鲁科版（新教材）2022版高考一轮复习第2章相互作用第2讲力的合成和分解（物理 学案）

第2讲　力的合成和分解

一、力的合成

1．合力与分力

假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力，原来那几个力叫作这个力的分力。

2．共点力

作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。如图所示均是共点力。

3．力的合成

(1)定义：求几个力的合力的过程。

(2)运算法则

①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图甲所示。

②三角形定则：把两个矢量首尾相连，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。

二、力的分解

1．力的分解

(1)定义：求一个已知力的分力的过程。

(2)运算法则：平行四边形定则或三角形定则。

2．矢量和标量

矢量：既有大小又有方向的量，运算时遵从平行四边形定则。

标量：只有大小没有方向的量，运算时按代数法则相加减。

考点1　力的合成(能力考点)

考向1　计算合力大小

典例　(2019·天津高考)2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式通车。为保持以往船行习惯，在航道处建造了单面索(所有钢索均处在同一竖直面内)斜拉桥，其索塔与钢索如图所示。下列说法正确的是(　　)

A．增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力

B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度

C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下

D．为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布

本题考查了力的合成与分解的知识，需根据题目正确画出受力分析图，利用平行四边形定则解决实际问题。考查的核心素养是模型建构与科学推理。

【自主解答】

C　解析：以桥身为研究对象，钢索对桥身的拉力的合力与桥身的重力等大反向，则钢索对索塔向下的压力大小等于桥身的重力，增加钢索的数量，钢索对索塔的向下的压力大小不变，故A错误；由图甲可知2Tcos α＝Mg，当索塔高度降低后，α变大，cos α 变小，则T变大，故B错误；由B的分析可知，当钢索对称分布时，2Tcos α＝Mg，钢索对索塔的合力竖直向下，故C正确；受力分析如图乙所示时，由正弦定理可知，只要满足＝，钢索AC、AB的拉力FAC、FAB进行合成，合力便竖直向下，则钢索不一定要对称分布，故D错误。

【技法总结】

合力大小的求解方法

(1)作图法：作出两分力的图示，再根据平行四边形定则求出合力大小。

(2)计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力。

考向2　合力的大小范围

典例　(多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内的三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　)

A．物体所受静摩擦力可能为2 N

B．物体所受静摩擦力可能为4 N

C．物体可能仍保持静止

D．物体一定被拉动

【自主解答】

ABC　解析：两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三个力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判断选项A、B、C正确，D错误。

【核心归纳】

力的合成中合力的大小范围

(1)两个共点力的合成

|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。

(2)三个共点力的合成

①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。

②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力合力的最小值为0；如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值等于最大的力减去另外两个力。

1．(2020·全国卷Ⅲ)如图所示，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与乙物体相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α＝70°，则β等于(　　)

A．45°　　B．55°　　C．60°　　D．70°

B　解析：甲物体拴牢在O点，且甲、乙两物体的质量相等，则拉甲、乙两物体的绳的拉力大小相等，O点处于平衡状态，则左侧绳的拉力方向在拉甲、乙两物体绳的角平分线上，如图所示。

根据几何关系有 180°＝2β＋α，解得β＝55°。故选B。

2．三个共点力的大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法正确的是(　　)

A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3

B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大

C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，则只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为0

D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，则只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为0

C　解析：合力不一定大于分力，B错误；三个共点力的合力的最小值能否为0，取决于任何一个力是否都在其余两个力的合力范围内，由于三个力的大小未知，所以三个力的合力的最小值不一定为0，A错误；当三个力的大小分别为3a、6a、8a时，其中任何一个力都在其余两个力的合力范围内，故C正确；当三个力的大小分别为3a、6a、2a时，不满足上述情况，故D错误。

考点2　力的分解(能力考点)

考向1　按照力的作用效果分解

典例　(2018·天津高考)(多选)明朝谢肇淛《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之，曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力N，则(　　)

A．若F一定，θ大时N大

B．若F一定，θ小时N大

C．若θ一定，F大时N大

D．若θ一定，F小时N大

【自主解答】

BC　解析：选木楔为研究对象，木楔受到的力有：水平向左的力F和两侧给它的与它的斜面垂直的弹力，由于木楔处于平衡状态，所以两侧给木楔的垂直斜面的弹力与F沿两侧分解的推力是相等的，力F的分解如图所示。

则F＝N1sin ＋N2sin ＝2N1sin ，又 N＝N1＝N2，故解得N＝，所以F一定时，θ越小，N越大；θ一定时，F越大，N越大，故B、C正确。

【技法总结】

力的分解技巧

(1)在实际问题中进行力的分解时，有实际意义的分解方法是按力的作用效果进行分解，其他的分解方法都是为解题方便而设的。

(2)按作用效果分解力的一般思路

考向2　正交分解法

典例　如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上，使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比  为(　　)

甲　　　　　　　　乙

A．cos θ＋μsin θ B．cos θ－μsin θ

C．1＋μtan θ D．1－μtan θ

【自主解答】

B　解析：物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力分析如图所示。

将物体受到的力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得F1＝mgsin θ＋f1，N1＝mgcos θ，f1＝μN1，F2cos θ＝mgsin θ＋f2，N2＝mgcos θ＋F2sin θ，f2＝μN2，联立解得F1＝mgsin θ＋μmgcos θ，F2＝，故 ＝cos θ－μsin θ，B正确。

【技法总结】

正交分解法的应用方法

(1)建系原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的分力在坐标轴上)；在动力学中，常以加速度的方向和垂直加速度的方向为坐标轴建立坐标系。

(2)分解步骤：把物体受到的多个力F1、F2、F3、…依次分解到x轴、y轴上。

x轴上的合力：

Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…

y轴上的合力：

Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…

合力大小：F＝

合力方向：设与x轴夹角为θ，则tan θ＝。

考向3　力的分解的定解及极值问题

典例　已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为 30 N。则(　　)

A．F1的大小是唯一的

B．F2的方向是唯一的

C．F2有两个可能的方向

D．F2可取任意方向

【自主解答】

C　解析：F1、F2和F的矢量三角形图如图所示，由图可以看出，若F2＝F20＝25 N，F1的大小是唯一的，F2的方向是唯一的。因F＝50 N> F2＝30 N>25 N，所以F1的大小有两个，即F1′ 和F1″，F2的方向有两个，即F2′ 的方向和F2″的方向，故选项A、B、D错误，选项C正确。

【技法总结】

1．力的分解的定解

2．求某一分力最小值问题的三种情况及其思路

(1)已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向，当两个分力垂直时，另一个分力F2取到最小值，如图甲所示，F2的最小值为F2min ＝Fsin α。

甲　　　　　　　乙

(2)已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向，当另一个分力与合力方向垂直时，另一个分力F2取到最小值，如图乙所示，F2的最小值为F2min＝F1sin α。

(3)当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2取最小值的条件是：已知大小的分力F1与合力F同方向，F2的最小值为|F－F1|。

1．小明想推动家里的衣橱，但使出了很大的力气也没有推动，他便想了个妙招，如图所示，用A、B两块木板，搭成一个底角较小的人字形架，然后往中间一站，衣橱居然被推动了！下列说法正确的是(　　)

A．这是不可能的，因为小明根本没有用力去推衣橱

B．这是不可能的，因为无论如何小明的力气也没那么大

C．这有可能，A板对衣橱的推力有可能大于小明的重力

D．这有可能，但A板对衣橱的推力不可能大于小明的重力

C　解析：小明的重力可分解为沿两个木板方向的分力，由于两个木板间的夹角接近180°，根据平行四边形定则可知，分力可能远大于小明的重力，选项C正确。

2．如图所示，质量为m的木块A放在水平面上质量为M的斜面体B上，现用大小相等、方向相反的两个水平推力F分别作用在A、B上，A、B均保持静止不动。则(　　)

A．A与B之间一定存在摩擦力

B．B与地面之间一定存在摩擦力

C．B对A的支持力大小一定等于mg

D．地面对B的支持力大小一定等于 (m＋M)g

D　解析：木块A在斜面上处于静止状态，对木块A进行受力分析，如图甲所示，若Fx＝Gx，则f＝0；若Fx≠Gx，则f≠0，故A错误；由图甲知N＝Fy＋Gy，则N与GA的大小关系不确定，C错误；对A、B整体进行受力分析，如图乙所示，水平方向上与地面间无摩擦力，竖直方向上N地＝GA＋GB＝(m＋M)g，故B错误，D正确。

甲　　　　　　　　乙

3．(2021·盐城模拟)如图所示，用一根长为l的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使细绳与竖直方向成30°角且绷紧，小球A处于静止状态，对小球施加的最小的力是(　　)

A．mg B．mg

C．mg D．mg

C　解析：将小球的重力进行分解，如图所示，其中一个分力等于施加的力的大小。当施加的力与OA垂直时最小，Fmin＝mgsin 30°＝mg，C正确。

模型一　绳上的“死结”与“活结”模型

典例　(多选)如图所示，物体A被绕过小滑轮P的细线所悬挂，物体B放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P被一根细线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着物体B，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于静止状态。若悬挂小滑轮的细线OP上的张力是20 N，取 g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)

A．弹簧的弹力为10 N

B．物体A的质量为2 kg

C．桌面对物体B的摩擦力为10 N

D．OP与竖直方向的夹角为60°

【自主解答】

ABC　解析：分别以物体A、B和结点O′及小滑轮P为研究对象进行受力分析，对物体A有mAg＝FO′a，对小滑轮P有2FO′acos 30°＝FOP，联立解得 mA＝2 kg，FO′a＝20 N，选项B正确；同一根细线上的张力相同，故OP的延长线为滑轮两侧细线张角的角平分线，由此可知OP与竖直方向的夹角为30°，选项D错误；对结点O′，有FO′asin 30°＝F弹，FO′acos 30°＝FO′b，对物体B有f ＝FO′b，联立解得弹簧的弹力F弹＝10 N，物体B所受的摩擦力f＝10 N，选项A、C正确。

【核心归纳】

绳上“死结”与“活结”的特点

(1)“死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因“结”而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。

(2)“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上“活结”两侧的绳子是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上的弹力大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。

变式　(2021·湖南模考)如图所示，一根质量为m的匀质绳子，两端分别固定在同一高度的两个钉子上，中点悬挂一质量为M的物体，系统平衡时，绳子中点两侧的切线与竖直方向的夹角均为α，钉子处绳子的切线方向与竖直方向的夹角为β，则(　　)

A．＝ B． ＝

C．＝ D． ＝

C　解析：如图所示，圆弧的圆心为O，悬挂小物块的点为c，由于ab＝R，则 △aOb为等边三角形，同一条细线上的拉力大小相等，绳上的张力T＝mg，ca、cb两段绳上的合力沿Oc方向，则Oc为∠acb的角平分线，由几何关系知，∠acb＝120°，细线的拉力的合力与物块的重力大小相等，则每段细线上的拉力T＝G＝mg，所以小物块的质量为m，故C正确。

模型二　“动杆”与“定杆”模型

典例　如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮悬挂一质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°角，在轻杆的G点用细绳GF拉住一质量为M2的物体，求：

(1)细绳AC段的张力TAC与细绳EG段的张力TEG之比；

(2)轻杆BC对C端的支持力；

(3)轻杆HG对G端的支持力。

【自主解答】

解析：题图甲和题图乙中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析，如图甲和乙所示，根据平衡条件可求解。

(1)图甲中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力 TAC＝TCD＝M1g

图乙中由 TEGsin 30°＝M2g，得 TEG＝2M2g

所以 ＝。

(2)图甲中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡条件有NC＝TAC＝M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方。

(3)图乙中，根据平衡条件有

 TEGsin 30°＝M2g

TEGcos 30°＝NG

所以NG＝M2gcot 30°＝M2g，方向水平向右。

答案：(1)M1∶2M2　(2)M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方　(3)M2g，方向水平向右

【核心归纳】

“动杆”与“定杆”的受力特点

(1)动杆：对一端有光滑转轴O的静止轻杆而言，轻杆受力平衡时，轻杆的另一端受到的力一定沿轻杆的方向，如图甲所示，轻杆OB静止时，轻绳ABC对轻杆OB的作用力一定要沿BO方向，否则轻杆将会绕光滑转轴O发生转动，与已知轻杆静止产生矛盾。

甲　　　　　乙

(2)定杆：图乙中，轻杆是插入墙中的，这时A′B′C′对轻杆O′B′的作用力就不一定沿B′O′方向。

变式　(2020·太原模拟)如图甲所示，AO为弹性良好的橡皮筋(弹力与伸长量成正比)，BO为可绕B点自由转动的轻质细杆，A、B两点的高度差为h。当O点不挂重物时，BO杆水平，橡皮筋恰好处于原长且与细杆的夹角α＝30°；在O点挂上一质量为m的重物，橡皮筋长度变为L(如图乙所示)，则可知橡皮筋的劲度系数为(　　)

A． B．

C． D．

A　解析：由题图甲可知，橡皮筋的原长L0＝＝＝2h，挂上重物后，以O点为研究对象进行受力分析，如图所示。

则由几何关系可知 ＝，解得橡皮筋的弹力 F＝，由胡克定律可知F＝k(L－L0)，联立解得 k＝，故选A。