人教A版 (2019)4.2 等差数列学案设计

4.2 等差数列

1、等差数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.

数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).

(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.

2、等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.

3、等差数列的性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.

(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.

(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.

4、注意：

（1）已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.

（2）在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.

（3）等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.

（4）数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).

5、判断等差数列的方法：

（1）定义法：证明，为常数；

（2）等差中项法：；

（3）通项公式法：；

（4）前项和法：．

题型一 等差数列的基本公式

例1　等差数列中，，.

（1）求的通项公式；

（2）求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）设的公差为，列出关于和方程组，解出后可得通项公式；

（2）仍然成等差数列，由等差数列的前项和公式计算．

【详解】

（1）设的公差为，则，解得，，所以

（2）由（1）知，

∴．

已知等差数列的前n项和为，且，

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前20项和.

【答案】（1）；（2）250

【分析】

（1）由已知利用基本量求数列的通项；

（2）需判断哪些项为非负，哪些为负，然后去绝对值转化为等差数列的和.

【详解】

（1）设等差数列的公差为d，

则由条件得

解得，

通项公式，即

（2）令，解，

∴ 当时，；当时，

∴

题型二 等差数列的性质

例 2　等差数列中，已知，，求（    ）

A．11 B．22 C．33 D．44

【答案】B

【分析】

根据，，利用等差数列的性质求得和的值，然后由求解.

【详解】

∵等差数列中，，

∴，，

∴，，

∴，

故选：B.

已知两个等差数列和的前n项和分别是和，且，则等于（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】

由题意和等差数列的性质可得：，化简可得．

【详解】

由等差数列的性质可知，

故选：B．

题型三　等差数列的前n项和及其判定

例 3　已知数列的前n项和为．

（Ⅰ）若为等差数列，求证：；

（Ⅱ）若，求证：为等差数列．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.

【分析】

（1）根据为等差数列，利用倒序相加法证明即可；

（2）由前n项和公式有、，相加后整理可得，为等差数列得证．

【详解】

（Ⅰ）证明：已知数列为等差数列，设其公差为d，

则有，

于是，①

又，②

①+②得：，即．

（Ⅱ）证明：∵，当时，，

∴，③

，④

④-③并整理，得，即，

∴数列是等差数列．

（多选）已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（    ）

A．（d为常数） B．数列是等差数列

C．数列是等差数列 D．是与的等差中项

【答案】ABD

【分析】

由等差数列的性质直接判断AD选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC选项.

【详解】

A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A正确；

B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数列是等差数列，故B正确；

C.，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正确；

D.根据等差数列的性质可知，所以是与的等差中项，故D正确.

故选：ABD

题型四　前n项和的性质

例 4　一个等差数列的前项和为，前项和为24，则前项和为（    ）

A．40 B．48 C．56 D．72

【答案】B

【分析】

记等差数列的前项和为，根据等差数列前项和的性质，得到，，也成等差数列，由此列出方程，即可得出结果.

【详解】

记等差数列的前项和为，

根据题中条件，得到，，

由等差数列前项和的性质，得到，，也成等差数列，

所以，

即，解得.

故选：B.

设等差数列数列的前项和为，若，则（    ）

A．32 B．47 C．54 D．86

【答案】D

【分析】

由等差数列的性质可得：，，，成等差数列．即可得出结果．

【详解】

解：由等差数列的性质可得：，，，成等差数列，

其首项为2，公差为13,

∴，

故选：D

题型五　性质应用

例 5　（多选）已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（    ）

A．在数列中，最大

B．在数列中，或最大

C．

D．当时，

【答案】AD

【分析】

利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.

【详解】

因为，所以 ，

因为，所以，

所以等差数列公差，

所以是递减数列，

故最大，选项A正确；选项不正确；

，

所以，故选项C不正确；

当时，，即，故选项D正确；

故选：AD

（多选）设是等差数列，是其前项和，且，则下列结论正确的是（   ）

A． B．

C． D．的最大值

【答案】ABD

【分析】

由，判断，再依次判断选项.

【详解】

因为，，

，所以数列是递减数列，故，AB正确；

，所以，故C不正确；

由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D正确.

故选：ABD

题型六　裂项相消法

例 6　设是数列的前n项和，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，求.

【答案】（1），；（2）.

【分析】

（1）运用数列的递推式：时，，时，，化简整理，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；

（2），然后利用分组求和法可求出答案.

【详解】

（1）由，且，

可得时，，可得，

时，，又，

相减可得，

即为，

可得，则数列为首项和公差均为2的等差数列，

则，；

（2）

所以

设数列满足，.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）设，求数列的前n项和.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）根据递推公式，得到，即可证明数列是等差数列；

（2）先由（1）求出，即，运用裂项求和法可求出数列的和.

【详解】

（1）证明：因为，

所以，为常数.

因为，所以，所以数列是以-1为首项，为公差的等差数列.

（2）由（1）知，所以，

所以，

所以

，

所以数列的前n项和.

1、设是等差数列的前n项和，若，则（    ）

A．22 B．26 C．30 D．34

【答案】C

【分析】

由等差数列中，连续下标等间距的前n项和之差成等差数列知成等差数列，结合等差中项性质即可求.

【详解】

由等差数列的前n项和性质知：成等差数列，

∴由等差中项的性质：，又，

∴，

故选：C

2、（多选）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．与均为的最大值

【答案】BD

【分析】

设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解.

【详解】

根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：

是等差数列，若，则，故B正确；

又由得，则有，故A错误；

而C选项，，即，可得，

又由且，则，必有，显然C选项是错误的.

∵，，∴与均为的最大值，故D正确；

故选：BD.

3、（多选）设是等差数列，公差为d，前项和为，若，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】

结合等差数列的性质、前项和公式，及题中的条件，可选出答案.

【详解】

由，可得，故B正确；

由，可得，

由，可得，

所以，故等差数列是递减数列，即，故A正确；

又，所以，故C不正确；

又因为等差数列是单调递减数列，且，所以，

所以，故D正确.

故选：ABD.

4、已知等差数列{an}满足a1=1，a2=2，则{ an }的前5项和S5= __________.

【答案】15

【分析】

由题意可得等差数列通项公式，结合可得前n项和公式，进而求即可.

【详解】

由等差数列{an}满足a1=1，a2=2，知：公差，

∴{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故通项公式为，

∴由等差数列前n项和公式，

即可得，

故答案为：15.

5、等差数列的前项和为，已知，则__.

【答案】33.

【分析】

根据等差数列的求和公式和等差数列的性质即可求出.

【详解】

因为等差数列的前项和为，，

则，

故答案为：33.

6、在等差数列中，且，是数列前项的和，若取得最大值，则________

【答案】

【分析】

求出公差，与通项公式，由可得使取得最大值时的值．

【详解】

设公差为，则得，解得，

，

由，，即，

∴取得最大值时，．

故答案为：9．

7、等差数列中，，，则________

【答案】38

【分析】

直接根据等差数列的性质求解即可.

【详解】

因为等差数列中，，，所以，

故答案为：38.

8、设等差数列的前项和为，，则_______

【答案】

【分析】

由可得，然后再根据等差数列的前n项和公式求解可得答案.

【详解】

因为，

所以，，

所以．

故答案为：15.

9、等差数列的公差不为零，其前项和为，若，则的值_____________.

【答案】20

【分析】

由，可得，化为：．．再利用通项公式求和公式代入化简即可得出．

【详解】

解：，，化为：．．

则，

故答案为：．

10、已知数列的前项和为，若，则________

【答案】

【分析】

已知与的关系式，利用即可求的通项公式.

【详解】

由已知条件，知：
 

当时，；

当时，；

当n=1时不满足上式，

∴，

故答案为：.

11、已知等差数列的前项和为，且，，则取得最大值时_______.

【答案】14

【分析】

设等差数列的公差为，由已知条件可求得数列的首项和公差，得到数列的通项公式，然后由等差数列的性质可得值.

【详解】

设等差数列的公差为，由已知条件可得，

解得，故，故当时，；当时，，

所以当时，取最大值.

故答案为：14

12、已知等差数列中，，是方程的两根，则_______.

【答案】

【分析】

由韦达定理得，再根据等差数列的性质得.

【详解】

解：根据题意，由韦达定理得：，

根据等差数列角标和的性质得：，

所以.

故答案为：.

13、已知等差数列中，是的前n项和，若，则的值是___________.

【答案】2

【分析】

直接利用等差数列求和公式化简得到，代入数据计算得到答案.

【详解】

.

故答案为：2.

15、设等差数列的前n项的和为，且，，求：

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据条件列式方程组求首项和公差，再求通项公式；（2）由通项公式得到数列的正负项的分界，再分情况讨论数列的前项和.

【详解】

设等差数列的首项和公差分别为和，

， ，解得：，

所以数列的通项公式；

（2），所以

当，

当时，，

此时，

当时，，

此时

，

综上可知数列的前项和为