2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）2-4 绝对值与相反数（2）（解析版）练习题

这是一份2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）2-4 绝对值与相反数（2）（解析版）练习题，
2.4 绝对值与相反数（2）（满分100分 时间：40分钟） 班级 姓名 得分 一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．如果对于某一特定范围内的x的任意允许值，P＝|10﹣2x|+|10﹣3x|+|10﹣4x|+|10﹣5x|+…+|10﹣10x|为定值，则此定值是（　　）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】B【解析】【分析】若P为定值，则化简后x的系数为0，由此可判定出x的取值范围，然后再根据绝对值的性质进行化简．【详解】∵P=|10-2x|+|10-3x|+|10-4x|+…+|10-10x|为定值，∴求和后，P最后结果不含x，亦即x的系数为0，∵2+3+4+5+6+7=8+9+10，∴x的取值范围是：10-7x≥0且10-8x≤0或10-7x≤0且10-8x≥0，解得：≤x≤，∴P=（10-2x）+（10-3x）+…+（10-7x）-（10-8x）-（10-9x）-（10-10x）=60-30=30．故选：B．【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，利用已知得出P的表达式化简后x的系数为0进而求出是解题关键．2．若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是相反数等于它本身的数，d是到原点的距离等于2的负数，e是最大的负整数，则a+b+c+d+e的值为（ ）A．1 B．2 C．－1 D．－2【答案】D【分析】根据题意求出a、b、c、d、e的值，再代入代数式求值即可.【详解】a是最小的正整数，a=1；b是绝对值最小的数，b=0；c是相反数等于它本身的数，c=0；d是到原点的距离等于2的负数，d=-2；e是最大的负整数，e=-1；a+b+c+d+e=1+0+0+（-2）+（-1）=-2故选D【点睛】本题考查了有理数中一些特殊的数，熟练掌握这是特殊的数是解题的关键.3．已知为实数，且，则代数式的最小值是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据绝对值的几何意义把绝对值转化为数轴上的两点间的距离即可求得答案．【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：为数轴上表示数x的点到表示数、、的距离之和∵∴，∴，∴∴当时，的值最小，最小值为：；故选C．【点睛】此题考查了绝对值的几何意义，把的值转化为数轴上点之间的距离是解题的关键． 4．数轴上、、三点所代表的数分别是、、，且．若下列选项中，有一个表示、、三点在数轴上的位置关系，则此选项为何？（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】从选项数轴上找出a、B、c的关系，代入|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|．看是否成立．【详解】∵数轴上A、B、C三点所代表的数分别是a、1、c，设B表示的数为b，∴b=1，∵|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|．∴|c﹣b|﹣|a﹣b|=|a﹣c|．A、b＜a＜c，则有|c﹣b|﹣|a﹣b|=c﹣b﹣a+b=c﹣a=|a﹣c|．正确，B、c＜b＜a则有|c﹣b|﹣|a﹣b|=b﹣c﹣a+b=2b﹣c﹣a≠|a﹣c|．故错误，C、a＜c＜b，则有|c﹣b|﹣|a﹣b|=b﹣c﹣b+a=a﹣c≠|a﹣c|．故错误．D、b＜c＜a，则有|c﹣b|﹣|a﹣b|=c﹣b﹣a+b=c﹣a≠|a﹣c|．故错误．故选A．【点睛】熟记数轴定义以及运用有理数的运算规则是解决本题关键.更应该理解掌握验证等式是否成立的方法，若等式成立则必须左边运算结果等于右边运算结果.5．下列说法正确的个数有（ ）①已知且则数在数轴上距离原点较近的是②若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数；③一定是负数；④若则是非正数．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】①根据已知条件判断出a，b的符号及绝对值的大小即可；②通过绝对值的性质即可求解；③本题可通过特殊值法求解；④通过绝对值的性质即可求解．【详解】解：①∵a+b＜0且a＞0，b＜0，∴|a|＜|b|，∴数a、b在数轴上距离原点较近的是a，故①正确；②正数和0的绝对值等于它本身，负数小于它的绝对值，故②正确；③a=0时，-|a|=0，故③错误；④若|a|+a=0，则a是非正数，故④正确．故选B．【点睛】本题考查的是数轴和绝对值，理解绝对值的性质、熟知数轴上右边的数总比左边的大的特点是解答此题的关键．绝对值的性质：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．6．如果a+b+c=0，且|a|＞|b|＞|c|．则下列说法中可能成立的是（　　）A．b为正数，c为负数 B．c为正数，b为负数C．c为正数，a为负数 D．c为负数，a为负数【答案】C【详解】分析：根据不等式|a|＞|b|＞|c|及等式a+b+c=0，利用特殊值法，验证即得到正确答案．详解：由题目答案可知a，b，c三数中只有两正一负或两负一正两种情况，如果假设两负一正情况合理，要使a+b+c=0成立，则必是b＜0、c＜0、a＞0，否则a+b+c≠0，但题中并无此答案，则假设不成立，D被否定，于是应在两正一负的答案中寻找正确答案，若a，b为正数，c为负数时，则：|a|+|b|＞|c|，∴a+b+c≠0，∴A被否定，若a，c为正数，b为负数时，则：|a|+|c|＞|b|，∴a+b+c≠0，∴B被否定，只有C符合题意．故选C．点睛：本题考查绝对值数及不等式，需要一步步进行推理验证，每一个环节都需要认真推敲． 二、填空题7．如图A，B，C，D，E分别是数轴上五个连续整数所对应的点，其中有一点是原点，数a对应的点在B与C之间，数b对应的点在D与E之间，若则原点可能是_________．【答案】B或E【分析】先利用数轴特点确定a，b的关系从而求出a，b的值，确定原点．【详解】解：当为A为原点时，|a|+|b|＞3，当B为原点时，|a|+|b|可能等于3，当C为原点时，|a|+|b|＜3，当D为原点时，|a|+|b|＜3，当E为原点时，|a|+|b|可能等于3．故答案为：B或E．【点睛】本题主要考查的是数轴与绝对值，分类讨论是解题的关键．8．已知  ，，，…，依此类推，则  _______．【答案】【分析】根据题意，可以得出这一组数的规律，分为n为奇数和偶数二种情况讨论即可．【详解】因为，所以==-1，==-1，==-2，，所以n为奇数时，，n为偶数时，，所以-=-1009，故答案为：-1009．【点睛】本题考查了有理数运算的规律，含有绝对值的计算，掌握有理数运算的规律是解题的关键．9．代数式|x－1|－|x+6|－5的最大值是_______．【答案】2【解析】试题解析：|x-1|-|x+6|的最大值为1-（-6）=1+6=7，则代数式的最大值为7-5=2．点睛：|x-1|-|x+6|表示数轴上表示x的点到1与-6之差，最大值为1-（-6）.10．x是有理数，则的最小值是________．【答案】【分析】本题分3种情况①当x＜-时；②当-≤x≤时；③当x＞时进行讨论，从而得到所求的结果．【详解】解：分三种情况讨论：（1）当x＜-时，原式=-（x-）-（x+）=-x+-x-=-2x+＞-2（-）+==；（2）当-≤x≤时，原式=-（x-）+x+=-x++x+==；（3）当x＞时，原式=x-+x+=2x-＞2×-==；综合（1），（2），（3），可得最小值是．故答案为．【点睛】本题主要考查了绝对值的运用，关键是讨论时要讨论所有的情况，不能缺少一个．11．已知有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示，化简：_______．【答案】b+1【分析】根据图示，可知有理数a，b的取值范围b＞a，a＜-1，然后根据它们的取值范围去绝对值并求|b-a|-|a+1|的值．【详解】解：根据图示知：b＞a，a＜-1，∴|b-a|-|a+1|=b-a-（-a-1）=b-a+a+1=b+1．故答案为：b+1．【点睛】本题主要考查了关于数轴的知识以及有理数大小的比较，绝对值的知识，正确把握相关知识是解题的关键． 三、解答题12．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与﹣2，3与5，﹣2与﹣6，﹣4与3．并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为﹣1，则A与B两点间的距离可以表示为　 　；若|x﹣6|＝3，则x＝　 　．（3）结合数轴求出|x﹣2|+|x+1|的最小值为　 　，此时符合条件的整数x为　 　．【答案】（1）所得距离与这两个数的差的绝对值相等；（2）|x+1|；x=9或3；（3）3；-1，0，1，2【分析】（1）直接借助数轴可以得出；（2）分三种情况进行讨论．当x＜-1时，距离为-x-1，当-1＜x＜0时，距离为x+1，当x＞0，距离为x+1；若|x-6|=3，则x-6=±3，求出x即可；（3）为x为有理数，所以要分类讨论x-1与x+3的正负，再去掉绝对值符号再计算．【详解】解：（1）由观察可知：所得距离与这两个数的差的绝对值相等；故答案为：所得距离与这两个数的差的绝对值相等；（2）结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论．当x＜-1时，距离为-x-1，当-1＜x＜0时，距离为x+1，当x＞0，距离为x+1．综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为|x+1|；若|x-6|=3，则x-6=±3，x=9或3；故答案为：|x+1|；x=9或3；（3）因为x为有理数，就是说x可以为正数，也可以为负数，也可以为0，所以要分情况讨论．①当x＜-1时，x-2＜0，x+1＜0，所以|x-1|+|x+3|=-（x-2）-（x+1）=-2x-1＞3；②当-1≤x＜2时，x-2＜0，x+1≥0，所以|x-1|+|x+3|=-（x-2）+（x+1）=3；③当x≥2时，x-2≥0，x+1＞0，所以|x-2|+|x+1|=（x-2）+（x+1）=2x-1≥3；综上所述，当x=-1，0，1，2，所以|x-2|+|x+1|的最小值是3．故答案为：3；-1，0，1，2．【点睛】本题考查了数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A-B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离．13．已知，在数轴上对应的数分别用，表示，且点距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，将点先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点，是数轴上的一个动点．(1)在数轴上标出、的位置，并求出、之间的距离；(2)已知线段上有点且，当数轴上有点满足时，求点对应的数；(3)动点从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…点能移动到与或重合的位置吗?若不能，请说明理由．若能，第几次移动与哪一点重合?【答案】（1）A、B位置见解析，A、B之间距离为30；（2）2或-6；（3）第20次P与A重合；点P与点B不重合．【分析】（1）点距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，得到点B表示的数，再根据平移的过程得到点A表示的数，在数轴上表示出A、B的位置，根据数轴上两点间的距离公式，求出A、B之间的距离即可；（2）设P点对应的数为x，当P点满足PB=2PC时，得到方程，求解即可；（3）根据第一次点P表示-1，第二次点P表示2，点P表示的数依次为-3，4，-5，6…，找出规律即可得出结论．【详解】解：（1）∵点距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，∴点B表示的数为-10，∵将点先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点，∴点A表示的数为20，∴数轴上表示如下：AB之间的距离为：20-（-10）=30；（2）∵线段上有点且，∴点C表示的数为-4，∵，设点P表示的数为x，则，解得：x=2或-6，∴点P表示的数为2或-6；（3）由题意可知：点P第一次移动后表示的数为：-1，点P第二次移动后表示的数为：-1+3=2，点P第三次移动后表示的数为：-1+3-5=-3，…，∴点P第n次移动后表示的数为（-1）n•n，∵点A表示20，点B表示-10，当n=20时，（-1）n•n=20；当n=10时，（-1）n•n=10≠-10，∴第20次P与A重合；点P与点B不重合．【点睛】本题考查的是数轴，绝对值，数轴上两点之间的距离的综合应用，正确分类是解题的关键．解题时注意：数轴上各点与实数是一一对应关系．14．已知：b是最小的正整数，且、b、c满足，请回答问题．(1)请直接写出、b、c的值． (2)、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为，点P在0到2之间运动时(即0≤x≤2时)，请化简式子： (请写出化简过程)．(3)在(1)(2)的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BCAB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】（1）-1；1；5；（2）4x+10或2x+12；（3）不变，理由见解析【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；（2）根据x的范围，确定x+1，x-3，5-x的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；（3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2．【详解】解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1．根据题意得：c-5=0且a+b=0，∴a=-1，b=1，c=5．故答案是：-1；1；5；（2）当0≤x≤1时，x+1＞0，x-1≤0，x+5＞0，则：|x+1|-|x-1|+2|x+5|=x+1-（1-x）+2（x+5）=x+1-1+x+2x+10=4x+10；当1＜x≤2时，x+1＞0，x-1＞0，x+5＞0．∴|x+1|-|x-1|+2|x+5|=x+1-（x-1）+2（x+5）=x+1-x+1+2x+10=2x+12；（3）不变．理由如下：t秒时，点A对应的数为-1-t，点B对应的数为2t+1，点C对应的数为5t+5．∴BC=（5t+5）-（2t+1）=3t+4，AB=（2t+1）-（-1-t）=3t+2，∴BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2，即BC-AB值的不随着时间t的变化而改变．【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想