高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第1课时课后作业题

[A　基础达标]

1．为了得到函数y＝sin 的图象，需将函数y＝sin 的图象(　　)

A．纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变

B．横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变

C．横坐标变为原来的，纵坐标不变

D．纵坐标变为原来的，横坐标不变

解析：选C．只需将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，便得到函数y＝sin 的图象．

2．将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，则最终所得函数图象对应的解析式为(　　)

A．y＝cos x B．y＝sin 2x

C．y＝sin x  D．y＝cos 2x

解析：选D．函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin 的图象，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin ＝sin ＝cos 2x的图象．

3．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝sin 能构成“和谐”函数的是(　　)

A．f(x)＝sin

B．f(x)＝2sin

C．f(x)＝sin

D．f(x)＝sin ＋2

解析：选D．将函数g(x)图象上所有的点向上平移2个单位长度，即得到函数f(x)＝sin ＋2的图象，故选D．

4．为得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin x的图象(　　)

A．向左平移个单位长度  B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度  D．向右平移个单位长度

解析：选C．y＝cos ＝sin ＝sin ，所以只需将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度．故选C．

5．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝(　　)

A．－2  B．－

C．  D．2

解析：选C．由f(x)为奇函数可得φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝0，所以g(x)＝A sin ωx.由g(x)的最小正周期为2π，可得＝2π，故ω＝2，g(x)＝A sin x，又g＝A sin ＝，所以A＝2，所以f(x)＝2sin 2x，故f＝2sin ＝.

6．将函数y＝sin 图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin 的图象．

解析：A＝3＞0，故将函数y＝sin 图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin 的图象．

答案：伸长　3

7．利用“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0)的图象时，其五点的坐标分别为，，，，，则A＝________，周期T＝________．　

解析：由题知A＝，T＝2＝π.

答案：　π

8．将函数y＝sin 的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)在上的最大值和最小值分别为______和______．　

解析：依据图象变换可得函数g(x)＝sin .　

因为x∈，所以4x＋∈.

所以当4x＋＝时，g(x)取最大值.

当4x＋＝时，g(x)取最小值－.

答案：　－

9．如何由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝sin 的图象．

解：y＝sin xy＝sin

y＝sin y＝sin .

10．用“五点法”作出函数y＝3sin ，x∈的图象．

解：①列表如下：

②描点：在直角坐标系中描出下列各点：

，，，，.　

③连线：用光滑的曲线将所描的五个点顺次连接起来，得函数y＝3sin ，x∈的简图，如图所示．

[B　能力提升]

11．(多选)将函数y＝4sin x的图象向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，得到函数y＝f(x)的图象，下列关于y＝f(x)的说法正确的是(　　)

A．y＝f(x)的最小正周期为4π

B．由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍

C．y＝f(x)的表达式可改写成f(x)＝4cos

D．y＝f(x)的图象关于点中心对称

解析：选CD．由题意得，函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝4sin .

对于A，由T＝得y＝f(x)的最小正周期为π，所以A错误；

对于B，由f(x)＝0可得2x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝π－(k∈Z).所以x1－x2是的整数倍，所以B错误；

对于C，f(x)＝4sin 利用诱导公式得f(x)＝4cos ＝4cos ，所以C正确；

对于D，f(x)＝4sin 的对称中心满足2x＋＝kπ，k∈Z，

所以x＝π－，k∈Z.

所以是函数y＝f(x)的一个对称中心，所以D正确．

12．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)的图象如图所示，则函数f(x)图象的对称中心的坐标可以为________．

解析：由题图可知A＝＝2，B＝＝1，

T＝2＝π，所以ω＝2.

故f(x)＝2sin (2x＋φ)＋1.

由×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，

且|φ|<，得φ＝，

故f(x)＝2sin ＋1.

令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，

当k＝0时，x＝－，

所以函数f(x)图象的一个对称中心的坐标可以为.

答案：(答案不唯一)

13．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为________．　

解析：平移后解析式为y＝sin (2x－2φ)，图象关于直线x＝对称，所以2·－2φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝－－(k∈Z).又因为φ>0，所以当k＝－1时，φ取最小值为.

答案：

14．已知f(x)＝2sin .

(1)若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，请写出函数g(x)的解析式；

(2)请通过列表、描点、连线，在所给的直角坐标系中画出函数g(x)在[0，π]上的简图．

解：(1)将函数f(x)＝2sin 的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝2sin ＝2sin 的图象．

(2)列表如下：

描点、连线，得出g(x)的图象如下：

[C　拓展探究]

15．已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω＞0.

(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；

(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象．区间[a，b](a，b∈R且a＜b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．

解：(1)因为ω＞0，

根据题意有解得0＜ω≤.

所以ω的取值范围是.

(2)由f(x)＝2sin 2x可得，

g(x)＝2sin ＋1＝2sin ＋1.

令g(x)＝0得，sin ＝－，所以x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，

即g(x)的零点相邻间隔依次为和.

故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，

则b－a的最小值为14×＋15×＝.