人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第2课时同步练习题

[A　基础达标]

1．函数y＝sin ，x∈R在(　　)

A．上单调递增  B．[0，π]上单调递减

C．[－π，0]上单调递减  D．[－π，π]上单调递减

解析：选B．因为y＝sin ＝cos x，

所以在区间[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减．

2．在下列函数中，既是偶函数又在(0，π)上单调递增的是　(　　)

A．y＝cos |x|  B．y＝|cos x|

C．y＝sin   D．y＝－sin

解析：选C．y＝cos |x|在上单调递减，排除A；y＝|cos x|在上单调递减，排除B；y＝sin ＝－sin ＝－cos x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin 在(0，π)上单调递减．

3．函数y＝sin 在区间[0，π]上的一个单调递减区间是(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选B．由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，取k＝0，则原函数的一个单调递减区间为.

4．当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin 有(　　)

A．最大值1，最小值－1  B．最大值1，最小值－

C．最大值2，最小值－2  D．最大值2，最小值－1

解析：选D．因为－≤x≤，所以－≤x＋≤，所以－≤sin ≤1，所以－1≤f(x)≤2.故选D．

5．下列不等式中成立的是(　　)

A．sin>sin  B．sin 3>sin 2

C．sinπ>sin  D．sin 2>cos 1

解析：选D．因为sin 2＝cos ＝cos ，

且0<2－<1<π，所以cos >cos 1.

即sin 2>cos 1.故选D．

6．函数y＝3cos (x－)在x＝________时，y取得最大值．

解析：当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋(k∈Z).

答案：4kπ＋(k∈Z)

7．函数y＝的单调增区间为________．

解析：设x＋＝u，y＝|sin u|的大致图象如图所示，函数的周期是π.

当u∈(k∈Z)时，函数y＝|sin u|单调递增，即kπ≤x＋≤kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).

所以函数y＝的单调递增区间是(k∈Z).

答案：(k∈Z)

8．函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是________.

解析：因为y＝cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，所以只有当－π<a≤0时，满足条件．故a的取值范围是(－π，0].　

答案：(－π，0]

9．已知函数y＝sin .

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．

解： y＝sin ，可化为y＝－sin .　

(1)最小正周期T＝＝＝π.

(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，　

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

所以当x∈R时，y＝sin 的单调递减区间为，k∈Z.

从而当x∈[－π，0]时，y＝sin 的单调递减区间为，.

10．求下列函数的最大值和最小值．

(1)f(x)＝sin ，x∈；

(2)y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈.

解：(1)当x∈时，2x－∈，

所以f(x)＝sin ∈，

即sin ∈.

所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－.

(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3＝2sin2x＋2sinx＋1＝2＋.

因为x∈，所以≤sin x≤1.

当sin x＝1时，ymax＝5；

当sin x＝时，ymin＝.

[B　能力提升]

11．(多选)已知函数f(x)＝cos ，下列结论正确的是(　　)

A．函数f(x)在区间上单调递增

B．若函数f(x)的定义域为，则值域为

C．函数f(x)的图象与g(x)＝－sin 的图象重合

D．函数f(x)在区间上单调递增

解析：选CD．当x∈时，2x－∈⊆[0，π]，所以f(x)在区间上单调递减，故A错误；若f(x)的定义域为，则2x－∈，其值域为，故B错误；g(x)＝－sin ＝－sin ＝sin ＝cos ，故C正确；若x∈，则2x－∈⊆[－π，0]，所以f(x)在区间上单调递增，故D正确．

12．已知函数f(x)＝cos (x＋θ)(0<θ<π)在x＝处取得最小值，则f(x)在区间[0，π]上的单调递增区间是(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选A．因为函数f(x)＝cos (x＋θ)(0<θ<π)在x＝处取得最小值，所以cos ＝－1，所以＋θ＝π＋2kπ，k∈Z.又因为0<θ<π，所以θ＝，即f(x)＝cos .令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤－＋2kπ，结合x∈[0，π]，所以f(x)在区间[0，π]上的单调递增区间是.故选A．

13．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝sin x＋，则(　　)

A．f(x)的最小值为2

B．f(x)的图象关于y轴对称

C．f(x)的图象关于直线x＝π对称

D．f(x)的图象关于直线x＝对称

解析：选D．由题意得sin x∈[－1，0)∪(0，1].对于A，当sin x∈(0，1]时，f(x)＝sin x＋≥2＝2，当且仅当sin x＝1时取等号；当sin x∈[－1，0)时，f(x)＝sin x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当sin x＝－1时取等号，所以A错误．对于B，f(－x)＝sin (－x)＋＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误．对于C，f(x＋π)＝sin (x＋π)＋＝－，f(π－x)＝sin (π－x)＋＝sin x＋，则f(x＋π)≠f(π－x)，f(x)的图象不关于直线x＝π对称，所以C错误．对于D，f＝sin ＋＝cos x＋，f＝sin ＋＝cos x＋，所以f＝f，f(x)的图象关于直线x＝对称，所以D正确．故选D．

14．已知函数f(x)＝a cos ＋b(a≠0).当x∈时，f(x)的最大值为3，最小值是0，求a和b的值．

解：因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，所以－≤cos ≤1.当a>0时，由题意得解得

当a<0时，由题意得解得

所以a＝2，b＝1或a＝－2，b＝2.

[C　拓展探究]

15．已知函数f(x)＝－cos2x＋2a cosx＋a2＋2(x∈R).

(1)若函数f(x)的最大值是最小值的4倍，求实数a的值；

(2)若函数f(x)存在零点，求函数的零点．

解：(1)f(x)＝－cos2x＋2a cosx＋a2＋2＝－(cos x－a)2＋2a2＋2，

当x∈R时，－1≤cos x≤1，令cos x＝t(－1≤t≤1)，g(t)＝－(t－a)2＋2a2＋2，

①当a≤－1时，f(x)max＝g(－1)＝a2－2a＋1，f(x)min＝g(1)＝a2＋2a＋1，由题得a2－2a＋1＝4(a2＋2a＋1)，解得a＝－3或a＝－，由a≤－1得a＝－3.

②当a≥1时，f(x)max＝g(1)＝a2＋2a＋1，f(x)min＝g(－1)＝a2－2a＋1，由题得a2＋2a＋1＝4(a2－2a＋1)，解得a＝3或a＝，由a≥1得a＝3.

③当－1<a<0时，f(x)max＝g(a)＝2a2＋2，f(x)min＝g(1)＝a2＋2a＋1，由题得2a2＋2＝4(a2＋2a＋1)，解得a＝－2±，由－1<a<0得a＝－2＋.

④当0≤a<1时，f(x)max＝g(a)＝2a2＋2，f(x)min＝g(－1)＝a2－2a＋1，由题得2a2＋2＝4(a2－2a＋1)，解得a＝2±，由0≤a<1得a＝2－.

综上所述a＝－3或3或－2＋或2－.

(2)由(1)知，a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，a2＋2a＋1＝(a＋1)2≥0，2a2＋2>0，若函数f(x)存在零点，则必有a＝－1或1，①当a＝－1时，cos x＝1，此时函数f(x)的零点为x＝2kπ(k∈Z)；②当a＝1时，cos x＝－1，此时函数f(x)的零点为x＝2kπ＋π(k∈Z).