M、N），直线AM、BN交于点T.求证：点T的纵坐标为定值.

【答案或提示】

1.【答案】

【解析】设直线l的方程为：y = kx+ 3，代入椭圆方程，消去y得（9k2+4）x2+54kx+45=0（*）

则，

注 意 到，设，则，

所 以，，

所以，即 .

在（*）中，由判别式，可得，

从而有，所以，解得.

结合 ，得.

综上，.

点评：

经常出现在圆锥曲线的题型为：过点Q的直线与圆锥曲线交于不同的两点 , A 、B ，且满足之类的，或者是之类的.其中，用坐标表示出来后，就可以选择一个较简单的式子来转化到韦达定理；我们可以设他们的比值为，这样可以转化到，再用同样的办法来解决.

2.【答案】(I) 或 ；(II)略.

【解析】（Ⅰ）因椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为，

由已知得，，所以，则椭圆方程为．

直线垂直于x轴时与题意不符．

设直线的方程为，联立得，

设，，则，，，

．

由已知得，解得，

所以直线的方程为或．

（Ⅱ）直线垂直于x轴时与题意不符．

设直线的方程为（且），所以P点的坐标为．

设，，由（Ⅰ）知，，

直线AC的方程为：，直线BD的方程为：，

方法一：

联立方程设，解得，

不妨设，则

，

因此Q点的坐标为，又，∴．

故为定值．

方法二：

联立方程消去y得

，（x1 、x2的系数出现了不对称）

又，，，

代入上式可得，

即，解得．

因此Q点的坐标为，又，∴．

故为定值．

3.【证明】令直线PQ的方程是，，

则由，得

则，（♯）

又，

所以（*）

由（♯）得，代入（*）得：

.

4.【答案】

证明：令直线CD的方程是，，

则由，得

所以

.

5.【答案】3

【证明】设直线l的方程是，，

则由，得

所以，所以

又因为，

所以

故

.