高中人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质第1课时测试题

[A　基础达标]

1．下列函数中是奇函数且最小正周期是π的是(　　)

A．y＝cos |2x|  B．y＝|sin x|

C．y＝sin   D．y＝cos

解析：选D．y＝cos |2x|是偶函数；y＝|sin x|是偶函数；

y＝sin ＝cos 2x是偶函数；y＝cos ＝－sin 2x是奇函数，且其最小正周期T＝π.

2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)

解析：选B．由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B．

3．关于函数f(x)＝x sin 的奇偶性，下列说法正确的是(　　)

A．是奇函数  B．是非奇非偶函数

C．是偶函数  D．既是奇函数又是偶函数

解析：选A．由题意，得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．

又f(x)＝x sin ＝x cos x，

所以f(－x)＝(－x)cos (－x)＝－x cos x＝－f(x)，

所以函数f(x)为奇函数．

4．函数：①y＝x2sin x；②y＝sin x，x∈[0，2π]；③y＝sin x，x∈[－π，π]中，奇函数的个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．0

解析：选B．①③是奇函数．故选B．

5．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)为R上的奇函数，则φ的值可以是(　　)

A．  B．

C．π  D．

解析：选C．要使函数f(x)＝sin (2x＋φ)为R上的奇函数，需φ＝kπ，k∈Z.故选C．

6．若函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为，则ω＝________．

解析：由题意，知T＝＝，所以ω＝10.

答案：10

7．若0<α<，g(x)＝sin (2x＋＋α)是偶函数，则α的值为________.

解析：要使g(x)＝sin (2x＋＋α)为偶函数，则须＋α＝kπ＋，k∈Z.所以α＝kπ＋，k∈Z.因为0<α<，所以α＝.

答案：

8．关于x的函数f(x)＝sin (x＋φ)有以下说法：

①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；

②存在φ，使f(x)是偶函数；

③存在φ，使f(x)是奇函数；

④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．

其中错误的是________．(填序号)

解析：φ＝0时，f(x)＝sin x是奇函数．

φ＝时，f(x)＝cos x是偶函数．

答案：①④

9．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝cos cos (π＋x)；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝＋.

解：(1)因为x∈R，

f(x)＝cos cos (π＋x)＝－sin 2x(－cos x)＝sin 2x cos x，

所以f(－x)＝sin (－2x)cos (－x)＝－sin 2x cos x＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．

(2)函数应满足1－sin x≠0，

所以函数的定义域为，

显然定义域不关于原点对称，

所以f(x)＝为非奇非偶函数．

(3)由得cos x＝1，

所以函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．当cos x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x).

所以f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．

10．已知函数y＝sin x＋|sin x|，

(1)画出函数的简图；

(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．

解：(1)y＝sin x＋|sin x|＝

图象如图所示：

(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.

[B　能力提升]

11．(多选)设函数f(x)＝sin ，x∈R，则关于f(x)的说法正确的是(　　)

A．最小正周期为π  B．最小正周期为

C．奇函数  D．偶函数

解析：选AD．f(x)＝sin ＝－sin ＝－cos 2x，因此f(x)是偶函数，且是最小正周期为＝π的周期函数，故选AD．

12．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，x∈R)对定义域内任意的x，都满足条件f(x＋6)＝f(x)，若A＝sin (ωx＋φ＋3ω)，B＝sin (ωx＋φ－3ω)，则有(　　)

A．A>B  B．A＝B

C．A<B  D．A≥B

解析：选B．因为f(x＋6)＝f(x)，所以函数的周期T＝6，又ω>0，

所以ω＝＝＝，

所以A＝sin ＝－sin ，

B＝sin ＝－sin ，则A＝B.故选B．

13．已知f(x)＝，若f(5)＝－2，则f(－5)＝________．　

解析：f(x)＝，

则f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

所以f(－5)＝－f(5)＝2.

答案：2

14．已知函数f(x)＝.

(1)求函数f(x)的定义域并判断它的奇偶性；

(2)求函数f(x)的最小正周期．

解：(1)由cos x＋1≠0，得x≠2kπ＋π，k∈Z，

所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，x≠2kπ＋π，k∈Z}．

f(x)＝＝

＝＝

＝2－cos x.

因为f(－x)＝f(x)，且函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，故函数f(x)为偶函数．

(2)因为f(x)＝2－cos x(x≠2kπ＋π，k∈Z)，

所以f(x)的最小正周期为2π.

[C　拓展探究]

15．已知函数f(x)＝cos ，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．

解：当x∈时，g(x)＝f＝cos .因为x＋∈，所以由g(x)＝得x＋＝－或，即x＝－或－.又因为g(x)的最小正周期为π，所以g(x)＝的解集为{x|x＝kπ－或x＝kπ－，k∈Z.}