2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）专题04 有理数中的解答题压轴题（解析版）

这是一份2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）专题04 有理数中的解答题压轴题（解析版），共15页。试卷主要包含了绝对题等内容，欢迎下载使用。

专题04 《有理数》中的解答题压轴题
（满分120分 时间：60分钟） 班级 姓名 得分
一、绝对题：
1．概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”．
初步探究
（1）直接写出结果：________；
（2）关于除方，下列说法错误的是_________．
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；
③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例：
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式
_______；_______．
（4）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于___________；
（5）算一算：________．
【答案】（1）；（2）②③；（3），；（4）；（5）
【分析】
（1）利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）利用题中的新定义分别判断即可；
（3）利用题中的新定义计算即可表示成幂的形式；
（4）根据题干和（1）（2）（3）的规律总结即可；
（5）将算式中的除方部分根据（4）中结论转化为幂的形式，再根据有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】
解：（1）；
（2）当a≠0时，a2=a÷a=1，因此①正确；
对于任何正整数n，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，因此②错误；
因为34=3÷3÷3÷3=，而43=4÷4÷4=，因此③错误；
负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，因此④正确；
故答案为：②③；
（3），
==；
（4）由题意可得：
将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于；
（5）
=
=
=
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，理解题中除方的运算法则是解本题的关键．
2．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的三个问题．例：三个有理数a，b，c满足，求的值．
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即，，时，
则：；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，，
则：；
综上所述：的值为3或-1．
请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知，，且，求的值；
（2）已知a，b是有理数，当时，求的值；
（3）已知a，b，c是有理数，，．求的值．
【答案】（1）或；（2）或0；（3）．
【分析】
（1）先根据绝对值运算求出a、b的值，再根据可得两组a、b的值，然后代入求值即可得；
（2）分①，、②，、③，、④，四种情况，再分别化简绝对值，然后计算有理数的除法与加减法即可得；
（3）先根据已知等式可得，，，且a，b，c有两个正数一个负数，再化简绝对值，然后计算有理数的除法与加减法即可得．
【详解】
（1）因为，，
所以，
因为，
所以或，
则或，
即的值为或；
（2）由题意，可分以下四种情况：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
综上，的值为或0；
（3）因为a，b，c是有理数，，，
所以，，，且a，b，c有两个正数一个负数，
设，，，
则．
【点睛】
本题考查了绝对值运算、有理数除法与加减法的应用，熟练掌握分类讨论思想是解题关键．
3．如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．










…

（1）可求得 ，第个格子中的数为 ；
（2）若前个格子中所填整数之和，则的值为多少？若的值为多少？
（3）若，则的最小值为 ．
【答案】（1）-6；2；（2）1209；1216；（3）15
【分析】
（1）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据第9个数是2可得b=2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2019除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解；
（2）先计算出三个循环数的和，再照规律分析计算即可；
（3）设a，b，c，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，X，则|x-a|表示线段AX的长，同理，|x-b|，|x-c|分别表示线段BX，CX的长．现要使|x-a|+|x-b|+|x-c|的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C三点的距离之和最小，画出数轴可得出当x=2时，|x-a|+|x-b|+|x-c|的值最小．
【详解】
解：（1）任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，设第三个格子所填数为，第四个格子所填数为，
，解得，
又，，
∴数据从左到右依次为：
第个数与第个数、第个数都相同，
即，
同理第个数与第个数相同，
即，
∴每个数“”为一个循环组依次循环，
，
第个格子中的整数与第个格子中的数相同，其值为．
故答案为：-6；2；
（2）由（1）可得，每个数“”为一个循环组依次循环，

又，∴；
且每个循环组的第一个数为9，
又，∴，
故若，则的值为；若，则的值为；
（3）设a，b，c，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，X，

则|x-a|表示线段AX的长，同理，|x-b|，|x-c|分别表示线段BX，CX的长．现要使|x-a|+|x-b|+|x-c|的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C三点距离之和最小．
因为a＜x＜c，即点X在点A，C之间，
∴|x-a|+|x-b|+|x-c|=AX+BX+CX=（AX+CX）+BX=AC+BX，
∴所以当点X与B点重合时，即BX=0，此时距离和最小，这个最小值为AC=c-a=15．
即当x=2时，|x-a|+|x-b|+|x-c|取得最小值，最小值是15．
故答案为：15．
【点睛】
此题考查数字的变化规律、有理数的计算、绝对值的几何意义以及线段的和差计算等知识，找出数字之间的联系，得出规律，解决问题．
4．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．
①解方程|x|=2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x=±2．
②在方程|x﹣1|=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x=3或x=﹣1．
③在方程|x﹣1|+|x+2|=5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x=2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3，所以原方程的解是x=2或x=﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x|=5的解是_______________．
（2）方程|x﹣2|=3的解是_________________．
（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|=9．


【答案】（1）x=5或-5 ；（2）x=5或-1；（3）x=5或-4.
【详解】
试题分析：
（1）由于|x|=5表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，所以x=±5；
（2）由于|x-2|=3中，x的值就是数轴上到2的距离为3的点对应的数，显然x=5或-1；
（3）方程|x-3|+|x+2|=9表示数轴上与3和-2的距离之和为9的点对应的x值，在数轴上3和-2的距离为5，满足方程的x的对应点在3的右边或-2的左边，画图即可解答．
试题解析：（1）∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为±5，
∴方程|x|=5的解为x=±5；
（2）∵在方程|x-2|=3中，x的值是数轴上到2的距离为3的点对应的数，
∴方程|x-2|=3的解是x=5或-1；

（3）∵在数轴上3和-2的距离为5，5＜9，
∴满足方程|x-3|+|x+2|=9的x的对应点在3的右边或-2的左边．

若x的对应点在3的右边，由图示可知，x=5；
若x的对应点在-2的左边，由图示可知，x=-4，
所以原方程的解是x=5或x=-4．
点睛：本题考查了绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论及数形结合的思想，同时考查了学生的阅读理解能力．
5．已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为70．
（1）数轴上有一点M，M点距离A点10个单位长度，请计算M点与B点的距离；
（2）现在有一只电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，请你求出C点对应的数；
（3）若当电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以2单位/秒的速度向左运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，并写出此时P点对应的数．

【答案】（1）M点与B点的距离为：90或70；（2）C点对应的数是38；（3）经过9秒或23秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，此时，点P对应的数为17和 59．
【分析】
（1）先求出点M所对应的数，进而即可求出M点与B点的距离；
（2）先求出AB的长，再设t秒后P、Q相遇，即可得出关于t的一元一次方程，求出t的值，可求出P、Q相遇时点P移动的距离，进而可得出C点对应的数；
（3）分两种情况：2只电子蚂蚁相遇前相距35个单位长度和相遇后相距35个单位长度，分别求出相应的时间，进而即可求出点 P点对应的数．
【详解】
（1）∵A点对应的数为，B点对应的数为70，M点距离A点10个单位长度，
∴M所对应的数为-20或0，
∴M点与B点的距离为：90或70；
（2）∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−10，B点对应的数为70，
∴AB=70+10=80，
设t秒后P、Q相遇，
∴3t+2t=80，解得：t=16，
∴此时点P走过的路程=3×16=48，
∴此时C点表示的数为：−10+48=38，
答：C点对应的数是38；
（3）相遇前：(80−35)÷(2+3)=9(秒)，
点P对应的数为：-10+3×9=17，
相遇后：(35+80)÷(2+3)=23(秒)．
点P对应的数为：-10+3×23=59，
答：经过9秒或23秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，此时，点P对应的数为17和59．
【点睛】
本题主要考查数轴上点表示的有理数以及两点间的距离，掌握“速度×时间=路程”，是解题的关键．
6．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：

（1）已知点，，表示的数分别为1，，-3．观察数轴，与点的距离为3的点表示的数是____，，两点之间的距离为_____．
（2）数轴上，点关于点的对称点表示的数是_____．
（3）若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是_____；若此数轴上，两点之间的距离为2019(在的左侧)，且当点与点重合时，点与点也恰好重合，则点表示的数是_____，点表示的数是_____；
（4）若数轴上，两点间的距离为 (在左侧)，表示数的点到，两点的距离相等，将数轴折叠，当点与点重合时，点表示的数是_____，点表示的数是_____(用含，的式子表示这两个数)．
【答案】（1）-2或4；；（2）；（3）；；；（3）；
【分析】
（1）根据数轴即可求出与点的距离为3的点表示的数，然后根据数轴上两点之间的距离公式计算即可；

（2）根据数轴上两点的中点公式计算即可；
（3）根据数轴上两点的中点公式即可求出对称中心所表示的数，从而求出结论；
（4）设点表示的数是p，则点Q表示的数为p＋a，再根据中点公式列出等式即可求出结论．
【详解】
解：（1）由数轴可知：点的距离为3的点表示的数是-2或4；，两点之间的距离为1－=
故答案为：-2或4；；
（2）点关于点的对称点表示的数是2×1－=
故答案为：；
（3）若将数轴折叠，使得点与点重合，则此时对称中心所表示的数为
则与点重合的点表示的数是2×（-1）－=；
∵此数轴上，两点之间的距离为2019(在的左侧)，
∴设M点所表示的数为m，则N点所表示是数为m＋2019
∵当点与点重合时，点与点也恰好重合，
∴
解得：m=
∴M点所表示的数为，则N点所表示是数为m＋2019=
故答案为：；；
（4）∵数轴上，两点间的距离为 (在左侧)，
∴设点表示的数是p，则点Q表示的数为p＋a
∵表示数的点到，两点的距离相等，
∴
解得：p=，即点表示的数是
∴点Q表示的数为．
故答案为：；．
【点睛】
此题考查的是数轴的相关运算，掌握数轴上两点之间的距离公式和中点公式是解决此题的关键．
7．探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2(　　)
　23﹣22=　　　　=2(　　)，
　24﹣23=　　　　=2(　　)，
……
（1）请仔细观察，写出第4个等式；
（2）请你找规律，写出第n个等式；
（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．
【答案】探究：1；2×22﹣1×22；2；2×23﹣1×23；3；（1）25﹣24=2×24﹣1×24=24；（2）2n+1﹣2n=2×2n﹣1×2n=2n；（3）﹣2．
【分析】
探究：根据有理数的乘方运算逐个补充即可；
（1）观察探究的等式，即可写出第4个等式；
（2）根据探究的等式，归纳类推出一般规律即可得；
（3）先将所求式子进行变形，再根据题（2）中的规律进行求解即可得．
【详解】
探究：


（1）第4个等式为；
（2）归纳类推得：第n个等式为；
（3）原式


．
【点睛】
本题考查了有理数的乘方运算，观察探究中的式子，归纳类推出一般规律是解题关键．
8．（阅读材料）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示．这样能够运用数形结合的方法解决一些问题，例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；……
如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点两点之间的距离表为或，记为．

（解决问题）
（1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于______，数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为______，若数轴上有理数与对应的两点之间的距离，则等于_______．
（拓展探究）
（2）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为点，动点表示的数为．

①若点在点两点之间，则______；
②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，求的值．
【答案】（1），，或（2）①②或
【分析】
（1）根据数轴上、两点之间的距离，代入数值运用绝对值可求数轴上任意两点间的距离；由可列出关于的方程，解方程即可得解；
（2）点在点、两点之间时，即为、两点之间的距离；由动点的位置不同分情况进行讨论求解．
【详解】
解：（1）由阅读材料可知：
①数轴上有理数与对应的两点之间的距离为
②数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为
③∵
∴
∴，
∴或；
（2）①∵点、、是数轴上的三点，点表示的数为，点表示的数为点，动点表示的数为，点在点、两点之间
∴；
②∵
∴
I．当点在点左侧时，如图：

∴
∴
II．当点在点、之间时，如图：

∴
∴
III．当点在点右侧时
∴
∴（不合题意舍去）
∴综上所述，或．
故答案是：（1），，或（2）①②或
【点睛】
本题考查了数轴与绝对值的概念的应用，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
9．观察下列各式：，
（1）根据上述规律写出第5个等式是________；
（2）规律应用：计算：；
（3）拓展应用：计算：；
【答案】（1）；（2）-；（3）．
【分析】
（1）根据已知的前3个等式中数的变化规律即可写出第4，5个等式；
（2）根据（1）中的规律把式子变形，中间部分相互抵消，只剩下首项和末项，即可算出答案；
（3）根据式子的特点将原式变形为×（），从而可计算得出结果．
【详解】
解：（1）根据已知等式可得：
第4个等式为：，
第5个等式为：，
…
第n个等式为：，
故答案为：；
（2）由（1）中的规律“-”把式子进行变形可得：



；
（3）
=×（）
=×（1-）
=．
【点睛】
考查了规律型：数字的变化类，此类规律题要分别找到等式左边和右边的规律，寻找不变的量和变化的量，本题中不变的量是分数中的分子1，负号“-”，变化的量是分数中分母，所以要从分母中找到变化的规律，从而找到这个等式的变化规律-．
10．有理数，，在数轴上的位置如图所示

（1）比较、、的大小（用“>”连接）；
（2）若，求的值；
（3）若，，，且，，对应的点分布为、、，问在数轴上是否存在一点M，使M与B的距离是M与C的距离的2倍，若存在，请求出M点对应的有理数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）-2006；（3）存在；点M对应的有理数为或-4．
【分析】
（1）根据数轴上数的表示可知，左边的数都小于右边的数，从图中可以得出，所以三个数的大小即可比较出来；

（2）根据a、b、c的位置得到b+c<0，c-1<0，b-a<0，然后把绝对值去掉化简可得a+n=-1，代入所求代数式求值即可；
（3）设点M对应的有理数为x，然后根据MB=2MC列出方程求解即可．
【详解】
（1）由图可知，，
∴，
故答案为：；
（2）由数轴可知，b+c<0，c-1<0，b-a<0，
∴，
=-b-c+c-1+b-a，
=-1-a，
∴a+n=-1，
∴，
=1-2007×，
=1-2007，
=-2006，
故答案为：-2006；
（3）存在．
设点M对应的数为x，
①当点M在BC的右侧时，
∵MB ∴得不到MB=2MC，
故此种情况不存在；
②当点M在BC上时，
BM=-2-x，MC=x+3，
∵BM=2MC，
∴-2-x =2（x+3），
∴3x=-8，
解得：x=；
③当点M在BC的左侧时，
∴BM=-2-x，CM=-3-x，
∴BM=2MC，
∴-x-2=2（-3-x），
解得：x=-4，
综上所述，点M对应的有理数是或-4，
故答案为：存在；或-4．
【点睛】
本题考查了数轴的意义，利用数轴比较有理数的大小，有理数的运算法则，掌握数轴的意义是解题的关键．