专题05 单调性 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版）学案

专题四《函数》讲义

5.5 单调性

知识梳理.单调性

1．增函数、减函数

定义：设函数f(x)的定义域为I：

(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．

(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

2．单调性、单调区间

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.

3.判断函数单调性常用方法

(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.

(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.

(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.

(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；

②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.

4．函数的最值

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.

那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．

题型一.常见函数的单调性（单调区间）

1．函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（　　）

A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）

2．已知函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）

3．已知函数f（x）（a＞0且a≠1）是R上的单调函数，则a的取值范围是（　　）

A．（0，] B．[） C．[] D．（]

4．已知函数f（x），满足对任意的实数x1≠x2，都有0成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．（1，+∞） B． C． D．

题型二.利用函数单调性求值域、最值

1．若函数f（x）的值域为R，则a的取值范围是（　　）

A．[0，） B．（] C．[﹣1，） D．（0，）

2．已知函数f（x）＝lg（ax2+（2﹣a）x）的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）

A．（1，4） B．（1，4）∪{0} C．（0，1]∪[4，+∞） D．[0，1]∪[4，+∞）

3．已知函数f（x），若f（x）的最小值为f（1），则实数a的取值范围是　　．

4．已知函数f（x）＝2x，则函数f（f（x））的值域是（　　）

A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．[1，+∞） D．R

5．已知函数f（x）＝lnx（a﹣1）x+a（a＞0）的值域与函数f（f（x））的值域相同，则a的取值范围为（　　）

A．（0，1] B．（1，+∞） C． D．[，+∞）

题型三.利用函数单调性比较大小

1．已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0恒成立，设a＝f（），b＝f（2），c＝f（e），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c

2．已知函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，且f（﹣x）＝f（x），若a＝f（3），b＝f（2﹣1.2），c＝f（），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c

3．（2013·天津）设函数f（x）＝ex+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）＝0，g（b）＝0，则（　　）

A．g（a）＜0＜f（b） B．f（b）＜0＜g（a） 

C．0＜g（a）＜f（b） D．f（b）＜g（a）＜0

题型四.利用(抽象)函数单调性解不等式

1．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）＝0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是　　．

2．已知函数，若f（a2﹣4）＞f（3a），则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣4，1） B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） 

C．（﹣1，4） D．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）

3．（2012·全国）当时，不等式4x＜logax恒成立，则实数a的取值范围是　　．

4．（2017·全国3）设函数f（x），则满足f（x）+f（x）＞1的x的取值范围是　　．