数学必修 第一册5.5 三角恒等变换当堂达标检测题

[A　基础达标]

1．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝(　　)

A． B．

C．  D．

解析：选D．因为θ∈，所以2θ∈，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－＝－.又cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，所以sin θ＝.故选D．

2．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)

A．－  B．－

C．  D．

解析：选D．cos2＝＝＝.故选D．

3．设α是第二象限角，tan α＝－，且sin <cos ，则cos ＝(　　)

A．－  B．

C．  D．－

解析：选A．因为α是第二象限角，且sin <cos ，

所以为第三象限角，所以cos <0.

因为tan α＝－，所以cos α＝－，

所以cos ＝－＝－.

4．在△ABC中，若sin A sin B＝cos2，则△ABC是(　　)

A．等边三角形  B．等腰三角形

C．不等边三角形  D．直角三角形

解析：选B．sinA sin B＝(1＋cos C)，即2sin A sin B＝1＋cos C，所以2sin A sin B＝1－cos A cos B＋sin A sin B，故得cos (A－B)＝1.又因为A－B∈(－π，π)，所以A－B＝0，即A＝B，则△ABC是等腰三角形．故选B．

5．函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)是(　　)

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数

D．最小正周期为的偶函数

解析：选D．由题意，得f(x)＝(1＋cos2x)·(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos4x).又f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数．故选D．

6．已知sin ＝，则cos2＝________．

解析：因为cos＝sin ＝sin ＝，

所以cos2＝＝＝.

答案：

7．已知一个等腰三角形顶角的余弦值为，则它的底角的余弦值为________．

解析：设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝.又β＝－，

所以cos β＝cos ＝sin ＝＝.

答案：

8．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos2A＝________．　

解析：sin2＋cos2A＝＋2cos2A－1

＝＋2cos2A－1＝－.

答案：－

9．已知180°<α<270°且sin(270°＋α)＝，求tan 的值．

解：因为sin (270°＋α)＝，

所以cos α＝－.

又180°<α<270°，所以90°<<135°.

所以tan ＝－＝－＝－3.

10．已知函数f(x)＝A sin ，x∈R，且f＝.

(1)求A的值；

(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.

解：(1)因为f(x)＝A sin ，且f＝，

所以A sin ＝，即A sin ＝，所以A＝3.

(2)由(1)知f(x)＝3sin ，

因为f(θ)－f(－θ)＝，所以3sin －3sin ＝，

展开得3－3＝，化简得sin θ＝.

因为θ∈，所以cos θ＝.

所以f＝3sin ＝3sin ＝3cos θ＝.

[B　能力提升]

11．(多选)化简下列各式，与tan α相等的是(　　)

A．

B．

C．·(α∈(0，π))

D．

解析：选CD．A不符合， ＝＝＝|tan α|；

B不符合，＝＝tan；

C符合，因为α∈(0，π)，所以原式＝·＝＝tan α；

D符合，＝＝tan α.

12．(多选)已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg 5)，b＝f，则(　　)

A．a＋b＝0  B．a－b＝0

C．a＋b＝1  D．a－b＝sin(2lg 5)

解析：选CD．由余弦的二倍角公式化简可得f(x)＝sin2＝＝＝sin 2x＋.因为a＝f(lg 5)，b＝f＝f(－lg 5)，所以a＋b＝＋＝1，a－b＝－＝sin (2lg 5).故选CD．

13．已知sin 2θ＝，0＜2θ＜，则＝________．

解析：＝

＝＝＝.

因为sin 2θ＝，0＜2θ＜，

所以cos 2θ＝.

所以tan θ＝＝＝，

所以＝＝，

即＝.

答案：

14．已知函数f(x)＝sin 2x＋m cos2x－m＋n(m>0).

(1)求函数f(x)的单调递减区间；

(2)设x∈，f(x)的最小值是1－，最大值是3，求实数m，n的值．

解：(1)f(x)＝sin2x＋m cos2x－m＋n

＝sin2x＋m(2cos2x－1)＋n

＝m＋n

＝m sin ＋n，

因为m>0，所以由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，

即函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.

(2)当x∈时，2x＋∈，则－≤sin≤1.

因为f(x)的最小值是1－，最大值是3，所以f(x)的最大值为m＋n＝3，最小值为－m＋n＝1－，解得m＝2，n＝1.

[C　拓展探究]

15.如图，某儿童公园设计一个直角三角形游乐滑梯，AO为滑道，∠OBA为直角，OB＝20 m，设∠AOB＝θ rad，一个小朋友从点A沿滑道往下滑，记小朋友下滑的时间为t秒，已知小朋友下滑的长度s与t2和sin θ的积成正比，当θ＝时，小朋友下滑2 s时的长度恰好为10 m.

(1)求s关于时间t的函数表达式；

(2)请确定θ的值，使小朋友从点A滑到O所需的时间最短．

解：(1)由题意，设s＝kt2sin θ，t≥0，k≠0，

当θ＝，t＝2时，s＝10，

所以10＝k×22sin ，解得k＝5，

故得s关于时间t的函数表达式为s＝5t2sin θ，t≥0.

(2)由题意，∠OBA为直角，∠AOB＝θ rad，

可得OA＝，所以＝5t2sin θ，

化简可得t＝ ＝，

所以当θ＝时，时间t最短．