高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义第2课时导学案

5.1.1　5.1.2　第二课时　导数的几何意义

[A级　基础巩固]

1．设曲线y＝f(x)在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线(　　)

A．垂直于x轴

B．垂直于y轴

C．既不垂直于x轴也不垂直于y轴

D．方向不能确定

解析：选B　由导数的几何意义知曲线f(x)在此点处的切线的斜率为0，故切线与y轴垂直．

2．设f(x)存在导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)

A．2　　　　　　　　 B．－1

C．1   D．－2

解析：选B　

＝＝f′(1)＝－1.

3．曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为(　　)

A．1   B.

C.   D．－

解析：选B　∵y′＝

＝＝x2，

∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.

∴切线的倾斜角为，故选B.

4．(多选)设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为(　　)

A．(1,0)   B．(2,8)

C．(－1，－4)   D．(－2，－12)

解析：选AC　f′(x)＝

＝ ＝3x2＋1.

由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．

5．过正弦曲线y＝sin x上的点的切线与y＝sin x的图象的交点个数为(　　)

A．0个   B．1个

C．2个   D．无数个

解析：选D　由题意，y＝f(x)＝sin x，

则f′＝

＝.

当Δx→0时，cos Δx→1，

∴f′＝0.

∴曲线y＝sin x的切线方程为y＝1，且与y＝sin x的图象有无数个交点．

6．曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________.

解析：∵y′|x＝1＝＝

＝(2a＋aΔx)＝2a，

∴2a＝2，∴a＝1.

答案：1

7．已知函数y＝f(x)的图象如图所示， 则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号)．

解析：由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故②符合．

答案：②

8．已知曲线f(x)＝，g(x)＝过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________．

解析：由，得

∴两曲线的交点坐标为(1,1)．

由f(x)＝，

得f′(x)＝＝＝，

∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(x－1)．

即x－2y＋1＝0.

答案：x－2y＋1＝0

9．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．

解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为，

切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.

10．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标．

解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，

∵＝

＝(Δx)2＋(3x0－2)Δx＋3x－4x0.

∴＝3x－4x0，即f′(x0)＝3x－4x0，

由导数的几何意义，得3x－4x0＝4，

解得x0＝－或x0＝2.

∴切点的坐标为或(2,3)，

当切点为时，

有＝4×＋a，∴a＝，

当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，

当a＝时，切点为；

当a＝－5时，切点为(2,3)．

[B级　综合运用]

11．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为(　　)

A.   B．

C．－   D．－

解析：选D　∵y′|x＝1＝＝3，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×＝－1，∴＝－.

12.函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)

A．0<f′(a)<f′(a＋1)<f(a＋1)－f(a)

B．0<f′(a＋1)<f(a＋1)－f(a)<f′(a)

C．0<f′(a＋1)<f′(a)<f(a＋1)－f(a)

D．0<f(a＋1)－f(a)<f′(a)<f′(a＋1)

解析：选B　f′(a)，f′(a＋1)分别为曲线f(x)在x＝a，x＝a＋1处的切线的斜率，由题图可知f′(a)>f′(a＋1)>0，而f(a＋1)－f(a)＝表示(a，f(a))与(a＋1，f(a＋1))两点连线的斜率，且在f′(a)与f′(a＋1)之间．∴0<f′(a＋1)<f(a＋1)－f(a)<f′(a)．

13．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．

解析：由导数的定义，得f′(0)＝

＝＝ (a·Δx＋b)＝b.

又因为对于任意实数x，有f(x)≥0，

则所以ac≥，所以c>0.

所以＝≥≥＝2.

答案：2

14．已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．

解：∵f′(x)＝＝＝2ax，

∴f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.

∵g′(x)＝＝

＝3x2＋b，

∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.

∵在交点(1，c)处有公共切线，

∴2a＝3＋b.

又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得

[C级　拓展探究]

15．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：∵＝＝2x＋Δx，

∴y′＝＝ (2x＋Δx)＝2x.

设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)．

又∵切线过点(1，a)，且y0＝x＋1，

∴a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，

即x－2x0＋a－1＝0.∵切线有两条，

∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.

故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．