高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第1课时课后测评

[A　基础达标]

1．cos的值为(　　)

A．－ B．－

C．  D．

解析：选C．cos ＝cos (2π－)＝cos (－)＝cos ＝.

2．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式正确的是(　　)

A．sin α＝sin β  B．sin (α－2π)＝sin β

C．cos α＝cos β  D．cos (2π－α)＝－cos β

解析：选C．由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos α＝cos β.

3．sin 600°＋tan (－300°)的值是(　　)

A．－  B．

C．－＋  D．＋

解析：选B．原式＝sin (360°＋180°＋60°)＋tan (－360°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝.

4．若sin (π＋α)＋sin (－α)＝－m，则sin (3π＋α)＋2sin (2π－α)＝(　　)

A．－m  B．－m

C．m  D．m

解析：选B．因为sin (π＋α)＋sin (－α)＝－2sin α＝－m，

所以sin α＝，则sin (3π＋α)＋2sin (2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.故选B．

5．设f(α)＝，则f的值为(　　)

A．  B．－

C．  D．－

解析：选D．f(α)＝＝＝－.

所以f＝－＝－＝－.

6．sin ＝________．

解析：sin ＝－sin ＝－sin ＝sin

＝sin ＝－sin ＝－.

答案：－

7．化简：·tan (2π－α)＝________．

解析：原式＝·tan (－α)＝·＝－1.

答案：－1

8．当θ＝时，(k∈Z)的值等于________．

解析：原式＝＝－.

当θ＝时，原式＝－＝2.

答案：2

9．已知sin (α－π)＝2cos (2π－α)，求证：＝－.

证明：因为sin (α－π)＝2cos (2π－α)，

所以－sin α＝2cos α，所以sin α＝－2cos α.

所以左边＝＝＝＝－＝右边，

所以原式得证．

10．求值：sin (－1 200°)×cos 1 290°＋cos (－1 020°)×sin (－1 050°)＋tan 855°.

解：原式＝－sin (120°＋3×360°)×cos (210°＋3×360°)＋cos (300°＋2×360°)×[－sin (330°＋2×360°)]＋tan (135°＋2×360°)

＝－sin 120°×cos 210°－cos 300°×sin 330°＋tan 135°

＝－sin (180°－60°)×cos (180°＋30°)－cos (360°－60°)×sin (360°－30°)＋tan (180°－45°)　

＝sin 60°×cos 30°＋cos 60°×sin 30°－tan 45°

＝×＋×－1

＝0.

[B　能力提升]

11．已知tan ＝，则tan ＝(　　)

A．  B．－

C．  D．－

解析：选B．因为tan ＝tan ＝－tan ，

所以tan ＝－.

12．记cos (－80°)＝k，则tan 100°＝(　　)

A．  B．－

C．  D．－

解析：选B．因为cos (－80°)＝cos 80°＝k，sin 80°＝＝，所以tan 100°＝－tan 80°＝－.故选B．

13．已知sin (α＋π)＝，且sin αcos α<0, 则：

(1)tan α＝________；

(2)＝________．

解析：(1)因为sin (α＋π)＝，

所以sin α＝－.

又因为sin αcos α<0，

所以cos α>0，cos α＝＝.

所以tanα＝－.

(2)原式＝＝＝－.

答案：(1)－　(2)－

14．已知f(n)＝sin (n∈Z)，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)的值．

解：f(1)＝sin ＝，f(2)＝sin ＝，f(3)＝sin π＝0，f(4)＝sin ＝－，f(5)＝sin ＝－，f(6)＝sin 2π＝0，f(7)＝sin ＝sin ＝f(1)，f(8)＝f(2)，…，

因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋336×0＝.

[C　拓展探究]

15．(1)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，求的值；

(2)已知sin (4π＋α)＝ sin β， cos (6π＋α)＝ cos (2π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求α和β的值．

解：(1)因为方程5x2－7x－6＝0的两根为2和－，

所以sin α＝－.由sin2α＋cos2α＝1，

得cosα＝±＝±.当cosα＝时，

tan α＝－；当cos α＝－时，tan α＝.

所以原式＝＝tan α＝±.

(2)因为sin (4π＋α)＝sin β，所以sin α＝ sin β①，

因为cos (6π＋α)＝ cos (2π＋β)，

所以cos α＝cos β②.

①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2(sin2β＋cos2β)＝2，

所以cos2α＝，即cosα＝±.

又0<α<π，所以α＝或α＝.

又0<β<π，当α＝时，由②得β＝；

当α＝时，由②得β＝.

所以α＝，β＝或α＝，β＝.