2022版新高考数学人教版一轮练习：（41） 空间几何体的结构及其三视图和直观图

 [练案41]

第七章　立体几何

第一讲　空间几何体的结构及其三视图和直观图

A组基础巩固

一、单选题

1．下列结论中正确的是(　D　)

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的几何体是棱台

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

[解析]　当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两

侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；如右图可知，B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必须要大于底面边长，故C错误．选D.

2．(2021·安徽毛坦厂中学月考)已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图是(　C　)

[解析]　对A、B选项俯视图不符；对D选项正视图不符，故选 C．

3．(2021·四川阆中中学测试)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为(　B　)

4．(2019·烟台一模)若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为(　D　)

A．1　　 B．2　　

C．3　　 D．4

[解析]　

观察三视图，可得直观图如图所示．该三棱锥A－BCD的底面BCD是直角三角形，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，所以侧面ABC，侧面ABD是直角三角形；由CD⊥BC，CD⊥AB，BC∩AB＝B.知CD⊥平面ABC，CD⊥AC，所以侧面ACD也是直角三角形，故选D.

5．(2016·天津)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(　B　)

[解析]　由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B.

6．(2020·北京海淀一模)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为(　C　)

A．　　 B．2　　

C．2　　 D．

[解析]　由三视图知，四棱锥底面是直角梯形，

EA⊥底面ABCD，

EA＝AB＝BC＝2，最长棱是EC，

在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，

在Rt△EAC中，EC2＝EA2＋AC2，

∴EC2＝EA2＋AB2＋BC2＝12，

EC＝2.故选 C．

7．(2014·湖北高考)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　D　)

A．①和②　　 B．③和①

C．④和③　　 D．④和②

[解析]　在空间直角坐标系中，构建棱长为2的正方体，设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，则四面体ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②，故选D.

8．(2020·北京怀柔一模)如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　D　)

A．　　 B．　　

C．3　　 D．

[解析]　根据三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥P－ABC，

如图，可知AB＝3，BC＝1，AB⊥BC，

点P到平面ABC的距离为h＝3

S△ABC＝·AB·BC＝×3×1＝，

所以VP－ABC＝·S△ABC·h＝××3＝，故选：D.

二、多选题

9．(2021·甘肃兰州联片办学期末改编)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(　BD　)

[解析]　正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为B、D.

10. (2021·河北保定期末改编)用若干个体积为1的小正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的体积可能为(　ABCD　)

A．5　　 B．7

C．10　　 D．11

[解析]　由题意可知，几何体直观图可能是

故选A、B、C、D.

三、填空题

11．已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为　　.

[解析]　如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图．

因为OE＝＝1，所以O′E′＝，E′F＝，

则直观图A′B′C′D′的面积S′＝×＝.

12．(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是  1 cm  .

[解析]　∵圆锥侧面展开图是半圆，面积为2π cm2，

设圆锥的母线长为a cm，

则×a2π＝2π，

∴a＝2 cm，

∴侧面展开扇形的弧长为2π cm，

设圆锥的底面半径OC＝r cm，

则2πr＝2π，解得r＝1 cm.

故答案为：1 cm.

13.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为4 m，则圆锥底面圆的半径等于  1  m.

[解析]　把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，

由题意OP＝4，PP′＝4，

则cos∠POP′＝＝0，且∠POP′是三角形的内角，

所以∠POP′＝，

设底面圆的半径为r，则2πr＝×4，所以r＝1.

14．(2019·全国Ⅱ，文16)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有  26  个面，其棱长为　－1　.

[解析]　半正多面体面数从上至下依次为1,8,8,8,1，故共有1＋8＋8＋8＋1＝ 26个面．正方体被半正多面体顶点A，B，C所在平面截得的图形如图2.八边形ABCDEFGH为正八边形．

设AB＝a，则1＝2×a＋a，解得a＝－1.

B组能力提升

1．(2021·上海交大附中一模)某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有(　B　)

A．8桶　　 B．9桶　　

C．10桶　　 D．11桶

[解析]　易得第一层有4桶，第二层最少有3桶，第三层最少有2桶，所以至少共有9个桶．故选B.

2．(2021·山西太原模拟)如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视图不可能是(　C　)

[解析]　A、B、D选项对应的几何体分别为

故选 C．

3．(2020·新课标Ⅱ卷，T7)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，左俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为(　A　)

A．E　　 B．F　　

C．G　　 D．H

[解析]　根据三视图，画出多面体立体图形，

D1D4上的点在正视图中都对应点M，直线B3C4上的点在俯视图中对应的点为N，∴在正视图中对应M，在俯视图中对应N的点是D4，线段D3D4，上的所有点在侧视图中都对应E，∴点D4在侧视图中对应的点为E.故选：A.

4．(2021·广东六校联考)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A、E、C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为(　C　)

[解析]　剩余几何体如图所示其侧视图为C．

5．(2021·山西晋中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的某多面体的三视图，则该几何体各个表面的面积中，最小值为(　A　)

A．2　　 B．　　

C．4　　 D．2

[解析]　

满足三视图的几何体为四棱锥P－ABCD，如图所示：

则SABCD＝4，SΔPCB＝4，

SΔPCD＝4，SΔPAB＝2，

SΔPAD＝×2×2＝2，

所以该几何体的表面中的面积最小值为2.

故选：A.