2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）2-7 有理数的乘方（2）（解析版）练习题

2.7  有理数的乘方（2）

（满分100分     时间：40分钟）       班级              姓名               得分          

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1．一根1米长的绳子，第一次剪去它的三分之一，如此剪下去，第五次后剩下的绳子的长度为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】B

【分析】

将每次剩下的长度依次表示出来得到规律，即可得到此题答案.

【详解】

第一次剪后剩下的绳子的长度为（）m，

第二次剪后剩下的绳子的长度为（）2m，

第三次剪后剩下的绳子的长度为（）3m，

第四次剪后剩下的绳子的长度为（）4m，

第五次剪后剩下的绳子的长度为（）5m．

故选：B．

【点睛】

此题考察有理数的乘方，正确理解题意将每次剩下的长度依次表示出来是解题的关键，由此发现规律得到第五次后剩下的绳子的长度.

2．一种细胞，每 3 分钟分裂一次(一分为二)，若把一个这样的细胞放入容器内，恰好一小时充满容器，如果开始时，把两个细胞放入该容器内，则细胞充满容器的时间为(          )

A．27 分钟 B．30 分钟 C．45 分钟 D．57 分钟

【答案】D

【分析】

先计算出装满一个容器的细胞220个，设将两个这种细胞放入同样的容器中经过x次分裂至满容器，则2×2x=220，求出x，而一次分裂需3分钟，从而求出细胞充满容器的时间．

【详解】

解：设把2个这样的细胞放入该容器内，细胞充满容器分裂的次数为x．
每3分钟分裂一次（一个分裂为2个）．把一个这种细胞放入一个容器内，恰好一小时充满容器则需分裂20次，
∴2×2x=220，
∴2x+1=220，
∴x+1=20，
∴x=19，
而一次分裂需3分钟，则细胞充满容器的时间为3×19=57
故选：D．

【点睛】

本题主要考查了乘方的应用，解题的关键是弄清分裂的次数与细胞个数的关系．

3．若，则的值是（    ）

A．-1 B．1 C．0 D．2018

【答案】B

【解析】

【分析】

根据偶次方的非负性、绝对值的非负性列式计算即可.

【详解】

解：由题意得：a-1=0，b-2=0；解得：a=1，b=2

所以=

【点睛】

本题主要考查了非负数的应用，初中解答涉及到得非负数有绝对值、偶次方和算术平方根.

4．下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2020个数应是（    ）

A． B． C． D．以上答案均不对

【答案】A

【解析】

【分析】

先把它们写成底数为2的幂的形式，然后观察发现规律，即可完成解答.

【详解】

解：第1个数为1=20；

第2个数为2=21；

第3个数为4=22；

第4个数8=23；

第5个数为16=24；

……

第2020个数为22019.

故选：A.

【点睛】

本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况.

5．若为质数，是整数，且，则（   ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据x是质数，y是偶数，结合由奇偶性可得x与y2的值，从而得出结论.

【详解】

∵底数2是偶数

∴是偶数

∴是偶数

∴x是偶数，

∵x是质数，

∴x=2

∴

∴，即y2=16

∴=2×16=32

故选C.

【点睛】

本题解决的关键是根据条件确定x,y2的值，代入求值.

6．我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的(    )

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意得出1011=1×23+0×22+1×21+1，求出即可

【详解】

1011=1×23+0×22+1×21+1=11，
即二进制中的1011相当于十进制中的11.

故答案选C.

【点睛】

考查了有理数的乘方，结合计算机教学，主要考查学生的理解能力、阅读能力和计算能力．

二、填空题

7．对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．规定，（为正整数），例如，，．按此定义，则由__________，___________．

【答案】16    58   

【分析】

根据题意分别求出F1（4）到F8（4），通过计算发现，F1（4）＝F8（4），只需确定即可求解．

【详解】

F1（4）＝16，F2（4）＝F（16）＝12+62=37，

F3（4）＝F（37）＝32+72=58，F4（4）＝F（58）＝52+82=89，

F5（4）＝F（89）＝82+92=145，F6（4）＝F（145）＝12+52=26，

F7（4）＝F（26）＝22+62=40，F8（4）＝F（40）＝42+0=16，…

通过计算发现，F1（4）＝F8（4），

∵2019÷7＝288…3，

∴F2019（4）＝F3（4）＝58；

故答案为16，58．

【点睛】

本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键．

8．若，，且，则______.

【答案】3或-3

【分析】

根据绝对值，乘方计算得出x、y，再分情况计算x+y.

【详解】

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴x=1时y=2，x=-1时y=-2，

当x=1、y=2时，x+y=3，

当x=-1、y=-2时，x+y=-3，

故答案为：3或-3.

【点睛】

此题考查绝对值的定义，乘方的性质，正确计算出x、y的值是解题的关键.

9．将一根绳子对折一次后从中间剪一刀，绳子变成3段；对折两次后从中间剪一刀，绳子变成5段：将这根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成_____段．

【答案】2n+1

【分析】

根据分析可得：将一根绳子对折1次从中间一刀，绳子变成3段；有21+1＝3．将一根绳子对折2次，从中间一刀，绳子变成5段；有22+1＝5．依此类推，将这根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成（2n+1）段．

【详解】

解：∵对折1次从中间剪一刀，有21+1＝3

对折2次，从中间剪一刀，有22+1＝5．

∴对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成（2n+1）段．

故答案为：（2n+1）．

【点睛】

本题主要考查通过观察、归纳、抽象得出规律，正确得出对折次数与绳子段数的规律是解题的关键

10．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示。这样捏合到第____次后可拉出64根细面条.

【答案】6.

【分析】

根据有理数的乘方的定义解答．

【详解】

解：∵26=64，
∴捏合到第6次后可拉出64根细面条，

故答案为：6．

【点睛】

此题考查了有理数的乘方，是基础题，理解乘方的定义是解题的关键．

11．若a、b互为相反数，m、n互为倒数，且4，则-=________。

【答案】-1或3

【分析】

∵a、b互为相反数，∴；∵m、n互为倒数，∴；∵4，∴；代入代数式求值即可.

【详解】

∵a、b互为相反数，∴；

∵m、n互为倒数，∴；

∵4，∴；

当时，

-

当时，

-

故答案为：-1或3

【点睛】

本题考查了互为相反数、互为倒数的两个数的关系，以及有理数的混合运算，熟练掌握相关知识点和分类讨论思想是解题关键.

三、解答题

12．阅读下列两段材料，回答下列各题：

材料一：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”．

材料二：求值：． 解：设，将等式两边同时乘以2得：将下式减去上式得即

（1）直接写出计算结果：       

（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：        （且为正整数）

（3）计算

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】

（1）根据除方的定义展开，直接计算即可；

（2）根据除方的定义展开，化除法为乘法，再用乘方表示为=，运用此公式即可表达；

（3）先化除方为乘方，再模仿材料二，运用整体思想、作差抵消即可算出.

【详解】

解：（1）=,

故答案为：.

（2）∵====，

∴，

故答案为：.

（3）∵=，

∴原式=，

令，

则，

∴将下式减去上式得,

∴，

所以原式=.

【点睛】

本题结合新定义考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确新定义的计算方法，把新定义的运算转化为熟悉的运算，第（3）问要注意，两等式相减后，左式为原式的2倍．

13．阅读材料：求的值.

解：设

将等式两边同时乘以2，得

将下式减去上式，得

即

请你仿照此法计算：

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）设M=，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案；

（2）设N=，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案.

【详解】

解：（1）根据材料，设M=①，

∴将等式两边同时乘以3，则3M=②，

由②①，得：，

∴；

∴.

（2）根据材料，设N=③，

∴将等式两边同时乘以5，④，

由④③，得：，

∴；

∴.

【点睛】

本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．

14．你能比较20192020和20202019的大小吗?为了解决这个问题,我们从比较简单的情形入手,从中发现规律,经过归纳,猜想结论.

(1)比较下列各对数的大小:(用“>”“<”或“=”填空)

12　　　21,23　　　32,34　　　43,45　　　54,56　　　65; 

(2)从(1)题结论归纳,猜想nn+1与(n+1)n(n为正整数)的大小关系;

(3)根据上面归纳猜想的一般结论可得:20192020　　　　20202019.(填“>”“<”或“=”)

【答案】（1）＜；＜；＞；＞；＞；（2）当n＜3时，nn+1＜（n+1）n，当n≥3时，nn+1＞（n+1）n；（3）＞

【分析】

（1）根据有理数的乘方的定义分别进行计算即可；（2）根据（1）的计算结果分情况解答；（3）根据（2）的结论解答即可.

【详解】

解：（1）①12=1，21=2；
②23=8，32=9；
③34=81，43=64；
④45=1024，54=625；⑤56=15625，65=7776；…
故：①12＜＜21；②23＜＜32；③34＞＞43；
④45＞＞54；⑤56＞＞65
（2）当n＜3时，nn+1＜（n+1）n，
当n≥3时，nn+1＞（n+1）n；
（3）∵2019＞3，
∴20192020＞20202019．
故答案为：（1）＜；＜；＞；＞；＞；（2）当n＜3时，nn+1＜（n+1）n，当n≥3时，nn+1＞（n+1）n；（3）＞．

【点睛】

本题考查了有理数的乘方，有理数的大小比较，理解有理数的乘方的意义准确计算是解题的关键．