专题08 解三角形 专项练习-2022届高三数学一轮复习（解析版）学案

这是一份专题08 解三角形 专项练习-2022届高三数学一轮复习（解析版）学案，共14页。
专题八《解三角形》专项练习
一．选择题（共8小题）
1．△ABC中，c=3，b＝1，∠B=π6，则△ABC的形状一定为（　　）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【解答】解：△ABC中，因为c=3，b=1，∠B=π6，
由正弦定理bsinB=csinC，可得sinC=32，
故C=π3或2π3，
当C=π3时，A=π2，△ABC为直角三角形；
当C=2π3时，A=π6，△ABC为等腰三角形；
综上，△ABC的形状一定为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
2．在△ABC中，若AB=37，BC＝4，C=2π3，则△ABC的面积S＝（　　）
A．33 B．32 C．6 D．4
【解答】解：∵AB=37，BC＝4，C=2π3，
∴由余弦定理AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC，可得：37＝AC2+16﹣2×AC×4×（-12），整理可得：AC2+4AC﹣21＝0，
∴解得AC＝3，或﹣7（舍去），
∴S△ABC=12AC•BC•sinC=12×3×4×32=33．
故选：A．
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinA-3acosB＝2b-3c，则A＝（　　）
A．π3 B．π4 C．π6 D．2π3
【解答】解：∵bsinA-3acosB＝2b-3c，
∴由正弦定理可得：sinBsinA-3sinAcosB＝2sinB-3sinC，
∴sinBsinA-3sinAcosB＝2sinB-3sinC＝2sinB-3（sinAcosB+cosAsinB），
∴sinBsinA＝2sinB-3cosAsinB，
又∵sinB≠0，
∴sinA+3cosA＝2，
∴2sin（A+π3）＝2，可得A+π3=π2+2kπ，k∈Z，
又A∈（0，π），
∴A=π6．
故选：C．
4．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知cosC=45，bsinC＝5csinA，则ca=（　　）
A．5 B．17 C．32 D．34
【解答】解：∵bsinC＝5csinA，
∴由正弦定理可得bc＝5ca，即b＝5a，
∵cosC=45，
∴由余弦定理可得：c2＝a2+25a2﹣2a•5a•45=18a2，
∴解得ca=32．
故选：C．
5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平．他在著作（数书九章）中叙述了已知三角形的三条边长a，b，c，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S=14[a2c2-(a2+c2-b22)2]．已知△ABC的三条边长为a＝5，b＝7，c＝8，其面积为（　　）
A．10 B．12 C．103 D．123
【解答】解：将a＝5，b＝7，c＝8代入S=14[a2c2-(a2+c2-b22)2]中，得：
S=14[5282-(52+82-722)2]=103．
故选：C．
6．在△ABC中，BC＝1，ccosA+acosC＝2bcosB，△ABC的面积S=3，则AC等于（　　）
A．13 B．4 C．3 D．15
【解答】解：2bcosB＝ccosA+acosC，
由正弦定理，得2sinBcosB＝sinCcosA+sinAcosC，
∴2sinBcosB＝sinB，
又sinB≠0，∴cosB=12，
∴B=π3．
∵△ABC的面积S=12AB•BC•sinB=12×AB×1×32=3，解得：AB＝4，
∴AC=AB2+BC2-2AB⋅BC⋅cosB=16+1-2×4×1×12=13．
故选：A．
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a2，则cb+bc最大值为（　　）
A．2 B．2 C．22 D．4
【解答】解：由已知可得：12a×a2=12bcsinA，可得2bcsinA＝a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴bc+cb=2sinA+2cosA＝22sin(A+π4)≤22，当且仅当A=π4时取等号．
故选：C．
8．在锐角△ABC中，若cosAa+cosCc=sinBsinC3sinA，且3sinC+cosC＝2，则a+b的取值范围是（　　）
A．（6，23] B．（0，43] C．（23，43] D．（6，43]
【解答】解：由3sinC+cosC＝2sin（C+π6）＝2，得C+π6=π2+2kπ，k∈Z，
∵C∈（0，π2），∴C=π3．
由正弦定理知，sinBsinA=ba，
由余弦定理知，cosA=b2+c2-a22bc，
∵cosAa+cosCc=sinBsinC3sinA，∴b2+c2-a22bc×1a+12c=b3a×32，化简整理得，b（23-c）＝0，
∵b≠0，∴c=23，
由正弦定理，有asinA=bsinB=csinC=2332=4，∴a＝4sinA，b＝4sinB，
∵锐角△ABC，且C=π3，∴A∈（0，π2），B=2π3-A∈（0，π2），解得A∈（π6，π2），
∴a+b＝4（sinA+sinB）＝4[sinA+sin（2π3-A）]＝4（sinA+32cosA+12sinA）＝43sin（A+π6），
∵A∈（π6，π2），∴A+π6∈（π3，2π3），sin（A+π6）∈（32，1]，
∴a+b的取值范围为（6，43]．
故选：D．
二．多选题（共4小题）
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的有（　　）
A．a：b：c＝sinA：sinB：sinC B．若sin2A＝sin2B，则a＝b
C．若sinA＞sinB，则A＞B D．asinA=b+csinB+sinC
【解答】解：对于A，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，可得：a：b：c＝2RsinA：2RsinB：2RsinC＝sinA：sinB：sinC，故正确；
对于B，由sin2A＝sin2B，可得A＝B，或2A+2B＝π，即A＝B，或A+B=π2，∴a＝b，或a2+b2＝c2，故B错误；
对于C，在△ABC中，由正弦定理可得sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，正确；
对于D，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，可得右边=b+csinB+sinC=2RsinB+2RsinCsinB+sinC=2R＝左边，故正确．
故选：ACD．
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，则下
列结论正确的是（　　）
A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若c＝6，则△ABC外接圆半径为877
【解答】解：（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，可设a+b＝9t，a+c＝10t，b+c＝11t，
解得a＝4t，b＝5t，c＝6t，t＞0，
可得sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝4：5：6，故A正确；
由c为最大边，可得cosC=a2+b2-c22ab=16t2+25t2-36t22⋅4t⋅5t=18＞0，即C为锐角，故B错误；
由cosA=b2+c2-a22bc=25t2+36t2-16t22⋅5t⋅6t=34，由cos2A＝2cos2A﹣1＝2×916-1=18=cosC，
由2A，C∈（0，π），可得2A＝C，故C正确；
若c＝6，可得2R=csinC=61-164=167，△ABC外接圆半径为877，故D正确．
故选：ACD．
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，sinBsinC=2，A=2C，下列四个命题中正确的是（　　）
A．△ABC为直角三角形
B．△ABC的面积为S△ABC=233
C．cosC=±32
D．△ABC的周长为2+23
【解答】解：由正弦定理可得sinBsinC=bc=2，即b＝2c，
因为A＝2C，所以sinA＝sin2C＝2sinCcosC，
所以由正弦定理可得a＝2ccosC，
由余弦定理可得a＝2c•a2+b2-c22ab，可得2＝2c•2+4c2-c22×2×2c，
解得c2=43，可得c=233或-233（舍去），
所以b＝2c=433，
对于A，因为a＝2，b=433，c=233，
所以b2＝a2+c2，可得B＝90°，△ABC为直角三角形，故正确；
对于B，因为B＝90°，
所以S△ABC=12ac=12×2×233=233，故正确；
对于C，因为B＝90°，
所以C为锐角，可得cosC＞0，故错误；
对于D，△ABC的周长为a+b+c＝2+433+233=2+23，故正确．
故选：ABD．
12．在△ABC中，B=2π3，角B的平分线BD交AC于点D，且BD＝3，则下列说法正确的是（　　）
A．若BC＝6，则△ABC的面积为93
B．若C=π4，AD=92+362
C．若BC＝3BD，则ADAC=2
D．AB+BC的最小值为43
【解答】解：因为BD为B的平分线，B=2π3，
所以∠ABD＝∠CBD=π3，
对于A：若BC＝6，在△BCD中，由余弦定理得：CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BC•cosπ3=9+36﹣18＝27，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴BD⊥AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴AB＝BC＝6，
∴S△ABC=12×AB×BC×sin2π3=12×6×6×32=93，故A正确；
对于B：若∠C=π4，在△ABD中，∠A=π12，∠ABD=π3，
由正弦定理得ADsinπ3=BDsinπ12，
∴AD=DB⋅sinπ3sinπ12=92+362，故B正确；
对于C：若BC＝3BD，可得BC＝9，
在△BCD中，由余弦定理得：CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BC•cosπ3=9+81﹣2×3×9×12=63，∴CD=37，
由正弦定理得DBsinC=CDsinπ3，∴sinC=2114，
∴sinA＝sin（C+2π3）=217，
在△ABC中，由正弦定理得BCsinA=ACsin2π3，
∴AC=BC⋅sin2π3sinA=972，∴AD=372，
∴ADAC=13，故C错误；
对于D：设∠A＝θ，则∠C=π3−θ，∠BDC=π3+θ，
因为BDsinC=BCsin∠BDC，所以BD=BD×sin∠BDCsinC=3×sin(π3+θ)sin(π3-θ)，
∠ADB=π-π3-θ=2π3-θ，
故AB=sin∠ADBsin∠A⋅BD=3×sin(2π3-θ)sinθ，
所以AB+BC=3×32cosθ+12sinθsinθ+3×12cosθ+32sinθ32cosθ-12sinθ，
令t=1tanθ，
所以AB+BC=332t+32+3×1+3t3-t≥83．
故AB+BC有最小值83时，为，故D错误．
故选：AB．
三．填空题（共4小题）
13．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2，B=π4，cosA=13，则b＝　32　．
【解答】解：∵a=2，B=π4，cosA=13，
∴sinB=22，sinA=1-cos2A=223，
∴由正弦定理asinA=bsinB，可得：b=a⋅sinBsinA=2×22223=32．
故答案为：32．
14．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝2，b＝3，C＝2A，则cos2C＝　-78　．
【解答】解：因为C＝2A，所以B＝π﹣A﹣C＝π﹣3A，
由正弦定理可得ab=sinAsinB=sinAsin(π-3A)=sinAsin3A，
因为sin3A＝sin（A+2A）＝sinAcos2A+cosAsin2A
＝sinA（1﹣2sin2A）+2cos2AsinA
＝sinA（1﹣2sin2A）+2（1﹣sin2A）sinA
＝3sinA﹣4sin3A，
则ab=sinA3sinA-4sin3A=13-4sin2A=23，
因为C＝2A∈（0，π），所以A∈（0，π2）
解得sinA=64，
故cos2A＝1﹣2sin2A＝1﹣2×（64）2=14，
则cos2C＝cos4A＝2cos22A﹣1＝2×116-1=-78，
故答案为：-78．
15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a2+b2+ab＝c2，且△ABC的面积为3c，则ab最小值为　48　．
【解答】解：∵a2+b2+ab＝c2，
∴由余弦定理有，cosC=a2+b2-c22ab=-12，
∴在△ABC中，C=2π3，
∵△ABC的面积为3c，
∴12absinC=34=3c，∴ab＝4c，
∴a2+b2+ab＝c2=116a2b2，
∴a2+b2=116a2b2-ab≥2ab，
∴ab≥48，当且仅当a＝b＝43时取等号，
∴ab的最小值为48．
故答案为：48．
16．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝　3-1　．

【解答】解：∵∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ADB＝30°，
在△ADB中，由正弦定理得：ABsin∠ADB=BDsin∠DAB，∴BD=ABsin∠ADBsin∠DAB=25（6-2），
在△DBC中，CD＝25，∠DBC＝45°，BD＝25（6-2），由正弦定理BDsin∠DCB=CDsin∠DBC，∴sin∠DCB=BDsin45°CD=3-1，
∴sin（θ+π2）=3-1，∴cosθ=3-1．
故答案为：3-1．

四．解答题（共6小题）
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2（π2+A）+cosA=54．
（1）求A；
（2）若b﹣c=33a，证明：△ABC是直角三角形．
【解答】解：（1）∵cos2（π2+A）+cosA＝sin2A+cosA＝1﹣cos2A+cosA=54，
∴cos2A﹣cosA+14=0，解得cosA=12，
∵A∈（0，π），
∴A=π3；
（2）证明：∵b﹣c=33a，A=π3，
∴由正弦定理可得sinB﹣sinC=33sinA=12，
∴sinB﹣sin（2π3-B）＝sinB-32cosB-12sinB=12sinB-32cosB＝sin（B-π3）=12，
∵B∈(0，2π3)，B-π3∈（-π3，π3），
∴B-π3=π6，可得B=π2，可得△ABC是直角三角形，得证．
18．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，b＝2，4+c2﹣a2＝﹣2c．
（1）求A的值；
（2）从①a＝23sinB，②B=π4两个条件中选一个作为已知条件，求sinC的值．
【解答】解：（1）由b＝2，4+c2﹣a2＝﹣2c，得：cosA=b2+c2-a22bc=4+c2-a22⋅2c=-2c4c=-12，
又因为0＜A＜π，
所以A=2π3．………（6分）
（2）选择①作为已知条件．
在△ABC中，由a=23sinB，以及正弦定理asinA=bsinB，
得23sinBsin2π3=2sinB，解得sin2B=12，
由A=2π3，得B为锐角，
所以B=π4，
因为在△ABC中，A+B+C＝π，所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sin2π3cosπ4+cos2π3sinπ4，所以sinC=6-24．………（12分）
选择②作为已知条件，
因为在△ABC中，A+B+C＝π，所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sin2π3cosπ4+cos2π3sinπ4，所以sinC=6-24．………（12分）
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝2B．
（1）求证：bcosA＝（2b﹣a）cosB；
（2）若b＝5，c＝6，求△ABC的面积．
【解答】解（1）证明　在△ABC中，C＝π﹣A﹣B，C＝2B，所以π﹣A﹣B＝2B，sin（π﹣A﹣B）＝sin 2B，
sin Acos B+cos Asin B＝2sin Bcos B，
由正弦定理asinA=bsinB，得acos B+bcos A＝2bcos B，
即bcos A＝（2b﹣a）cos B．
（2）解　由正弦定理csinC=bsinB，得6sin2B=5sinB，
所以cos B=35，
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accos B，得25＝a2+36-365a，
即5a2﹣36a+55＝0，所以a＝5或a=115．
当a＝5时，又b＝5，所以A＝B，又C＝2B，A+B+C＝π，所以A＝B=π4，C=π2，明显不符合题意，所以a=115，又sin B=1-cos2B=45，
所以△ABC的面积S=12acsin B=12×115×6×45=13225．
20．△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
【解答】解：（1）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC，
由正弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝bc，
即为b2+c2﹣a2＝﹣bc，
由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12，
由0＜A＜π，可得A=2π3；
（2）由题意可得a＝3，
又B+C=π3，可设B=π6-d，C=π6+d，-π6＜d＜π6，
由正弦定理可得3sin2π3=bsinB=csinC=23，
可得b＝23sin（π6-d），c＝23sin（π6+d），
则△ABC周长为a+b+c＝3+23[sin（π6-d）+sin（π6+d）]＝3+23（12cosd-32sind+12cosd+32sind），
＝3+23cosd，
当d＝0，即B＝C=π6时，△ABC的周长取得最大值3+23．
另解：a＝3，A=2π3，又a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴9＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc≥（b+c）2-14（b+c）2，
由b+c＞3，则b+c≤23（当且仅当b＝c时，“＝”成立），
则△ABC周长的最大值为3+23．
21．在锐角△ABC中，角A，B．C所对的边分别为a，b，c，满足sin（A+C）（sinB﹣sinC）＝sin2A﹣sin2C．
（1）求A；
（2）求cb的取值范围．
【解答】解：（1）sin（A+C）（sinB﹣sinC）＝sin2A﹣sin2C．
整理得：sinB（sinB﹣sinC）＝sin2A﹣sin2C．
利用正弦定理b2﹣bc＝a2﹣c2，
整理得：cosA=b2+c2-a22bc=12，
由于0＜A＜π，
所以A=π3．
（2）在锐角△ABC中，由于A=π3，
所以B+C=2π3，
所以B＜π2，
C=2π3-B＜π2，
故π6＜B＜π2，
故cb=sinCsinB=sin(2π3-B)sinB=32cosB+12sinBsinB=32tanB+12，
由于π6＜B＜π2，
所以tanB＞33，
12＜32tanB+12＜2，
所以cb∈(12，2)．
22．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4acosA＝ccosB+bcosC．
（1）若a＝4，△ABC的面积为15，求b，c的值；
（2）若sinB＝ksinC（k＞0），且△ABC为钝角三角形，求k的取值范围．
【解答】解：△ABC中，4acosA＝ccosB+bcosC，
∴4sinAcosA＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（C+B）＝sinA，
∴cosA=14，
∴sinA=1-cos2A=154；
（1）a＝4，
∴a2＝b2+c2﹣2bc•cosA＝b2+c2-12bc＝16①；
又△ABC的面积为：
S△ABC=12bc•sinA=12bc•154=15，
∴bc＝8②；
由①②组成方程组，解得b＝4，c＝2或b＝2，c＝4；
（2）当sinB＝ksinC（k＞0），b＝kc，
∴a2＝b2+c2﹣2bc•cosA＝（kc）2+c2﹣2kc•c•14=（k2-12k+1）c2；
当B为钝角时，a2+c2＜b2，
即（k2-12k+1）+1＜k2，解得k＞4；
当C为钝角时，a2+b2＜c2，
即（k2-12k+1）+k2＜1，解得0＜k＜14；
所以△ABC为钝角三角形，k的取值范围是0＜k＜14或k＞4．