2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）2-5 有理数的加法与减法（2）（解析版）练习题

2.5  有理数的加法与减法（2）

（满分100分     时间：40分钟）       班级              姓名               得分          

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＜|b|，下列各式中正确的个数是（　　）

①a+b＜0；②b﹣a＞0；③ ；④3a﹣b＞0；⑤﹣a﹣b＞0．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

【分析】

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数．原点左边的数为负数，原点右边的数为正数．从图中可以看出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据有理数的运算法则判断即可．

【详解】

根据数轴上a，b两点的位置可知，b＜0＜a，|b|＞|a|，
①根据有理数的加法法则，可知a+b＜0，故正确；

②∵b＜a，∴b-a＜0，故错误；

③∵|a|＜|b|，

∴

∵<0,，，

根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小

∴，故正确；

④3a﹣b=3a+（- b）

∵3a>0,-b>0

∴3a﹣b>0，故正确；

⑤∵﹣a>b

∴- a﹣b>0.

故①③④⑤正确，选C.

【点睛】

本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，本部分的题主要根据，数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小，及有理数的运算规律来判断式子的大小.

2．下表是淮河某河段今年雨季一周内水位变化情况，（其中0表示警戒水位）那么水位最高是        （    ）

A．周一 B．周二 C．周三 D．周五

【答案】D

【解析】

【分析】

结合数轴，根据数轴上数的特点比较大小.

【详解】

＋0.03、＋0.41、＋0.25、＋0.10、 0、－0.13、－0.2表示水位在上升和下降，周五时达到最大值,所以正确答案选D.

【点睛】

考察学生将数轴相关知识应用于实际的能力.

3．在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将英文个字母，，，，（不论大小写）依次对应，，，，这个自然数(见表格)，当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号，当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号，按下述规定，将明码“”译成密码是：(  )

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

试题解析：∵密码，

中，

，

，

，

．

∴．

故选A．

4．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（  ）

A．9 B．10 C．12 D．13

【答案】C

【详解】

由图可知S=3+4+5=12．

故选C．

点睛：本题考查了有理数加法运算的应用，三个项分别是4，5，6，4与5之间是3，6和5之间是1，4和6之间是2，这样每边的和才能相等．

5．50个连续正奇数的和l+3+5+7+…+99与50个连续正偶数的和：2+4+6+8+…+100，它们的差是（　　）

A．0 B．50 C．﹣50 D．5050

【答案】C

【详解】

试题解析：：（1+3+5+7+…+99）-（2+4+6+8+…+100）
=-[（2-1）+（4-3）+（6-5）+（8-7）…+（100-99）]
=-（1+1+1+1+…+1）
=-50．
故选C．

二、填空题

6．记，则的最小值为__________．

【答案】90

【分析】

根据题意可知=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-19|，由绝对值的意义以及数轴上两点间的距离可知|x-a|表示x到a的距离，只有当x到1的距离等于x到19的距离时，式子取得最小值．据此进行求解即可得.

【详解】

∵，

∴=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-19|，

由绝对值的意义以及数轴上两点间的距离可知|x-a|表示x到a的距离，只有当x到1的距离等于x到19的距离时，式子取得最小值．

∴当x==10时，式子取得最小值，

此时，=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-19|

=|10-1|+|10-2|+|10-3|+…+|10-9|+|10-10|+|10-11|+…+|10-18|+|10-19|

=9+8+7+…+1+0+1+2+…+8+9

=2×(1+2+3+…+9)

=2×45

=90，

故答案为：90.

【点睛】

本题考查了新定义题，最值问题，绝对值的性质，利用已知得出x=10时，|能够取到最小值是解题关键．

7．如图的号码是由12位数字组成的，每一位数字写在下面的方格中，若任何相邻的三个数字之和都等于12，则x的值为________. 

【答案】5

【分析】

先根据“任何相邻的三个数字之和都等于12”求出x右边和左边的数字，再根据“任何相邻的三个数字之和都等于12”求解即可.

【详解】

由任何相邻的三个数字之和都等于12可得：左边的两个空格中的数字之和为；9右边的空格中的两数之和为

则x右边的数字为，x左边的数字为

因此，

故答案为：5.

【点睛】

本题考了有理数的加减法运算，理解题意，求出x右边和左边的数字是解题关键.

8．对于有理数、，定义一种新运算“⊙”，规定:⊙=.计算2⊙(-3)=________.

【答案】6

【分析】

利用题中的新定义计算即可得到结果

【详解】

根据题中的新定义得：2⊙（-3）=|2-（-3）|+|2+（-3）|=5+1=6.

故答案为6.

【点睛】

此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9．已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，则的值为________.

【答案】0或-2

【分析】

a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，可分别求得a+b=0，cd=1，m=±1，代入求值即可．

【详解】

∵a、b互为相反数且a≠0，

∴a+b=0，

又∵c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，

∴cd=1，m=±1，

∴

∴原式=0或-2.

故填0或-2.

【点睛】

本题考查代数式求值, 相反数, 绝对值, 倒数.能根据互为相反数的数和为0，互为倒数的两个数积为1，得出a+b=0，cd=1，能根据绝对值的定义求出m是解决本题的关键.

10．计算的值为__________________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据原式的每一项都写成两项之差，然后再进行计算即可得.

【详解】

原式=1-

=1-

=，

故答案为.

【点睛】

本题考查了分数的运算，熟练掌握是解题的关键.

三、解答题

11．（1）尝试：比较下列各式的大小关系：(用填空)

①___________；           ②_________；

③_________；           ④__________；

（2）归纳：观察上面的数量关系，可以得到：

___________(用填空)

（3）应用：利用上面得到的结论解决下面问题：

若＝16，＝2，则=______________．

（4）拓展：当满足什么条件时，＞(请直接写出结果，不需过程)

【答案】（1）①；②；③；④；（2）；（3）或；（4）1个正数，2个负数；2个正数，1个负数；1个0，1个正数，1个负数．

【分析】

（1）①根据绝对值运算、有理数的加法即可得；

②根据绝对值运算、有理数的加法即可得；

③根据绝对值运算、有理数的加减法即可得；

④根据绝对值运算、有理数的加减法即可得；

（2）根据（1）的结果归纳类推即可得；

（3）先根据上述结论得出m、n异号，再分m为正数，n为负数和m为负数，n为正数两种情况，然后代入解绝对值方程即可得；

（4）先根据中0的个数进行分类，再结合上述结论、绝对值运算分析即可得．

【详解】

（1）①，，

则，

故答案为：；

②，，

则，

故答案为：；

③，，

则，

故答案为：；

④，，

则，

故答案为：；

（2）由（1）的结果，归纳类推得：，

故答案为：；

（3），

，

由上述结论可得：m、n异号，

①当m为正数，n为负数时，则，即，

将代入得：，

解得或，符合题设；

②当m为负数，n为正数时，则，即，

将代入得：，

解得或，符合题设；

综上，或，

故答案为：或；

（4）由题意，分以下四类：

第一类：当三个数都不等于0时，

①1个正数，2个负数，此时，

②2个正数，1个负数，此时，

③3个正数，此时，不符题意，舍去，

④3个负数，此时，不符题意，舍去；

第二类：当三个数中有1个等于0时，

①1个0，2个正数，此时，不符题意，舍去，

②1个0，2个负数，此时，不符题意，舍去，

③1个0，1个正数，1个负数，此时；

第三类：当三个数中有2个等于0时，

①2个0，1个正数，此时，不符题意，舍去，

②2个0，1个负数，此时，不符题意，舍去；

第四类：当三个数都等于0时，

此时，不符题意，舍去；

综上，成立的条件是：1个正数，2个负数；2个正数，1个负数；1个0，1个正数，1个负数．

【点睛】

本题考查了绝对值、有理数的加减运算，熟练掌握绝对值运算，并正确归纳出规律是解题关键．

12．列式写答案

某自行车厂计划平均每天生产自行车200辆，但是由于种种原因，实际每天生产量与计划量有出入．下表是该厂某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）．

（1）根据记录的数据可知该厂星期三生产自行车多少辆？

（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？

（3）根据记录的数据可知该厂本周实际共生产自行车多少辆？

【答案】（1）214；（2）25；（3）1410

【分析】

（1）根据题意和表格可以求得该厂星期三生产自行车的辆数；

（2）根据题意和表格分别求出产量最多的一天的产量和产量最少的一天的产量，从而可以解答本题；

（3）利用计划每天生产的辆数乘以6+超出计划的辆数得到答案.

【详解】

（1）200+14=214（辆），

答：该厂星期三生产自行车214辆；

（2）（200+15）-（200-10）=25（辆），

答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车25辆；

（3）2007+（+6-8+14-10+15-3-4）=1410（辆），

答：该厂本周实际共生产自行车1410辆.

【点睛】

此题考查正数和负数的实际意义，有理数加减法在实际生活中的应用，正确计算是解题的关键.

13．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等．

(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a＋b____0，a－c____0，b－c____0；

(2)|b－1|＋|a－1|＝____；                 

(3)化简|a＋b|＋|a－c|－|b|＋|b－c|．

【答案】（1）=、>、<；（2）a-b；（3）a

【分析】

（1）根据数轴上各数的位置得到b<-1<c<0<1<a，，根据有理数的加减法法则进行判断即可；

（2）根据b<-1<c<0<1<a，化简，，即可计算加减法；

（3）根据b<-1<c<0<1<a，得到a+b=0，a-c>0，b-c<0，化简|a＋b|=0，|a－c|=a-c，|b|=-b，|b－c|=c-b，再代入计算.

【详解】

（1）由题意得：b<-1<c<0<1<a，，

∴a+b=0，a-c>0，b-c<0，

故答案为：=、>、<；

 （2）∵b<-1<c<0<1<a，

∴b-1<0，a-1>0，

∴，，

∴|b－1|＋|a－1|＝1-b+a-1=a-b，

故答案为：a-b；

（3）∵b<-1<c<0<1<a，

∴a+b=0，a-c>0，b-c<0，

∴|a＋b|=0，|a－c|=a-c，|b|=-b，|b－c|=c-b，

∴|a＋b|＋|a－c|－|b|＋|b－c|

=0+a-c+b+c-b

=a.

【点睛】

此题考查有理数与数轴，有理数的大小比较，绝对值的化简，有理数的加减法计算法则，正确化简绝对值是解题的关键.

14．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4，表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：

若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（请依据此情境解决下列问题）

（1）则数轴上数4表示的点与数________表示的点重合．

（2）若点A到原点的距离是6个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B点表示的数是________．

（3）若数轴上M，N两点之间的距离为2020，并且M，N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是________，则N点表示的数是________．

【答案】（1）-6；（2）4或-8；（3）1009，-1011

【分析】

（1）数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于点﹣1对称，4﹣（﹣1）＝5，而﹣1﹣5＝﹣6，可得数轴上数4表示的点与数﹣6表示的点重合；

（2）点A到原点的距离是6个单位长度，则点A表示的数为6或﹣6，分两种情况讨论，即可得到B点表示的数是5或7；

（3）依据M、N两点之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数是1007，N点表示的数是﹣1013．

【详解】

解：（1）∵数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于点﹣1对称，

4﹣（﹣1）＝5，而﹣1﹣5＝﹣6，

∴数轴上数4表示的点与数﹣6表示的点重合；

故答案为：﹣6；

（2）点A到原点的距离是6个单位长度，则点A表示的数为6或﹣6，

∵A、B两点经折叠后重合，

∴当点A表示﹣6时，﹣1﹣（﹣6）＝5，﹣1+5＝4，

当点A表示6时，6﹣（﹣1）＝7，﹣1﹣7＝﹣8，

∴B点表示的数是4或﹣8；

故答案为：4或﹣8；

（3）M、N两点之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，

∴﹣1+×2020＝1009，﹣1﹣×2020＝﹣1011，

又∵M点表示的数比N点表示的数大，

∴M点表示的数是1009，N点表示的数是﹣1011，

故答案为：1009，﹣1011．

【点睛】

本题主要考查的是数轴的认识，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键．