人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法学案

4.4 数学归纳法

1、数学归纳法

设{p(n)}是一个与自然数相关的命题集合，如果：①证明起始命题(p1或p0)成立；②在假设pk成立的前提下，推出pk＋1也成立，那么可以断定，{p(n)}对一切自然数成立．

2、用数学归纳法证题的步骤：

(1)证明当n取第一个值n0 (例如n0＝0或n0＝1)时，命题{p(n)}正确；

(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确，即p(k＋1)为真；

(3)根据(1)(2)知，当n≥n0且n∈N*时，p(n)正确．

题型一 数学归纳法中项的问题

例1　用数学归纳法证明的过程中，当从到时，等式左边应增乘的式子是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

观察从到时，等式左边的变化，通过比较可得出结果.

【详解】

当时，等式左边，

当时，等式左边，

因此，当从到时，等式左边应增乘的式子为.

故选：C.

利用数学归纳法证明“”时从“”变到“”时，左边应增加的项是______________.

【答案】

【分析】

考查等式两侧的特点，写出左侧和的表达式，进行比较，即可推出左边应增加的项．

【详解】

当时，等式为，

当时，等式为，

因此，从“”变到“”时，左边应增加的项是.

故答案为：.

题型二 数学归纳法

例 2　已知数列中，是的前项和且是与的等差中项，其中是不为的常数.

（1）求.

（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.

【答案】（1）；；（2）猜想：；证明见解析

【分析】

(1) 由已知条件可得到，再把、、代入即可求出；

(2) 根据(1)的猜想出的表达式，然后利用数学归纳法证明猜想的结论是正确的.

【详解】

解：（1）由题意知：

即，

当时，，解得.

当时，，解得.

当时，，解得.

（2）猜想：

证明：①当时，由（1）知等式成立.

②假设当时等式成立，即，

则当时，又

则，，

∴，

即

所以 ，

即当时，等式成立.

结合①②得对任意均成立.

设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．

（1）求，，的值，猜想的表达式；

（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．

【答案】（1），，，，；（2）证明见解析．

【分析】

（1）时，可求出，时，利用可得到关于的递推关系，即可求出，的值，进而猜想出的表达式；

（2）根据数学归纳法的步骤证明即可.

【详解】

（1）当时，，∴，

当时，，∴，

∴，，

猜想，；

（2）下面用数学归纳法证明：

①当时，，，猜想正确；

②假设时，猜想正确，即，

那么当时，

可得，

即时，猜想也成立．

综上可知，对任意的正整数，都成立．

1、用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】

分别写出和时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案.

【详解】

当时，左边，共个连续自然数相加，

当时，左边，

所以从到，等式左边需增添的项是.

故选：C.

2、对一切自然数，猜出使成立的最小自然数_______.

【答案】3

【分析】

运用数学归纳法证明当时，对一切自然数成立,可得答案.

【详解】

当时，对一切自然数不成立；

当时，对一切自然数不成立（如时，）；

当时，对一切自然数成立,理由如下：

当时，成立，假设当时成立，即，

当时，，而，所以对一切自然数成立.

故答案为：3.

3、已知数列的前项和为，，且.

（1）求、、；

（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．

【答案】（1），，；（2）猜想，证明见解析.

【分析】

（1）分别令、、求出、、的值，进而可得出、、；

（2）由（1）猜想得，将等式变形为，利用数学归纳法证明即可.

【详解】

（1），

当时，，解得，即有；

当时，，解得，则；

当时，，解得，则；

（2）由（1）猜想可得数列的通项公式为．

下面运用数学归纳法证明．

①当时，由（1）可得成立；

②假设，成立，

当时，，

即有，

则，

当时，上式显然成立；

当时，，即，

则当时，结论也成立．

由①②可得对一切，成立．

4、在数列中，，其中实数．

（1）求的值并猜测数列的通项公式；

（2）用数学归纳法证明你的猜测．

【答案】（1），，，猜测：.（2）见解析.

【分析】

（1）计算后可猜测数列的通项为.

（2）用数学归纳法证明即可.

【详解】

（1）由可以得到，

，

，

猜测：.

（2）用数学归纳法证明如下：

当时，等式成立；

设当时，有，

则当时，

，

故当时，等式也成立，

由数学归纳法可知，.