专题04 不等式 专项练习-2022届高三数学一轮复习（解析版）学案

这是一份专题04 不等式 专项练习-2022届高三数学一轮复习（解析版）学案，共8页。
专题四《不等式》专项练习一．选择题（共8小题）1．下列命题中，正确命题的个数是（　　）①若a＞b，c＞d，则ac＞bd；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d；④若a＞0，b＞0，则；⑤y＝sinx，x∈（0，]的最小值是2．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①若a＞0＞b，0＞c＞d，则ac＜bd，故①错误；②若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故②正确；③若a＞b，c＝a+1＞d＝b+1，则a﹣c＝b﹣d，故③错误；④若a＞0，b＞0，0，0，则，故④正确；⑤若x∈（0，]，sinx∈（0，1]，当sinx＝1时，y＝sinx取最小值3，故⑤错误．故正确的命题个数为2个，故选：B．2．已知正实数a、b满足a+b＝ab，则ab的最小值为（　　）A．1 B． C．2 D．4【解答】解：∵ab＝a+b≥2，∴ab≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故ab的最小值为4，故选：D．3．已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则4x+2y的最小值为（　　）A．8 B．12 C．16 D．20【解答】解：x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，即为1，则4x+2y＝（4x+2y）（）＝88+216，当且仅当，即y＝2x＝4取得等号，则4x+2y的最小值为16，故选：C．4．若函数f（x）＝ax2+ax﹣1对∀x∈R都有f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）A．﹣4＜a≤0 B．a＜﹣4 C．﹣4＜a＜0 D．a≤0【解答】解：当a＝0时，﹣1＜0恒成立，故满足条件；当a≠0时，对于任意实数x，不等式ax2+ax﹣1＜0恒成立，则，解得﹣4＜a＜0，综上所述，﹣4＜a≤0．故选：A．5．若a＞b＞1，0＜c＜1，则下列结论正确的是（　　）A．ac＜bc B．alogbc＜blogac C．abc＜bac D．logac＜logbc【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴y＝xc为增函数，∴ac＞bc，故A错误；y＝xc﹣1为减函数，bc﹣1＞ac﹣1，又由ab＞0，可得abc＞bac，故C错误；y＝logcx为减函数，∴logca＜logcb＜0，故logbc＜logac＜0，故D错误；∴alogbc＜blogac＜0，故B正确．故选：B．6．在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最小值为（　　）A． B． C． D．【解答】解：若不等式对任意实数x恒成立，则x（x﹣1）﹣（a+1）（a﹣2）≥1对任意实数x恒成立，∴x2﹣x+1≥a2﹣a，对任意实数x成立，∵x2﹣x+1＝（x）2，∴a2﹣a，解得a，故a的最小值是，故选：A．7．已知正数x，y满足3xy+y2﹣4＝0，则3x+5y的最小值为（　　）A．1 B．4 C．8 D．16【解答】解：∵正数x，y满足3xy+y2﹣4＝0，∴y（3x+y）＝4即3x+y，则3x+5y＝3x+y+4y＝4y8，当且仅当4y即y＝1，x＝1时取等号，此时3x+5y取得最小值8，故选：C．8．若正数x，y，z满足x2+4y2＝z+3xy，则当取最大值时，的最大值为（　　）A．2 B． C．1 D．【解答】解：∵x2+4y2＝z+3xy，∴z＝x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴1（当且仅当x＝2y时取“＝”），∴（）max＝1，此时，x＝2y．∴z＝x2﹣3xy+4y2＝（2y）2﹣3×2y×y+4y2＝2y2，∴（1）2．∴的最大值为．故选：D．二．多选题（共4小题）9．已知a，b为正实数，且ab+2a+b＝6，则（　　）A．ab的最大值为2 B．2a+b的最小值为4 C．a+b的最小值为3 D．的最小值为【解答】解：因为6＝ab+2a+b，当且仅当2a＝b时取等号，解得，即ab≤2，故ab的最大值为2，A正确；由6＝ab+2a+b得b，所以2a+b＝2a2（a+1）43＝4，当且仅当2（a+1），即a＝1时取等号，此时取得最小值4，B正确；a+b＝aa+13，当且仅当a+1，即a＝2时取等号，C错误；2，当且仅当a+1＝b+2时取等号，此时取得最小值，D正确．故选：ABD．10．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（　　）A．a2+b2 B．2a﹣b C．log2a+log2b≥﹣2 D．【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则，故A正确．②利用分析法：要证，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，﹣1＜b﹣1＜0，故B正确．③，故C错误．④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当a＝b时，等号成立．故D正确．故选：ABD．11．已知函数f（x）＝x（x＞0），若f（a）＝f（b），且a＜b，则下列不等式成立的有（　　）A．ab＝1 B．a2+b2＞2 C．2 D．logab＜logba【解答】解：函数f（x）＝x（x＞0），f′（x）＝1，可得：函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∵f（a）＝f（b），且a＜b，∴0＜a＜1＜b，由f（a）＝f（b），a＜b，可得：ab，化为ab＝1．a2+b2＞2ab＝2，22，当且仅当ba时取等号．logab﹣logba与0的大小关系不确定，因此logab与logba大小关系不确定．故选：ABC．12．若实数x，y满足x＞y＞0，则（　　）A． B．ln（x﹣y）＞lny C． D．x﹣y＜ex﹣ey【解答】解：因为x＞y＞0，所以，A正确；由于x﹣y与y的大小不确定，B不正确；因为2（x2+y2）﹣（x+y）2＝x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＞0，所以2（x2+y2）＞（x+y）2，C正确；令f（x）＝ex﹣x，则f′（x）＝ex﹣1＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，由x＞y＞0，得f（x）＞f（y），所以ex﹣x＞ey﹣y，所以x﹣y＜ex﹣ey，D正确．故选：ACD．三．填空题（共4小题）13．已知x，y∈R+，x+2y＝1，则的最小值为　2+2　．【解答】解：已知x，y∈R+，x+2y＝1，则2，当且仅当x，y时，等号成立．故答案为：．14．若4x+4y＝1，则x+y的取值范围是　（﹣∞，﹣1]　．【解答】解：∵4x+4y＝1，∴（2x）2+（2y）2＝1，设2x＝sinα，2y＝cosα，∴，∴，∴x+y≤﹣1，∴x+y的取值范围是：（﹣∞，﹣1]，故答案为：（﹣∞，﹣1]．15．已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则a2+4b2的最小值是　　．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴1＝a+2b≥2，∴ab．令ab＝t，则t∈（0，]，∴a2+4b2＝1﹣4t，∴a2+4b21﹣4t．令f（t）＝1﹣4t，0＜t．可知函数f（t）在（0，]是减函数，∴f（）≤f（t）＜f（0），解得：f（t）．故答案为：．16．已知a，b∈R，且a＞b＞0，a+b＝1，则a2+2b2的最小值为　　，的最小值为　9　．【解答】解：a＞b＞0，a+b＝1，则（a2+2b2）（12+（）2）≥（a+b）2＝1，则a2+2b2，当且仅当a，b时取等号，故a2+2b2的最小值为．解法（一）∵a+b＝1，∴a﹣b+2b＝1，∴（）（a﹣b+2b）＝55+29，当且仅当，即a，b时取等号，故的最小值为9．解法（二）∵a+b＝1，∴a＝1﹣b＞0，则0＜b＜1，∴，设2b＝x，则0＜x＜2，令f（x），∴f′（x），令f′（x）＝0，解得x，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（）＝9，故的最小值为9故答案为：，9