人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质课后作业题

[A　基础达标]

1．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．

B．

C．

D．

解析：选A．由题意得

即k∈Z，

所以x≠(k∈Z)，选A．

2．当x∈(－，)时，函数y＝tan |x|的图象(　　)

A．关于原点对称  B．关于y轴对称

C．关于x轴对称  D．无法确定

解析：选B．函数y＝tan |x|，在x∈(－，)上是偶函数，其图象关于y轴对称．故选B．

3．与函数y＝tan (2x－)的图象不相交的一条直线是(　　)

A．x＝  B．x＝－

C．x＝  D．x＝－

解析：选D．当x＝－时，2x－＝－，而－的正切值不存在，所以直线x＝－与函数的图象不相交．

4．函数y＝tan 在一个周期内的图象是下图中的　(　　)

解析：选A．由函数周期T＝＝2π，

排除选项B，D．

将x＝π代入函数解析式中，得tan ＝tan 0＝0，

故函数图象与x轴的一个交点为.

5．(多选)已知函数f(x)＝tan x，x1，x2∈(x1≠x2)，则下列结论中正确的是(　　)

A．f(x1＋π)＝f(x1)

B．f(－x1)＝f(x1)

C．>0

D．f>(x1x2>0)

解析：选AC．f(x)＝tan x的周期为π，故A正确；

函数f(x)＝tan x为奇函数，故B不正确；

f(x)＝tan x在区间上单调递增，故C正确；

由函数f(x)＝tan x的图象可知，函数在区间上有f>，在区间上有f<，故D不正确．

6．若函数f(x)＝2tan 的最小正周期T满足1<T<2，则自然数k的值为________．

解析：由题意知1<<2，即<k<π.

又k∈N，所以k＝2或k＝3.

答案：2或3

7．函数y＝tan (＋)，x∈(0，)的值域是________.

解析：因为0<x<，则<＋<，所以1<tan (＋)<.

答案：(1，)

8．函数 f(x)＝tan 的单调递减区间为________．

解析：因为 f(x)＝tan ＝－tan ，所以原题即求函数 y＝tan 的单调递增区间．由 kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，得 kπ－<x<kπ＋，k∈Z，即函数 f(x)＝tan  的单调递减区间为，k∈Z.

答案：，k∈Z

9．比较下列两个正切值的大小：

(1)tan 167°，tan 173°；

(2)tan ，tan .

解：(1)因为90°<167°<173°<180°，y＝tan x在(90°，180°)上为增函数，所以tan 167°<tan 173°.

(2)因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，

且0<<<，y＝tan x在上单调递增，所以tan <tan ，

即tan <tan .

10．求函数y＝tan 2x的定义域、值域、周期、奇偶性和单调区间．

解：设t＝2x，

(1)定义域：y＝tan 2x＝tan t，要使函数y＝tan t有意义，必须且只需t≠kπ＋，k∈Z，　

即2x≠kπ＋，k∈Z，所以x≠＋，k∈Z.　

所以函数y＝tan 2x的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．

(2)值域：由t≠kπ＋，k∈Z知y＝tan t的值域为(－∞，＋∞)，即y＝tan 2x的值域为(－∞，＋∞).

(3)周期：(定义法)由tan 2(x＋)＝tan (2x＋π)＝tan 2x，所以y＝tan 2x的周期为.

(公式法)正切函数y＝tan 2x的周期T＝＝.

(4)奇偶性：定义域关于原点对称．令y＝f(x)＝tan 2x，则f(x)满足：f(－x)＝tan (－2x)＝－tan 2x＝－f(x)，所以y＝tan 2x为奇函数．

(5)单调区间：y＝tan t的单调递增区间为(kπ－，kπ＋)，k∈Z，

所以y＝tan 2x的单调递增区间为(－，＋)，k∈Z.　

[B　能力提升]

11．(多选)下列说法错误的是(　　)

A．tan >tan

B．函数y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为

C．函数y＝2tan x的值域是[2，＋∞)

D．y＝tan x在第一、四象限是增函数

解析：选ABD．A错误，tan ＝tan ＝tan ，

因为0<<<，

且函数y＝tan x在上单调递增，

所以tan <tan .即tan <tan ；

B错误，函数y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为；

C正确，因为≤x<，

所以由函数的单调性可知y＝2tan x≥2；

D错误，y＝tan x在每个区间(k∈Z)上都单调递增，但不能说在第一、四象限是增函数．故选ABD．

12．已知函数y＝tan ωx在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)

A．0＜ω≤1  B．－1≤ω＜0

C．ω≥1  D．ω≤－1

解析：选B．因为y＝tan ωx在上单调递减，

所以ω＜0且T＝≥π.所以|ω|≤1，即－1≤ω＜0.

13．设函数y＝10tan [(2k－1)·]，k∈N*.当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时至少有两次失去意义，则k的最小正整数值为________．

解：由题意可得，当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时，至少包含函数的2个周期，故函数的最小正周期T满足T≤，即≤，求得k≥，

故k的最小正整数值为17.

答案：17

14．画出函数y＝|tan x|＋tan x的图象，并根据图象求出函数的定义域、值域、单调区间、最小正周期．

解：因为y＝|tan x|＋tan x

＝

所以画出函数y＝|tan x|＋tan x的图象，

如图所示：

则该函数的定义域是，值域是[0，＋∞)，

单调递增区间是[kπ，kπ＋)，k∈Z，最小正周期是π.

[C　拓展探究]

15．已知函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3).

(1)求f(x)的解析式；

(2)求满足f(x)≥的x的取值范围．

解：(1)由题意可得f(x)的周期为T＝－＝＝，因为ω>0，所以ω＝，

得f(x)＝A tan ，它的图象过点，

所以tan ＝0，

即tan ＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，

得φ＝kπ－，k∈Z，

又|φ|<，所以φ＝－，

于是f(x)＝A tan ，

它的图象过点(0，－3)，

所以A tan ＝－3，得A＝3.

所以f(x)＝3tan .

(2)因为3tan ≥，

所以tan ≥，

得kπ＋≤x－<kπ＋，k∈Z，

解得＋≤x<＋，k∈Z，

所以满足f(x)≥的x的取值范围是，k∈Z.