2021新高考 数学通关秘籍 专题11 构造形求最值类问题 同步练习

专题11  构造形求最值类问题

【方法点拨】

一般地，对于以下结构的问题需要注意其式子的几何意义：

(1)表示两点间的距离或向量的模；

(2)k＝表示过点(a，b)与(x，y)的直线的斜率；

(3)Ax＋By与直线Ax＋By＋C＝0的截距有关；

(4)P(cosθ，sinθ)表示单位圆x2＋y2＝1上的任意一点；

(5)a2±ab＋b2与余弦定理有关，在解题过程中可以利用这些式子的几何意义构造一些特殊的函数.

【典型题示例】

例1  (2021·江苏南京六校联合体期初)（多选题）已知，，记M＝，则（        ）

   A．M的最小值为                   B．当M最小时，

   C．M的最小值为                   D．当M最小时，

【答案】AB

【分析】看到所求式子的结构特征，立即联想“距离公式”，运用“形”知M的几何意义，为函数图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方，再使用导数知识，转化为与直线平行的切线间距离.

【解析】由，得，

的最小值可转化为函数图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方，

由得，

因为与直线平行的直线斜率为，

所以，解得，则切点坐标为，

所以到直线上的距离

，

即函数上的点到直线上的点的距离最小值为，

所以的最小值为，

又过且与垂直的直线为，即，

联立，解得，

即当最小时，．

故选：AB．

例2   已知不等式(m－n)2＋(m－lnn＋λ)2≥2对任意m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立，则实数λ的取值范围为________．

【答案】[1，＋∞)

【分析】由于条件“(m－n)2＋(m－lnn＋λ)2≥2”中平方和的特征，可联想到两点(m，m＋λ)，(n，lnn)的距离公式，而点(m，m＋λ)，(n，lnn)分别是直线y＝x＋λ和曲线f(x)＝lnx上动点，故可转化为直线y＝x＋λ和曲线f(x)＝lnx上点之间的距离大于等于.

【解析】条件“不等式(m－n)2＋(m－lnn＋λ)2≥2对任意m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立”可看作“直线y＝x＋λ以及曲线f(x)＝lnx上点之间的距离恒大于等于”．

如图，当与直线y＝x＋λ平行的直线与曲线f(x)＝lnx相切时，两平行线间的距离最短，f′(x)＝＝1，故切点A(1,0)，此切点到直线y＝x＋λ的距离为≥，解得λ≥1或λ≤－3(舍去，此时直线与曲线相交)．

例3    已知对于一切x，y∈R，不等式恒成立，则实数a的取值范围是          ．

答案：     

解析：

左边的几何意义是动点与动点的距离平方.

例4  （2020·衡水中学上学期期中）设，其中，则的最小值是__________.

答案：

解析: 的几何意义是：曲线上点与曲线上点的距离与点到轴的距离和再加2，而点到轴的距离利用抛物线的定义，可转化为点到抛物线（第一象限部分）的焦点F（1,0）的距离减去1，故所求即为F到曲线上点距离的最小值再加1，利用导数知识易求得.

【巩固训练】

1.已知，若实数、满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

2.已知a－ln b＝0，c－d＝1，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值是(　　)

A．1   B.

C．2  D．2

3.已知函数，若直线，是函数图象的两条平行的切线，则直线，之间的距离的最大值是_____．

4.设点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则线段PQ长度的最小值为_________．

5. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线y＝(m＞0)在x＝1处的切线为l，那么点(2，－1)到直线l的距离的最大值为________．

6.若实数、、、满足，则的最小值为             .

7.已知函数，若，且，则的最小值是_____.

【答案或提示】

1.【答案】C

【解析】点在曲线上，点在曲线上，

的几何意义就是曲线上的点到曲线上点的距离最小值的平方，如下图所示：

考查曲线平行于直线的切线，

，令，解得或（舍去），

所以，切点为，该切点到直线的距离就是所要求的曲线上的点与直线上的点之间的最小距离，

故的最小值为，故选：C．

2.【答案】C

【解析】设(b，a)是曲线C：y＝ln x上的点，(d，c)是直线l：y＝x＋1上的点，则(a－c)2＋(b－d)2可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方．对函数y＝ln x求导得y′＝，令y′＝1，得x＝1，则y＝0，所以曲线C上到直线y＝x＋1的距离最小的点为(1,0)，该点到直线y＝x＋1的距离为＝.因此(a－c)2＋(b－d)2的最小值为()2＝2.故选C.

3.【答案】2

4.【答案】

【解析】由题，因为与互为反函数，则图象关于对称，

设点为，则到直线的距离为，

设，则，令，即，

所以当时，，即单调递减；当时，，即单调递增，

所以，则，所以的最小值为，

线段PQ长度的最小值为．

5.【答案】

6.【答案】

【分析】由平方结构特点产生了结构联想：类似两点间的距离公式，

【解析】∵,   

∴ 分别为两个函数的图象上任意一点.

，所以，所以过点且斜率为3的切线方程为：，

即:3x-y-2-2ln2=0,:y=3x-4

两直线的距离即为之距的最小值，即为，但是所求为距离的平方，所以结果为.

点评：这种平方和结构从形的角度常想到两点的距离，从数的角度常想到基本不等式.

7.【答案】

【分析】根据几何意义，满足条件的点在曲线上，该点处切线与 平行.

【解析】设为曲线上一点，当该点处切线与平行时，满足题意.

     令得满足题意，即

     把代入得

     把代入得，即

     ∴即为所求.