2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）第2章 有理数 培优测试卷（一）（解析版）

这是一份2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）第2章 有理数 培优测试卷（一）（解析版），共19页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第2章《有理数》 培优测试卷（一）
（满分150分 时间：90分钟） 班级 姓名 得分
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．计算=（ ）
A．612 B．612.5 C．613 D．613.5
【答案】B
【分析】
对每个括号里面的式子计算得数，找出规律，根据公式计算即可．
【详解】

=
=
=
=612.5．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查有理数的加法、乘法运算，发现规律，并用公式1+2+3+4+…+n=计算是解题关键．
2．将7张扑克牌，全部背面朝上，每次翻三张且必须翻三张，最少翻多少次可翻成全部背面朝下（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】
根据每次翻三张进行实验，得出结论即可．
【详解】
解：第一次翻：下，下，下，上，上，上，上；
第二次翻：下，下，上，下，下，上，上；
第三次翻：下，下，下，下，下，下，下；
即这7张扑克牌，全部背面朝下．
故选A．
【点睛】
本题考查了扑克牌的翻转问题，明确每次翻三张进行实验是解题关键.
3．已知，，的积为负数，和为正数，且，则的值为(　　)
A． B．，2 C．，， D．，，，
【答案】A
【分析】
先判断出的符号，再化简绝对值运算即可得．
【详解】
的积为负数
的符号为三负或两正一负
的和为正数
的符号为两正一负
因此，分以下三种情况：
（1）当时



（2）当时



（3）当时



综上，的值为0
故选：A．
【点睛】
本题考查了绝对值的化简，依据已知条件，判断出的符号是解题关键．
4．一动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进5个单位，后退3个单位的程序运动，已知每秒前进或后退1个单位．设表示第秒点在数轴的位置所对应的数，如，则为（ ）
A．504 B．505 C．506 D．507
【答案】D
【分析】
先解出点P每8秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导出答案．
【详解】
解：依题意得，点P每8秒完成一组前进和后退，
前8个对应的数是1、2、3、4、5、4、3、2；
9∼16对应的数是3、4、5、6、7、6、5、4；
∵2019=8×252+3，
故=252×2+3=507．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了数轴上点对应数字的规律探索，弄清题中的基本循环规律是解本题的关键．
5．数轴上:原点左边有一点，从对应着数，有如下说法:
①表示的数一定是正数:
②若，则；
③在中，最大的数是或；
④式子的最小值为．
其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】
先求出m的取值范围，即可判断①；根据求出m的值，再结合m的取值范围即可判断②；分情况进行讨论，分别求出每种情况下的最大值即可判断③；根据即可判断④.
【详解】
∵点M在原点的左边
∴m＜0
∴-m＞0，故①正确；
若，则
又m＜0，则m=-8，故②正确；
在中
当m＜-1时，最大值为；
当-1 当m=-1时，最大值为或，故③正确；
∵
∴，故④正确；
故答案选择D.
【点睛】
本题考查的是点在数轴上的表示、绝对值以及数的比较大小，难度较高，需要熟练掌握基础知识.
6．献礼新中国成立周年的影片《我和我的祖国》，不仅彰显了中华民族的文化自信，也激发了观众强烈的爱国情怀与观影热情．据某网站统计，国庆期间，此部电影票房收入约亿元，平均每张票约元，估计观影人次约为（用科学计数法表示）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
把一个数表示成的形式，其中，n是整数，这种记数方法叫做科学记数法，根据科学记数法的要求即可解答.
【详解】
∵22亿元= ，
∴，
故选：B.
【点睛】
此题考察科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，此题正确列式计算是难点.
7．如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，……，第n次移动到，则△O的面积是（ ）

A．504 B． C． D．505
【答案】B
【分析】
根据图可得移动4次完成一个循环，观察图形得出OA4n=2n，处在数轴上的点为A4n和A4n-1.由OA2016=1008，推出OA2019=1009，由此即可解决问题．
【详解】
解： 观察图形可知： OA4n=2n，且点A4n和点A4n-1在数轴上，
又2016=504×4，∴A2016在数轴上，且OA2016=1008，
∵2019=505×4-1，∴点A2019在数轴上，OA2019=1009，
∴△OA2A2019的面积=×1009×1=，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的面积，数轴等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
8．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时=3n+1；②当n为偶数时,=（其中k是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24则：

若n=13，则第2019次“F”运算的结果是（ ）
A．1 B．4 C．2019 D．42019
【答案】B
【分析】
计算n=13时第一，二，三，四，五，六次的运算的结果，找出规律在进行解答即可
【详解】
若n=13
第一次结果为：3n+1=40
第二次结果为：=5
第三次结果为：3n+1=16
第四次结果为： =1
第五次结果为：4
第六次结果为：1
可以看出从第三次开始，结果只有1，4两个数轮流出现．
当次数为偶数时结果为1；次数为奇数时，结果是4；
【点睛】
本题在于寻找规律．


二、填空题
9．若是有理数，则的最小值是________．
【答案】509040
【分析】
首先判断出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|就是求数轴上某点到2、4、6、…、2018的距离和的最小值；然后根据某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小，当点x在2与2018之间时，到2和2018距离和最小；当点在4与2016之间时，到4和2016距离和最小；…，所以当x=1010之间时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，据此求出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是多少即可．
【详解】
解：根据分析，可得
当x=1010时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，最小值是：
（2018﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）
＝2016+2012+2008+…+0
＝（2016+0）×505÷2
＝2016×505÷2
＝509040
∴|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是509040．
【点睛】
此题主要考查了绝对值的几何意义：|x|表示数轴上表示x的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：|x-a|表示数轴上表示x的点到表示a的点之间的距离．
10．阅读理解题：我们知道，根据乘方的意义： 通过以上计算你能否发现规律，得到的结果呢？请根据规律计算：__________．
【答案】
【分析】
先通过已知的计算得出乘方运算的规律，再根据乘法的结合律和交换律即可得．
【详解】




归纳类推得：
则





故答案为：．
【点睛】
本题考查了有理数的乘方、乘法的结合律和交换律，依据已知计算等式，归纳出乘方运算的计算规律是解题关键．
11．若数轴上的两点分别表示实数a，b，那么这两点之间的距离表示
（1）数轴上表示-1和x的两点之间的距离是___________
（2）若数轴上一点表示x，则当代数式取最小值时，满足条件的整数x的值可以是___________．
【答案】. -1,0,1..
【分析】
（1）由两点之间的距离表示可得解，
（2）由代数式取最小值时可得，到距离之和与到的距离之和最小，那么只有在和之间的线段上时，才能取最小值，可解.
【详解】
（1）解：由两点之间的距离表示得，
-1和x的两点之间的距离为，
故答案为：.
（2）若代数式取最小值，由两点之间的距离表示可知，表示-1和x的两点之间的距离，表示1和的两点之间的距离，而要使取最小值，当且只有表示的点在和之间的线段上，所以.故整数x可取：-1,0,1.
故答案为：-1,0,1..
【点睛】
本题考查了数轴的性质、数轴上两点间距离的计算，在解第（2）题时，针对能否翻译成数学的语言是解题的关键.
12．代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______．
【答案】3 -9
【分析】
当时，可得x-1＜0，x+2＜0，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当时以及当x＞1时，根据当时，，求出a，b即可．
【详解】
解：当时，x-1＜0，x+2＜0，
∴，
当时，，
当x＞1时，
∵当时，，
∴代数式的最大值为3，最小值为-3，
∴a=3，b=-3，
∴ab=-9，
故答案为：3，-9．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式．
13．黑板上写有1，，，，…，共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取2个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+1，则经过_____次操作后，黑板上只剩下一个数，这个数是_____．
【答案】99
【分析】
将所给数化为＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…，＝﹣，再根据题意可知，在操作的过程中，这100个数都要求和，操作99次后剩余一个数，则可得黑板最后剩下的是+99＝．
【详解】
解：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…，＝﹣，
每次取两个数a，b，删去a，b，并在黑板上写上数a+b+1，
∵这100个数的和是1++++…+=1+1﹣﹣﹣﹣＝2﹣＝，
则黑板上的数求和后，每次再加1，
每次都是去掉2个数，添加一个数，故黑板最后剩一个数，则操作99次，
∴黑板最后剩下的是+99＝．
故答案为：99；．
【点睛】
本题考查数字的变化规律以及有理数的加法等知识，理解题意并将所给式子进行拆项相加是解题的关键．
14．满足的非负整数有________对．
【答案】3
【分析】
先根据绝对值的非负性得出的取值范围，再根据非负整数的特性分类讨论即可．
【详解】

即，解得
为非负整数
，且也为整数
的可能取值为
因此，分以下五种情况：
（1）当时，即或
若，则，解得或（舍去）
若，则，解得或（舍去）
因此，此时满足条件的非负整数有2对，即和
（2）当时，则
此时，即没有满足条件的非负整数
（3）当时，则或
若，则，即不满足条件
若，则，即不满足条件
（4）当时，则或
若，则，即不满足条件
若，则，即不满足条件
（5）当时，则或或
若，则，即不满足条件
若，则，满足条件
若，则，即不满足条件
此时，满足条件的非负整数有1对，即
综上，满足条件的非负整数共有3对
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了绝对值的非负性的应用，利用非负整数的特性得出的所有可能的取值是解题关键．

三、解答题
15．（问题提出）的最小值是多少？
（阅读理解）
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么可以看做这个数在数轴上对应的点到1的距离．就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值．
我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：
（1）如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．
（2）如图②，在1和2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1．
（3）如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．

所以到1和2的距离之和最小值是1．
（问题解决）
（1）的几何意义是______．
请你结合数轴探究：的最小值是______．
（2）请你结合图④探究：的最小值是______，此时a为______．
（3）的最小值为______．
（4）的最小值为______．
（拓展应用）
如图⑤，已知到－1，2的距离之和小于4，请写出的范围为______．

【答案】（1）这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和，3；（2）2，2；（3）9；（4）1021110；拓展应用：
【分析】
（1）通过绝对值的几何意义进行解题即可；
（2）根据绝对值的几何意义，当a取中间数2时，有最小值；
（3）根据绝对值的几何意义，当a在3和4之间时（包括在3和4上时），有最小值；
（4）根据绝对值的几何意义，当a取中间数时，原式有最小值，再通过求和公式进行求和即可得解；
拓展应用：根据绝对值的几何意义，由题意分别找出a的临界值，从而即可求得a的取值范围．
【详解】
（1）∵表示这个数在数轴上对应的点到3的距离，表示这个数在数轴上对应的点到6的距离，
∴的几何意义是这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；
根据题意，当a在3和6之间时（包括在3和6上时），a到3和6的距离之和最小，最小距离为，则的最小值是3，
故答案为：这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3；
（2）的几何意义是这个数在数轴上对应的点到1、2和3三个点的距离之和，
∵在数轴上，2在1和3之间，
∴当a取中间数时，的值最小，
如下图所示，当时，的最小值为，

故答案为：2；2；
（3）的几何意义是这个数在数轴上对应的点到1、2、3、4、5、6六个点的距离之和，
∴当a取中间数时，原式有最小值，
∴当a在3和4之间时（包括在3和4上时），a到六个数的距离之和最小，
∴的最小值为，
故答案为：9；
（4）的几何意义是这个数在数轴上对应的点到1、2、3、4、5、6…2021这2021个点的距离之和，
∴当a取中间数时，原式有最小值，
∴的最小值为：
，
故答案为：1021110；
拓展应用：
当a在和2之间时，a到两点的距离之和为，
当或时，a到两点的距离之和为或，
根据题意，到－1，2的距离之和小于4，则的范围为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的几何意义，熟练掌握借助数轴解题的方法，由数形结合进行解题是解决本题的关键．
16．出租车司机李师傅从上午在厦大至会展中心的环岛路上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）
（1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样？距离多少千米？
（2）上午李师傅开车的平均速度是多少？
（3）若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则李师傅在上午一共收入多少元？
【答案】（1）距离第一批乘客出发地的东方，距离是6千米；（2）43.2千米/小时；（3）128元
【分析】
（1）将所有数据相加得出结果后，即可作出判断；
（2）将所有数据的绝对值相加，可得出路程，然后求出时间，根据速度=路程÷时间即可得出答案；
（3）分别计算起步价，及超过3公里的收入，然后相加即可．
【详解】
解：（1）由题意得：向东为“+”，向西为“-”，
则将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的距离为：
（+8）+（-6）+（+3）+（-7）+（+8）+（+4）+（-7）+（-4）+（+3）+（+4）=6（千米），
所以，将最后一批乘客送到目的地时，李师傅在距离第一批乘客出发地的东方，距离是6千米；
（2）上午8：00～9：15李师傅开车的距离是：
|+8|+|-6|+|+3|+|-7|+|+8|+|+4|+|-7|+|-4|+|+3|+|+4|=54（千米），
上午8：00～9：15李师傅开车的时间是：1小时15分=1.25小时；
所以，上午8：00～9：15李师傅开车的平均速度是：54÷1.25=43.2（千米/小时）；
（3）一共有10位乘客，则起步费为：8×10=80（元）．
超过3千米的收费总额为：
[（8-3）+（6-3）+（3-3）+（7-3）+（8-3）+（4-3）+（7-3）+（4-3）+（3-3）+（4-3）]×2=48（元）．
则李师傅在上午8：00～9：15一共收入：80+48=128（元）．
【点睛】
此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
17．如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．

（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6（单位：cm），由此可得到木棒长为　　　　　 　cm．
（2）图中A点表示的数是 ，B点表示的数是 ．
（3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；你若是我现在这么大，我已经118岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
【答案】（1）6；（2）12，18；（3）66岁
【分析】
（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18（cm），则此木棒长为6cm；
（2）根据数轴可知，A点表示的数比6大6，B点表示的数比24小6，计算即可；
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为-38，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为118，可知爷爷的年龄；
【详解】
解：（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18（cm），
18÷3=6（cm）
故答案为：6．
（2）根据数轴可知，A点表示的数比6大6，B点表示的数比24小6，
6＋6＝12，24－6＝18．
故答案为12，18．
（3）

如图A表示小红现在的年龄，B表示爷爷现在的年龄，那么两人的年龄差就是
[118-（-38）]÷3=156÷3=52，
则爷爷现在的年龄为118-52=66岁．
【点睛】
此题考查了数轴表示数和有理数混合计算．解题的关键是树立数形结合思想，把爷爷与小红的年龄差看做一个整体（木棒AB），而后把此转化为上一题中的问题，难度适中．
18．阅读下列材料，回答问题：
材料一：在大于1的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其它数（0除外）整除的数，称为合数．
材料二：若一个各个数位上的数字都不为零的四位数，其千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字与十位上的数字相等，且该数前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数都是合数，则称该数为“对称合数”，如2552，6886都是“对称合数”．
（1）最小的“对称合数”为_________，最大的“对称合数”为_________；
（2）若“对称合数”的前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和是完全平方数，求满足条件的所有“对称合数”的个数，并把它们写出来．
【答案】（1）1221，9999；（2）5665、6556．
【分析】
（1）根据“对称合数”的定义即可求解；
（2）根据前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和的范围可得满足条件的完全平方数的范围，再根据规律两位数之和，依此可得是完全平方数的只有121，进一步即可求解．
【详解】
解：（1）∵各个数位上的数字都不为零，且该数前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数都是合数，
∴最小的“对称合数”为1221，最大的“对称合数”为9999．
故答案为：1221，9999；
（2）∵前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和最小为12+21＝33，最大为99+99＝198，
∴满足条件的完全平方数有：36、49、64、81、100、121、144、169、196，
由规律可得两位数之和有33、44、55、66、77、88、99、110、121、132、143、154、165、176、187，是完全平方数的只有121，
而满足前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和是完全平方数121的只有5665、6556．
【点睛】
本题主要考查质数与合数，理解新定义，得到满足条件的完全平方数只有121是解题的关键．
19．（阅读理解）求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作5③，读作“5的圈3次方”， 记作（－8）④，读作“的圈4次方”一般的把记作aⓝ，读作“的圈次方”．
（1）直接写出计算结果：（－6）④＝__________；
[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：
（2）（）ⓝ_________；（）ⓝ=____________．（且为正整数）；
[实践应用]
（3）计算
①（－）④×（－4）⑤－（）④÷
②（）②+（）③+（）④+（）⑤+……+（）ⓝ（其中）
【答案】（1）；（2）7n-2；an-2；（3）①；②
【分析】
（1）根据所给定义计算即可；
（2）根据所给定义计算即可；
（3）①②根据前两问得到除方的规律，从而分别计算．
【详解】
解：（1）由题意可得：
（－6）÷（－6）÷（－6）÷（－6）
=（－6）×（－）×（－）×（－）
=；
（2）（）ⓝ=÷÷÷... ÷
=×7×7×...×7
=7n-2；
（）ⓝ=÷÷÷...÷
=×a×a×...×a
=an-2；
（3）由题意可得：
有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式等于，
①（－）④×（－4）⑤－（）④÷
=
=
=
=；
②（）②+（）③+（）④+（）⑤+……+（）ⓝ
=
设S=，
则5S=，
5S-S
=4S
=
=
∴S=，
∴原式=．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，充分理解新定义是解题的关键．
20．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：
加数m的个数
和S
1
2＝1×2
2
2+4＝6＝2×3
3
2+4+6＝12＝3×4
4
2+4+6+8＝20＝4×5
5
2+4+6+8+10＝30＝5×6
（1）按这个规律，当m＝6时，和S为　 　；
（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：S＝　 　．
（3）应用上述公式计算：
①2+4+6+…+100
②1002+1004+1006+…+1100
③1+3+5+7+…+99
【答案】（1）；（2）；（3）①；②；③．
【分析】
（1）根据规律列出运算式子，计算有理数的乘法即可得；
（2）根据表格归纳类推出一般规律即可得；
（3）①根据（2）的结论列出运算式子，计算有理数的乘法即可得；
②利用的值减去的值即可得；
③将运算中的每个加数都加上1可变成（3）①的运算式子，再减去50即可得．
【详解】
（1）根据规律得：当时，和，
故答案为：42；
（2）由表可知，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
归纳类推得：，
故答案为：；
（3）①，
，
；
②，
，
，
，
，
；
③，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了有理数加减法与乘法的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．