初中数学1.1 反比例函数达标测试

1.1　反比例函数

一、选择题

1.下列函数中，y是x的反比例函数的是(　　)

A．y＝    B．y＝    C．y＝    D．y＝＋2

2.若函数y=(m+1)x|m|-2是反比例函数,则m=(　　)

 A.±1 B.±3

C.-1 D.1

3.下列各问题中,两个变量之间的关系不是反比例函数的是(　　)

 A.某工程队完成500 m挖渠时,时间t(天)与该工程队挖渠的平均速度v(m/天)之间的关系

B.菱形的面积为36 cm2,它的两条对角线的长y(cm)与x(cm)之间的关系

C.一个玻璃容器的体积为30 L时,所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系

D.压力为600 N时,压强p与受力面积S之间的关系

4.下列函数:①y=;②3xy=1;③y=;④y=.其中反比例函数有(　　)

 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

5.已知y是x的反比例函数,且常数k=,则该函数的表达式是(　　)

 A.y=x B.y=

C.y= D.y=

6.【2020·德阳】已知函数y＝当函数值为3时，自变量x的值为(　　)

A．－2  B．－

C．－2或－  D．－2或－

7.【中考·滨州】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过对角线OB的中点D和顶点C.若菱形OABC的面积为12，则k的值为(　　)

A．6  B．5  C．4  D．3

8.下列各组的两个变量间满足反比例关系的是(　　)

A．三角形面积一定时，它的一边长与该边上的高

B．等腰三角形的周长一定时，它的底边长与腰长

C．圆的周长与它的半径

D．圆的面积与它的半径

9.【中考·广州】一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/时的速度用了4小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(千米/时)与时间t(小时)的函数关系式是(　　)

A．v＝320t  B．v＝  C．v＝20t  D．v＝

10.【2020·长沙】2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106 m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v(单位：m3/天)与完成运送任务所需时间t(单位：天)之间的函数表达式是(　　)

A．v＝  B．v＝106t　C．v＝t2　D．v＝106t2

二、填空题

11.一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成y＝(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的__________函数，其中x是自变量，常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数．反比例函数的自变量取值范围是___________．反比例函数y＝(k≠0)的表达式还可以表示为：①xy＝k；②y＝kx-1.

12.已知y与x成反比例关系，且当x＝－3时，y＝4，则当x＝6时，y的值为________．

13.如果关于x，y的反比例函数的表达式为y＝，那么m的值为________．

14.已知函数y＝(a＋1)x|2a|-1.

(1)当a＝________时，y是x的正比例函数，函数表达式为________；

(2)当a＝________时，y是x的反比例函数，函数表达式为________．

三、解答题

15.在下列函数关系式中,哪些函数表示y是x的反比例函数?

(1)y=;(2)y=;(3)y=;(4)xy=;(5)y=;(6)y=-;(7)y=2x-1;(8)y=(a≠5,a是常数).

16.若y＝(m＋2)xm-5为反比例函数，求反比例函数的表达式．

17.有一个面积为30的梯形，其上底长是下底长的一半，设下底长为x，高为y，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？若是，请指出比例系数；若不是，请判断函数类型．

18.李贝说：“在如图所示的矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是BC边上一动点，连接AP，过点D作DE⊥AP于点E.设AP＝x(6≤x≤10)，DE＝y，则y是x的反比例函数．”你认为李贝说得对吗？请给出证明．

19.已知y＝y1＋y2，y1与x2成正比例函数关系，y2与x成反比例函数关系，且当x＝1时，y＝3；当x＝－1时，y＝1.

(1)求y与x之间的函数表达式；

(2)当x＝－时，求y的值．

20.某厂仓库储存了部分原料，按原计划每小时消耗2 t，可用60 h．由于技术革新，实际生产能力有所提高，即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量．设现在每小时消耗原料x(单位：t)，库存的原料可使用的时间为y(单位：h)．

(1)写出y关于x的函数表达式，并求出自变量的取值范围；

(2)若恰好经过24 h才有新的原料进厂，为了使机器不停止运转，则x应控制在什么范围内？

21.如图，正方形ABCD的边长是2，点E，F分别在BC，CD两边上，且点E，F与BC，CD两边的端点不重合，△AEF的面积是1，设BE＝x，DF＝y.

(1)求y关于x的函数表达式；

(2)判断在(1)中，y关于x的函数是什么函数？

(3)写出此函数自变量x的范围．

参考答案

一、选择题

1.下列函数中，y是x的反比例函数的是(　B　)

A．y＝    B．y＝    C．y＝    D．y＝＋2

2.若函数y=(m+1)x|m|-2是反比例函数,则m=(　D　)

 A.±1 B.±3

C.-1 D.1

3.下列各问题中,两个变量之间的关系不是反比例函数的是(　C　)

 A.某工程队完成500 m挖渠时,时间t(天)与该工程队挖渠的平均速度v(m/天)之间的关系

B.菱形的面积为36 cm2,它的两条对角线的长y(cm)与x(cm)之间的关系

C.一个玻璃容器的体积为30 L时,所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系

D.压力为600 N时,压强p与受力面积S之间的关系

4.下列函数:①y=;②3xy=1;③y=;④y=.其中反比例函数有(　B　)

 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

5.已知y是x的反比例函数,且常数k=,则该函数的表达式是(　B　)

 A.y=x B.y=

C.y= D.y=

6.【2020·德阳】已知函数y＝当函数值为3时，自变量x的值为(　A　)

A．－2  B．－

C．－2或－  D．－2或－

【解析】若x＜2，当y＝3时，－x＋1＝3，

解得x＝－2；

若x≥2，当y＝3时，－＝3，

解得x＝－，不合题意，舍去；∴x＝－2.

7.【中考·滨州】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过对角线OB的中点D和顶点C.若菱形OABC的面积为12，则k的值为(　　)

A．6  B．5

C．4  D．3

【解析】设点A的坐标为(a，0)，点C的坐标为，则点D的坐标为.

∴解得k＝4.

8.下列各组的两个变量间满足反比例关系的是(　　)

A．三角形面积一定时，它的一边长与该边上的高

B．等腰三角形的周长一定时，它的底边长与腰长

C．圆的周长与它的半径

D．圆的面积与它的半径

【解析】A选项中设三角形面积为S，一边长为a，该边上的高为h，则有a＝；B选项中设三角形的周长为C，底边长为a，腰长为b，则有a＝C－2b；

C选项中设圆的周长为C，半径为r，则有C＝2πr；

D选项中设圆的面积为S，半径为r，则有S＝πr2.观察可得，只有A选项中的两个变量间满足反比例关系．

9.【中考·广州】一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/时的速度用了4小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(千米/时)与时间t(小时)的函数关系式是(　B　)

A．v＝320t  B．v＝  C．v＝20t  D．v＝

10.【2020·长沙】2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106 m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v(单位：m3/天)与完成运送任务所需时间t(单位：天)之间的函数表达式是(　A　)

A．v＝  B．v＝106t　C．v＝t2　D．v＝106t2

【点拨】∵运送土石方的总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，

∴106＝vt.∴v＝.

二、填空题

11.一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成y＝(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的__________函数，其中x是自变量，常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数．反比例函数的自变量取值范围是___________．反比例函数y＝(k≠0)的表达式还可以表示为：①xy＝k；②y＝kx-1.

【答案】反比例；所有非零实数

12.已知y与x成反比例关系，且当x＝－3时，y＝4，则当x＝6时，y的值为________．

【点拨】设反比例函数的表达式为y＝(k≠0)，

∵当x＝－3时，y＝4，∴4＝，解得k＝－12.

∴反比例函数的表达式为y＝.

∴当x＝6时，y＝＝－2.

13.如果关于x，y的反比例函数的表达式为y＝，那么m的值为________．

【点拨】∵反比例函数的表达式为y＝，∴

∴|m|＝3且m≠－3.∴m＝3.

14.已知函数y＝(a＋1)x|2a|-1.

(1)当a＝________时，y是x的正比例函数，函数表达式为________；

(2)当a＝________时，y是x的反比例函数，函数表达式为________．

【答案】1  y＝2x  0  y＝

三、解答题

15.在下列函数关系式中,哪些函数表示y是x的反比例函数?

(1)y=;(2)y=;(3)y=;(4)xy=;(5)y=;(6)y=-;(7)y=2x-1;(8)y=(a≠5,a是常数).

【点拨】根据反比例函数的概念,必须是形如y=(k是常数,且k≠0)的函数,才是反比例函数.如(2),(3),(6),(8)均符合这一概念的要求,所以它们都是反比例函数.但还要注意y=(k是常数,且k≠0)常见的变化形式,如xy=k,y=kx-1等,所以(4),(7)也是反比例函数.对于(5),y是(x-1)的反比例函数,而不是x的反比例函数.(1)中y是x的正比例函数.故(2)(3)(4)(6)(7)(8)是表示y是x的反比例函数.

16.若y＝(m＋2)xm-5为反比例函数，求反比例函数的表达式．

解：∵y＝(m＋2)xm-5为反比例函数，

∴m－5＝－1且m＋2≠0，解得m＝4.

∴反比例函数的表达式为y＝.

17.有一个面积为30的梯形，其上底长是下底长的一半，设下底长为x，高为y，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？若是，请指出比例系数；若不是，请判断函数类型．

解：由题意得y×＝30，则y＝，故这个函数是反比例函数，比例系数是40.

18.李贝说：“在如图所示的矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是BC边上一动点，连接AP，过点D作DE⊥AP于点E.设AP＝x(6≤x≤10)，DE＝y，则y是x的反比例函数．”你认为李贝说得对吗？请给出证明．

解：李贝说得对．证明如下：

连接DP.

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝8，AB⊥AD，AD∥BC.

∴AB与△ADP的AD边上的高等长．

∴S△ADP＝AD·AB＝×8×6＝24.

又S△ADP＝AP·DE＝xy，

∴xy＝48.

∴y＝(6≤x≤10)，

即y是x的反比例函数．

19.已知y＝y1＋y2，y1与x2成正比例函数关系，y2与x成反比例函数关系，且当x＝1时，y＝3；当x＝－1时，y＝1.

(1)求y与x之间的函数表达式；

解：设y1＝k1x2，y2＝(k1≠0，k2≠0)，则y＝k1x2＋.

将x＝1，y＝3和x＝－1，y＝1分别代入，

得解得

∴y与x之间的函数表达式为y＝2x2＋.

(2)当x＝－时，求y的值．

解：当x＝－时，y＝2×＋＝－.

20.某厂仓库储存了部分原料，按原计划每小时消耗2 t，可用60 h．由于技术革新，实际生产能力有所提高，即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量．设现在每小时消耗原料x(单位：t)，库存的原料可使用的时间为y(单位：h)．

(1)写出y关于x的函数表达式，并求出自变量的取值范围；

【点拨】由“每小时消耗的原料量×可使用的时间＝原料总量”可得y关于x的函数表达式．

解：库存原料为2×60＝120(t)，根据题意可知y关于x的函数表达式为y＝.

由于生产能力提高，每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量，所以自变量的取值范围是x>2.

(2)若恰好经过24 h才有新的原料进厂，为了使机器不停止运转，则x应控制在什么范围内？

【点拨】要使机器不停止运转，需y≥24，解不等式即可．

解：根据题意，得y≥24，

所以≥24.解不等式，得x≤5，

即每小时消耗的原料量应控制在大于2 t且不大于5 t的范围内．

21.如图，正方形ABCD的边长是2，点E，F分别在BC，CD两边上，且点E，F与BC，CD两边的端点不重合，△AEF的面积是1，设BE＝x，DF＝y.

(1)求y关于x的函数表达式；

解：∵S△ADF＋S△ABE＋S△CEF＝S正方形ABCD－S△AEF＝22－1＝3，

∴×2y＋×2x＋(2－x)(2－y)＝3，

∴xy＝2，

∴y＝.

(2)判断在(1)中，y关于x的函数是什么函数？

解：反比例函数．

(3)写出此函数自变量x的范围．

解：1＜x＜2.