2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）3-2 代数式（2）（解析版）练习题

这是一份2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）3-2 代数式（2）（解析版）练习题，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
3.2  代数式（2）（满分100分     时间：40分钟）       班级              姓名               得分           一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10……这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16．．．．．．这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，根据上面的规律，用含有（为大于等于1的整数）的等式表示上面关系正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据题意用含n的式子表示出三角形数，正方形数，根据任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和即可求解．【详解】解：由题意得三角形数3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…，∴第n个三角形数为，第n+1个三角形数为；由题意得正方形数为1=12，4=22，9=32，…，∴第n个正方形数为，∴．故选：D【点睛】本题根据图形找规律，理解“三角形数、正方形数”的定义，并能表示出来是解题关键．2．下列图案是由一些大小相同的圆按一定的规律拼成的，其中第1个图案中有2个圆，第2个图案中有5个圆，第3个图案中有10个圆，第4个图案中有17个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第10个图案中黑色圆点的个数为（ ）  A．65 B．101 C．82 D．132【答案】B【分析】观察图形，发现第几个图形就是几的平方加1，根据规律可求．【详解】解：第1个图案中有1+1=2个黑色圆点，第2个图案中有1+22=5个黑色圆点，第3个图案中有1+32=10个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第n个图案中黑色圆点的个数为n2+1，∴第10个图案中黑色圆点的个数为102+1=101，故选：B．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色圆点的个数为n2+1．3．观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗；③中共有11颗星，图形①中共有17颗星，……，按此规律，图形⑦的颗数是（    ）
 A．43 B．45 C．41 D．536【答案】C【分析】设图形n中星星的颗数是（n为正整数），列出部分图形中星星的个数，根据数据的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论．【详解】解：设图形n中星星的颗数是（n为正整数）∵ =2=1+1=6=(1+2)+3=11=(1+2+3)+5=17=(1+2+3+4)+7∴ ∴ 故选：C．【点睛】本题考查了规律型中的图形的变化类，根据图形中数的变化找出变化规律是解题的关键．4．观察下列一组图形，第①个图形有3个小圆圈，第②个图形有5个小圆圈，第③个图形有9个小圆圈，第④个图形有15个小圆圈，…，按此规律排列下去，第9个图形中小圆圈的个数为（    ）A．59 B．75 C．81 D．93【答案】B【分析】根据第②个图形有3+1×2=5个小圆圈，第③个图形有3+2×3=9个小圆圈，第④个图形有3+3×4=15个小圆圈，可知第n个图形中小圆圈的个数为3+(n-1)×n．【详解】解：根据第②个图形有3+1×2=5个小圆圈，第③个图形有3+2×3=9个小圆圈，第④个图形有3+3×4=15个小圆圈，…，按此规律排列下去，第9个图形中小圆圈的个数为3+8×9=75，故选：B．【点睛】本题考查了图形变化规律，根据图形中小圆圈的增长变化特点，找到变化规律是解题关键．5．观察图形的变化规律,则第10个小房子用了（   ）颗石子．A．119 B．121 C．140 D．142【答案】C【分析】根据前4个图形归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】第1个小房子所用石子的颗数为，第2个小房子所用石子的颗数为，第3个小房子所用石子的颗数为，第4个小房子所用石子的颗数为，归纳类推得：第n个小房子所用石子的颗数为，其中n为正整数，则第10个小房子所用石子的颗数为，故选：C．【点睛】本题考查了用代数式表示图形的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．6．观察下列等式：，，，…．按照此规律，式子可变形为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知等式归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】，，，归纳类推得：，其中n为正整数，则，故选：B．【点睛】本题考查了有理数运算的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 二、填空题7．如图，在数轴上，点表示1，现将点沿数轴做如下移动：第一次将点向左移动3个单位长度到达点，第2次将点向右平移6个单位长度到达点，第3次将点向左移动9个单位长度到达点…，则第2020次移动到点时，在数轴上对应的实数是_________．【答案】3031【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，即可解答．【详解】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1-3=-2；第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为-2+6=4；第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4-9=-5；第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为-5+12=7；第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7-15=-8；第6次从点A5向左移动18个单位长度至点A6，则A6表示的数为-8+18=10；…；发现序号是偶数的点在正半轴上，A2：4，A4：7=4+3×1，A6：10=4+3×2， A2n：4+3×（n-1），则点A2020表示：4+3×1009=3031，故答案为：3031．【点睛】此题考查了数轴，解答此题的关键是先求出前六次这个点移动后在数轴上表示的数，再根据此数值找出规律即可解答．8．已知一列数，，…，满足＋＋…＋＝×（1＋2＋…＋2021），且＝＝…＝＝，则＝_____________ ．【答案】-3【分析】先将绝对值内的所有式子相加，从而出现，再代入求出结果，根据结果结合题目进行分析即可．【详解】解：∵∵．∴绝对值内的2021个式子相加等于0，且它们的绝对值相等，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了数字的变化类，根据数字的变化寻找规律是解决本题的关键．9．按下图左面的规律，得右面的三角形数表如果把上述三角形数表中的数从小到大排成一列数：……请你写出第60个数________．（可以用幂的形式表示）【答案】【分析】通过观察可知，第n行的数为：，，，…，，则前n行数的个数为1＋2＋3＋…＋n＝，当n＝10时，，即可推出第60个数是第11行第5个数，进而可求出第60个数．【详解】解：根据规律，第n行的数为：，，，…，，∵第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，…，第n行有n个数，∴1＋2＋3＋…＋n＝，当n＝10时，∴第60个数是第11行第5个数，则第60个数为，故答案为：．【点睛】本题考查找规律，解题的关键是认真观察给出的图形，找出规律．10．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，，分别记为，，，，，那么的值是______．【答案】66【分析】由已知数列得出an=1+2+3+…+n=，再求出a10、a11的值，代入计算可得．【详解】解：由，，，，知=1+2+3+…+n=，= =66．故答案为:66．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出an=1+2+3++n=．11．汉诺塔问题是数学中的著名猜想之一．如图所示：有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金片从一根针上全部移到另一根针上．（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n），则①f（3）＝_____，②f（n）＝_____．【答案】7        【分析】根据移动方法与规律发现，随着金属片数目的增多，都是分两个阶段移动，用金属片数目减1的移动次数都移动到2号，然后把最大的金属片移动到3号，再用同样的次数从2号移动到3号，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．【详解】解：设f（n）是把n个盘子从1号移到3号过程中移动盘子之最少次数n＝1时，f（1）＝1；n＝2时，小金属片→2号，大金属片→3号，小金属片从2号→3号，完成，即f（2）＝3＝22−1；n＝3时，小金属片→3号，中金属片→2号，小金属片从3号→2号，[用f（2）种方法把中、小两金属片移到2号，大金属片3号；再用f（2）种方法把中、小两金属片从2号→3号，完成]，f（3）＝f（2）×2＋1＝3×2＋1＝7＝23−1，f（4）＝f（3）×2＋1＝7×2＋1＝15＝24−1，…以此类推，f（n）＝f（n−1）×2＋1＝2n−1，故答案为：7；2n−1．【点睛】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数是解题的关键． 三、解答题12．观察下面由“※”组成的图案和算式，并解答问题：，，，．（1）试猜想____________；（2）试猜想____________；（3）按上述规律计算：的值．【答案】（1）400；（2）；（3）1019621【分析】（1）根据2n-1=39，确定n=20，根据规律确定答案；（2）设2m-1=2n+3,确定m=n+2，根据规律确定答案即可；（3）变形为-，根据规律计算即可；【详解】（1）∵2n-1=39，∴n=20，根据规律，得=400；（2）设2m-1=2n+3, ∴m=n+2，根据规律，得；（3）根据题意，得原式=-，==1019621．【点睛】本题考查了数字规律的猜想，根据观察，发现连续奇数的和等于连续奇数个数的平方是解题的关键．13．观察下列各式：，而，∴；，而，∴；，而，∴；根据以上规律填空：（1）___________．（2）___________．（3）求．【答案】（1）1+2+3+4+5，225；（2）1+2+3+…+n，；（3）11375．【分析】（1）观察所给的各式即可得到答案；（2）根据题干中已知等式知从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方，据此可得；（3）先利用所得规律计算出13+23+33+…+153、13+23+33+…+103，再由113+123+133+143+153=（13+23+33+…+153）-（13+23+33+…+103）计算可得答案．【详解】解：（1）根据以上各式可知，13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2=225，故答案为：1+2+3+4+5，225；（2）根据题意知13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2=，故答案为：1+2+3+…+n，；（3）∵13+23+33+…+153=（）2=14400，13+23+33+…+103=（）2=3025，∴113+123+133+143+153=（13+23+33+…+153）-（13+23+33+…+103）=14400-3025=11375．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知得出从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方．14．观察下列等式：，，……（1）仿照上面的等式，把后面这个代数式写成上面等式右边的形式：______．（2）直接写出下面算式的结果：____________；以下两小题，需写出解答过程：（3）计算：（4）探究并计算：．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）观察题干中所给的式子可得结果；（2）原式各项利用拆项法变形，计算即可得到结果；（3）先去绝对值，再利用拆项法变形，计算即可得到结果；（4）将原式变形为，再利用拆项法变形，计算即可得到结果．【详解】解：（1）由题意可得：=；（2）由题意可得：===；（3）===；（4）======【点睛】本题考查了有理数的混合运算，数字型规律，解题的关键是理解题干中的拆项方法．